辽宁省鞍山市第六十二中学高三数学文上学期期末试题含解析

辽宁省鞍山市第六十二中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.八世纪中国著名数学家、天文学家张遂（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法—二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张遂晚了上千年）：函数在，，（）处的函数值分别为，，，则在区间上可以用二次函数来近似代替：，其中，，．请根据上述二次插值算法，求函数在区间上的近似二次函数，则下列最合适的是（

）A． B．C． D．参考答案：A2.一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x的值为(

)A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】几何体是一个组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是对角线长度为4的正方形，四棱锥的侧棱长是3，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是x，写出组合体体积的表示式，解方程即可．【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是对角线长度为4的正方形，四棱锥的侧棱长是3，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是x，根据组合体的体积的值，得到12=×∴12，∴x=3，故选C．【点评】本题考查由三视图几何体的体积求边长，考查由三视图还原直观图，这是一个简单的组合体，这种几何体的体积是两个几何体的体积之和．3.“m＜0”是“函数存在零点”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A解析：由图像可知，当函数有零点时，.故选A.4.已知条件：，条件：直线与圆相切，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：C5.已知，，则的值是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A，由知，即，所以，选A．6.函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）参考答案：B【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】判断函数的连续性以及函数的单调性，然后利用零点判定定理推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=lnx﹣在（1，+∞）是增函数，在（1，+∞）上是连续函数，因为f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3﹣＞0，所以f（2）f（3）＜0．所以函数的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：B．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，函数的单调性以及函数的连续性的判断，是基础题．7.把函数的图象按向量平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B8.已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）（A）c<b<a

（B）c<a<b

C）b<a<c

（D）b<c<a参考答案：A9.若直线与圆有公共点，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略10.点为圆内弦的中点，则直线的方程为（

）A． B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数的反函数为，则．参考答案：12.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且，b＝2则△ABC面积的最大值为_______。参考答案：3【分析】利用余弦定理得出ac的最大值从而得出面积的最大值．【详解】由余弦定理可得cosB===，∴a2+c2=+4≥2ac，解得ac≤10，∴S△ABC=acsinB=≤3．∴△ABC面积的最大值是3．故答案为：3

13.已知函数及其导数，若存在，使得=，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是

.(填上正确的序号)

①，②，③，④，⑤参考答案：①③⑤略14.抛物线的焦点坐标是

参考答案：15.从甲、乙、丙3名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲被选中的概率为．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；试验法；概率与统计．【分析】用列举法求出从甲、乙、丙3人中选2人的基本本事件数以及甲被选中的基本事件数，求出对应的概率即可．【解答】解：从甲、乙、丙3名候选学生中选2名，基本事件是甲乙，甲丙，乙丙共3种，其中甲被选中的基本事件是甲乙和甲丙，共2种；所求的概率为P=．故答案为：．【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．16.已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点

．参考答案：2本题考查了对数的有关性质以及函数零点的判断法，难度较大。因为，所以；因为所以，，所以

的零点在（2,3）上，所以n=2.17.从集合中随机选取一个数记为k，从集合中人随机选取一个数记为b,则直线不经过第四象限的概率为------------.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点.

（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；

（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹.参考答案：解析：（Ⅰ）解：由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得

重心，外心F，垂心.当时，

G，F，H三点的横坐标均为，故三点共线；当时，设G,H所在直线的斜

率为，F，G所在直线的斜率为.因为，

，所以，G，F，H三点共线.

综上可得，G，F，H三点共线.

（Ⅱ）解：若FH//OB，由，得，

配方得，即.

所以，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且短

轴在x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（，），（，－）四点.19.在中，角A，B，C的对边分别为，且满足

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若的面积的最大值。参考答案：解：（Ⅰ）在中，

根据正弦定理有

又

------（4分）

（Ⅱ）

根据余弦定理

（当且仅当时取“=”号）

即的面积

即当a=b=c=2时，△ABC的面积的最大值为

------（5分）20.(12分)已知函数过点,且关于成中心对称.

(1)求函数的解析式;

(2)数列满足.求证:

.参考答案：

(1)由过可得

,又

关于对称.

∴

即.

∴

(2)

(*)

由,得当即,则时,.即

又.∴

且同理:当时,

∴

且∴.

(*)式化为

得证.21.已知函数的定义域为，且，对，都有，数列满足，（Ⅰ）证明：，；（Ⅱ）若数列满足，求数列的通项公式；（Ⅲ）设，证明：当时，.（其中符号）

参考答案：解析：（Ⅰ）证明：依题意且，当时，，…………………2分而,∴又∴，即数列为递增数列，又,∴………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）有，所以，又0∴数列是等比数列，且公比为2，∴………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知,数列为递增数列∴当且时，当时，当时，……………………14分

略22.如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明以DE∥平面PBC，只需证明DE∥PC；（Ⅱ）证明BC⊥平面PAB，根据线面垂直的判定定理，只需证明PA⊥BC，AB⊥BC；（Ⅲ）当点F是线段AB中点时，证明平面DEF∥平面PBC，可得平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE∥PC．又因为DE?面PBC，PC?面PBC，所以DE∥平面PBC．

…．（Ⅱ）证明：因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA?平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥面ABC，因为BC?平面ABC，所以PA⊥BC．又因为AB⊥BC，且PA∩AB=A，所以BC⊥面PAB．

…．（Ⅲ）解：当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB中点F，连EF，连DF