2023年河南省平顶山市中考数学二模试卷含解析

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各数中，小于的数是()

A.B.C.D.

2.从“同一个世界，同一个梦想”的年夏季奥运会，到“一起向未来”的年冬季奥运会，北京成为世界上首座“双奥之城”，下列四幅图是两届奥运会的参选徽标，其中文字上方的图案是轴对称图形的是()

A.B.

C.D.______

3.新时期的中国北斗服务优质多样，我们的授时精度对外服务的承诺是纳秒，其中纳秒秒，数据“纳秒”用科学记数法表示为()

A.秒B.秒C.秒D.秒

4.如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是()

A.三棱锥B.三棱柱C.圆锥D.长方体

5.将一副三角尺如图放置，其中，，，则的度数为()

A.

B.

C.

D.

6.在平面直角坐标系中，已知函数为常数的图象经过点，则下列叙述正确的是()

A.函数图象经过点B.函数值随的增大而减小

C.函数图象不经过第三象限D.函数图象与坐标轴围成三角形的面积为

7.定义运算：，例如：，则方程的根的情况为()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

8.为庆祝“五一”国际劳动节，某学校举行了劳动技能比赛，经过初赛，小明和另外五名学生进入了决赛，通过实践操作、现场答辩两个环节，评委会根据这六名学生表现，经过认真评判，给出了每个学生的成绩，小明想提前知道自己的成绩，老师告诉了他两条信息：其他五名学生的成绩单位：分分别为，，，，；你的成绩在这六个分数中既是众数，又是中位数，请你思考，小明的成绩是()

A.分B.分C.分D.分

9.在地球引力作用下，大量气体聚集在地球周围，形成数千公里的大气层，大气层是地球生物赖以生存必不可少的条件，大气层由于重力作用形成了大气压，海拔高度不同，大气压强也不同，如图是大气压强随海拔高度变化的关系图象，观察图象可知，下列说法正确的是()

A.大气压强与海拔高度成反比例函数关系

B.随着海拔高度的增大，大气压强也随之增大

C.海拔高度为时，大气压强约为

D.海拔高度为时，大气压强为

10.图是一组邻边分别为，，一个内角为的平行四边形，图中的虚线是其对边中点的连线，用剪刀沿虚线把它剪成四个四边形，把这四个四边形按图拼成一个六边形

，则中间空白部分的面积是()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.写出不等式的一个整数解：______．

12.如图，在中，，，，点为上任一点，连接，过点，分别作，，与交于点，则线段的最小值为______．

13.“二十大”报告中对新时期好青年提出了四个要求：“有理想”“敢担当”“能吃苦”“肯奋斗”，现有四张卡片，正面分别写有这四个词语，它们除此之外完全相同，现反面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下词语后放回洗匀；再随机抽取一张，则这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的概率是______．

14.如图，为半圆的直径，且，点为上一点，连接，将半圆沿直线折叠，使折叠后的圆弧恰好经过圆心，则图中阴影部分的周长为______结果保留

15.如图，在中，，，，点是的中点，点是射线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当时，线段的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

计算：；

化简：．

17.本小题分

某校为了解学生对“运动与健康”知识的掌握情况，开展了以“我运动，我健康”为主题的知识测试，并随机抽取了名学生的测评成绩百分制，分数均为整数，对他们的测评数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

名学生得分单位：分的频数分布直方图如图所示：数据分成组：，，，，；

学生得分在这一组的是：

所有测评学生的得分平均数为分；

小明在这次知识测评中得分为分．

根据以上信息，回答下列问题：

小明的得分在抽取的名学生得分中，从高到低排第______名；

本校三个年级共有人参加了此次测试，请估计测试成绩超过平均分分的人数；

请对该校学生“运动与健康”知识的掌握情况进行合理评价．

18.本小题分

为了方便“红旗小区”居民的出行，市政府在小区门前的河道上新修建了一座大桥，一数学兴趣小组为了测量大桥的长度，他们在楼顶处测得大桥两端和的俯角分别是和，已知楼的高为，且楼的底部与大桥在同一水平线上，求大桥的长度结果精确到，参考数据：，，，

19.本小题分

如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与，分别交于，两点，且．

求反比例函数的解析式；

设点为上一点，若，求点的坐标．

20.本小题分

为美化环境，某园林部门决定购买，两种景观树对开源路南段进行绿化改造，已知每棵种树的价格是种树价格的倍；购买种树棵，种树棵，共花费元．

求，两种树的单价各是多少元？

若园林部门计划购买，两种景观树共棵，设购买种树的数量为棵，购买两种树的总费用为元．

求出关于的函数关系式；

根据市场变化，厂家对种树的价格下调，种树的价格不变，且购买树的总费用不超过元，则最多能购买种树多少棵？

21.本小题分

如图，点为线段的中点，为的直径，为的切线，切点为．

请用无刻度的直尺和圆规作，垂足为，且直线交于点要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图

在的条件下：

求证：．

若，请直接写出的长为______．

22.本小题分

隋朝李春设计建造的赵州石拱桥，距今已有多年的历史，其石拱的横截面形状近似抛物线，如图所示，测得它的跨度为，拱高抛物线的最高点到中点的距离为，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设二次函数的解析式为．

结合计算器提供的信息，求抛物线的解析式值精确到

当雨季来临时，水位上涨，若水面宽度不大于时，要采取紧急措施保护桥梁的安全，当测量员测得点到水面的距离只有时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．

23.本小题分

综合与实践

在学完特殊的平行四边形这一章节后，老师提出了这样一个问题：将平行四边形沿其一条对角线折叠能否得到一组新的平行线．

动手操作

如图，已知矩形，小明将矩形沿对角线对折，使点落在点的位置，与交于点，连接．

写出图中的一个等腰三角形不添加辅助线：______；

与的位置关系为______．

迁移探究

如图，小明将图中的矩形换成任意的平行四边形，则中与的位置关系是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

拓展应用

在图中若，，当恰好为直角三角形时，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：选项：，不符合题意；

选项：，不符合题意；

选项：，不符合题意；

选项：，符合题意；

故选：．

分别计算各个选项的值，然后比较大小即可．

本题主要考查实数的大小比较、零指数幂、绝对值等知识，熟练掌握实数的大小比较、零指数幂、绝对值等知识是解题的关键．

2.【答案】

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

故选：．

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3.【答案】

【解析】解：用科学记数法表示纳秒为：秒秒秒．

故选：．

绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

4.【答案】

【解析】解：由题意知，图形可以折叠成三棱柱，

故选：．

根据三棱柱的展开图得出结论即可．

本题主要考查简单几何体的展开图，熟练掌握简单几何体的展开图是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：，

，

，

．

又，

．

故选：．

由，利用“同位角相等，两直线平行”，可得出，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出的度数，结合，可求出的度数，再利用邻补角互补，即可求出的度数．

本题考查了平行线的判定与性质以及邻补角，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．

6.【答案】

【解析】解：为常数的图象经过点，

，

解得：，

，

：当时：，

故A是正确的；

：，

随的增大而增大，

故B是错误的；

：，

函数图象经过一、二、三象限，

故C是错误的；

：函数图象与坐标轴的交点为：，

函数图象与坐标轴围成三角形的面积为，

故D是错误的；

故选：．

先根据待定系数法求出的值，再根据一次函数的图象和性质求解．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握数形结合思想是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：由新定义得：，

，

方程有两个不相等的实数根．

故选：．

利用新定义得到，然后利用可判断方程根的情况．

本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

8.【答案】

【解析】解：原数据的中位数为，当小明的成绩为分时，新数据的中位数为，众数为，符合题意，

所以小明的成绩为分，

故选：．

原数据的中位数为，当小明的成绩为分时，新数据的中位数为，众数为，据此可得答案．

本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．

9.【答案】

【解析】解：、根据图象可知图象经过，，，，，横坐标与纵坐标的积不相等，所以结论错误，不符合题意；

B、根据图象可以看出，随着海拔高度的增大，大气压强也随之减小，所以结论错误，不符合题意；

C、根据图象可以看出，当时，大气压强，故结论正确，符合题意；

D、根据图象可以看出，，，故结论错误，不符合题意．

故选：．

A、根据反比例函数的定义即可判断；

B、根据图象的变化趋势即可判断；

C、根据表格数据即可判断；

D、根据图象趋势即可判断．

现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

10.【答案】

【解析】解：如图，由题意可知，，

，

是等边三角形，

，

，，，

过点作于，则，

，

，

又，

，

，

，

又，

，

，

，

四边形为平行四边形，

．

故选：．

根据题意表示出与，作出辅助线，求出的值，根据平行四边形的判定，判断出四边形为平行四边形，进而求出平行四边形的面积，即为中间空白部分的面积．

本题考查了平行四边形的性质与判定，解直角三角形的应用，解题的关键是判断出四边形为平行四边形．

11.【答案】答案不唯一

【解析】解：不等式的解集是：，

因而不等式的整数解是：任意小于的整数．

故答案为：答案不唯一．

首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可．

此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．

12.【答案】

【解析】解：，，，

，

，，

四边形为平行四边形，

的最小值等于平行线与之间的距离．

故答案为：．

先根据勾股定理求出，再根据平行四边形的判定得四边形为平行四边形，再根据平行线间的距离为垂线段最短即可得出答案．

本题主要考查勾股定理，平行四边形的判定，垂线段最短，解题关键是找出最短距离的位置．

13.【答案】

【解析】解：设“有理想”“敢担当”“能吃苦”“肯奋斗”这四个词语分别记为，，，，

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”，即和的结果有种，

这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的概率为．

故答案为：．

画树状图得出所有等可能的结果数以及这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的结果数，再利用概率公式可得出答案．

本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．

14.【答案】

【解析】解：作半径于，

由折叠的性质得到：，，

，

，

，

，

，

的长，

阴影的周长的长的长的长．

故答案为：．

作半径于，由折叠的性质得到，，得到，由，求出，得到，由弧长公式求出的长，即可求出阴影的周长．

本题考查弧长的计算，折叠问题，关键是求出，证明．

15.【答案】或

【解析】解：如图，当点在线段上时，连接，，

，，，

，，

，

，

，

点是的中点，

，

是等边三角形，

，，

将线段绕点顺时针旋转，得到线段，

，，

，

在和中，

，

≌，

；

如图，点在线段的延长线上时，

，

，

，

同理可证：≌，

；

故答案为：或．

分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求的长，即可求的长，由“”可证≌，可得，即可求解．

本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．

16.【答案】解：

；

．

【解析】先算负整数指数幂、算术平方根和零指数幂，然后计算加法即可；

先算括号内的式子，然后算括号外的除法即可．

本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

17.【答案】

【解析】解：由频数分布直方图可知：

学生得分在的有人，

又学生得分在这一组的是：

，

分从高到低排第名，

故答案为：；

由频数分布直方图和得分在这一组具体数据，

可知：样本中名学生测试成绩中超过平均分分有：人，

人，

答：估计测试成绩超过平均分分的有人；

从频数分布直方图中可以看出，成绩高于的人，所以成绩总体较好；但低于平均分的有人，超过半数，说明大部分成绩有待提高．

根据频数分布直方图中频数和得分在这一组具体数据解答即可；

先根据频数分布直方图和得分在这一组具体数据求出样本中超过平均分的百分比，再乘以即可；

可从频数分布直方图和平均数方面对该校学生“运动与健康”知识的掌握情况进行合理评价．

本题考查频数分布直方图，平均数，能从频数分布直方图中获取有用信息，熟悉相关数据的意义是解题的关键．

18.【答案】解：由题意得：，，

，，

在中，，

，

在中，，

，

大桥的长度约为．

【解析】根据题意可得：，，从而可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．

本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

19.【答案】解：在矩形中，，，

，，

，

，

，

反比例函数的图象过点，

，

反比例函数的解析式为；

把代入得，，

，

，

设，则，，

，

，即，

解得，

点的坐标为．

【解析】利用矩形的性质，根据求得，代入即可求得的值；

利用反比例函数的解析式求得的坐标，然后根据利用勾股定理即可求得点的坐标．

本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求得交点坐标是解题的关键．

20.【答案】解：设种树的单价是元，则种树的单价是元，

根据题意得：，

解得，

，

种树的单价是元，种树的单价是元；

根据题意得：

，

关于的函数关系式为；

对种树的价格下调，

种树的价格为元棵，

购买树的总费用不超过元，

，

解得：，

答：最多能购买种树棵．

【解析】设种树的单价是元，根据购买种树棵，种树棵，共花费元得：，即可解得答案；

根据题意得：；

由对种树的价格下调，可得种树的价格为元棵，根据购买树的总费用不超过元，知，解得的范围可得答案．

本题考查一次函数的应用，涉及一元一次方程，一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．

21.【答案】

【解析】解：如图，，点即为所求；

证明：如图，连接，

为的切线，

，

，

由作图可知：，

，

，

，

，

；

解：点为线段的中点，

，

为的直径，

，

，

为的直径，

，

，

∽，