河南省三门峡市第二高级中学、2021年高三数学文联考试题含解析

河南省三门峡市第二高级中学、2021年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.函数的反函数为A.

B.C.

D.参考答案：B3.复数z=i?（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于(

) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．解答： 解：z=i?（1+i）=﹣1+i，故复数z对应的点为（﹣1，1），在复平面的第二象限，故选B．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．4.已知双曲线与椭圆的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于，则此双曲线的方程为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，求出椭圆的焦点坐标以及离心率e，由此设双曲线的方程为﹣=1，由题意可得a2+b2=16以及e==，解可得a2=4，b2=12，代入双曲线的方程即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，其焦点坐标为（0，±4），离心率e=，对于双曲线，设其方程为﹣=1，则有a2+b2=16，且其离心率e==，解可得a2=4，b2=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故选：B．5.设f(x)是定义在R上的偶函数，对x，都有f(x-2)=f(x+2)，且当x时，f(x)=，若在区间(－2,6]内关于的方程f(x)－(x+2)=0(a>1)恰有3个不同的实根，则的取值范围是(A).(1,2)

(B).(,2)

(C).（1，）

(D).(2,+参考答案：B6.已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称.若对任意的，不等式恒成立，则当时，的取值范围是（

）A.

B.

C. D.参考答案：C7.已知:命题：“是的充分必要条件”；命题：“”．则下列命题正确的是

（

） A．命题“∧”是真命题

B．命题“（┐）∧”是真命题C．命题“∧（┐）”是真命题

D．命题“（┐）∧（┐）”是真命题参考答案：B略8.已知为虚数单位,则复数在复平面上所对应的点在(

)A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限，参考答案：D9.已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列结论中错误的是(

)A．f（x）=cos2x B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）的图象关于直线x=0对称 D．f（x）的值域为参考答案：D【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值．【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=cos2x，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解．【解答】解：由f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x，故A正确；由周期公式可得f（x）的最小正周期为：T=，故B正确；由利用余弦函数的图象可知f（x）=cos2x为偶函数，故C正确；由余弦函数的性质可得f（x）=cos2x的值域为，故D错误；故选：D．【点评】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．10.已知是等差数列，若且它的前项和有最大值，则当取得最小正值时,为(

)

A.11

B．20

C．19

D．21参考答案：答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正确结论的序号是

．参考答案：②③【考点】幂函数的性质．【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式；幂函数的指数大于0得到幂函数在（0，+∝）上的单调性；图象呈上升趋势，判断出②③正确．解：依题意，设f（x）=xα，则有（）α=，即（）α=（），所以α=，于是f（x）=x．由于函数f（x）=x在定义域[0，+∞）内单调递增，所以当x1＜x2时，必有f（x1）＜f（x2），从而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②正确；又因为，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故＞，所以③正确．答案②③【点评】本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定．12.不等式的解集为

．参考答案：【解析】：13.若变量x，y满足约束条件则的最大值为．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（，0）连线的斜率的一半求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1）．由=，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（，0）连线的斜率．且，∴的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，属中档题．14.已知等差数列的公差和首项都不等于0，且成等比数列，则

参考答案：3略15.点是椭圆上的一个动点，则的最大值为___________。参考答案：

解析：椭圆为，设，16.某同学从复旦、交大、同济、上财、上外、浙大六所大学中选择三所学校综招报名，则交大和浙大不同时被选中的概率为________参考答案：.【分析】先利用古典概型的概率公式计算出事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件“交大和浙大同时被选中”的概率，再利用对立事件的概率公式得出所求事件的概率.【详解】由题意知，事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件为“交大和浙大同时被选中”，由古典概型的概率公式得知，事件“交大和浙大同时被选中”的概率为，由对立事件的概率知，事件“交大和浙大不同时被选中”的概率为，故答案为：.【点睛】本题考查古典概型的概率公式以及对立事件的概率，在求解事件的概率时，若分类讨论比较比较繁琐，可考虑利用对立事件的概率来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.17.如图所示，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，BCM=30°，则的最大值

.（考点：解三角形应用）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为为其前n项和，且满足满足为数列的前n项和.（1）求；（2）是否存在实数，使对任意的，不等式恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案：19.（本小题满分14分）如图4，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，，沿将△翻折到△，连接，得到如图5的五棱锥，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值.参考答案：（1）证明见解析；（2）.试题分析：（1）由，，可证平面，进而可证平面；（2）先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可算出二面角的平面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系，即可得二面角的平面角的正弦值.试题解析：（1）证明：∵点，分别是边，的中点，∴∥.

…………1分∵菱形的对角线互相垂直，∴.∴.∴，.

…………2分∵平面，平面，，∴平面.

…………3分∴平面.

…………4分（2）解法1：设，连接，∵，∴△为等边三角形.∴，，，.……5分在Rt△中，，在△中，，∴.

…………6分∵，，平面，平面，∴平面.

…………7分过作，垂足为，连接，由（1）知平面，且平面，∴.∵，平面，平面，∴平面.

…………8分∵平面，∴.

…………9分∴为二面角的平面角.

…………10分在Rt△中，，在Rt△和Rt△中，，∴Rt△～Rt△.

…………11分∴.∴.

…………12分在Rt△中，.……13分∴二面角的正切值为.

…………14分解法2：设，连接，∵，∴△为等边三角形.∴，，，.………5分在Rt△中，，在△中，，∴.

…………6分∵，，平面，平面，∴平面.

…………7分以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，.…………8分∴，.设平面的法向量为，由，，得……9分令，得，.∴平面的一个法向量为.

…………10分由（1）知平面的一个法向量为，……11分设二面角的平面角为，则.………12分∴，.………13分∴二面角的正切值为.

…………14分考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间向量及坐标运算；4、同角三角函数的基本关系.20.某地区位于甲、乙两条河流的交汇处，根据历年统计资料预测，今年汛期甲河发生洪水的概率为0.25，乙河发生洪水的概率为0.18（假定两河发生洪水与否互不影响）。现有一台大型设备正在该地区工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：方案一：运走设备，此时需花费4000元；方案二：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水，当两条河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案三：不采取措施，此时，当两条河同时发生洪水时将损失60000元，当一条河发生洪水时将损失10000.（1）试求方案三中损失的分布列；（2）若你是决策者，你会采取哪种方案？说明理由。参考答案：解：（I）在方案三中，记“甲河发生洪水”为事件A，“乙河发生洪水”为事件B，则P(A)=0.25，P(B)=0.18．…………．．1分的分布列：100006000000.340.0450.615…………．．6分（II）对方案一，需花费4000元对方案二：可能的花费1000+56000×0.25×0.18=3520元；对方案三：花费的期望为元.所以，决策者应采取方案二。…………．．12分21.（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：解析：由条件知，，设，．解法一：（I）设，则则，，，由得即于是的中点坐标为．当不与轴垂直时，，即．又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得，即．将代入上式，化简得．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．所以点的轨迹方程是．（II）假设在轴上存在定点，使为常数．当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．则是上述方程的两个实根，所以，，于是．因为是与无关的常数，所以，即，此时=．当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，此时．故在轴上存在定点，使为常数．解法二：（I）同解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．则是上述方程的两个实根，所以．．由①②③得．…………………④．……………………⑤当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有．整理得．当时，点的坐标为，满足上述方程．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．故点的轨迹方程是．（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由（I）有，．以上同解法一的（II）．

22.在△ABC中，=m（0＜m＜1），AC=3，AD=，C=．（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若cosB=，求AB的长度以及∠BAC的正弦值．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）在△ADC中，利用余弦定理即可求得丨CD丨，则S=×丨AC丨×丨CD丨，即可求得△ACD的面积；（Ⅱ）由正弦定理即可求得丨AB丨，sin∠BAC=sin（B+C）利用两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系即可求得sin∠BAC．【解答】解：（Ⅰ）在