一元函数积分学及其应用课件

一元函数积分学及其应用第三章主讲武忠祥一元函数积分学及其应用第三章主讲武忠祥1西安交大经典考题（爱情）西安交大经典考题（爱情）2第一节不定积分第二节定积分第三节定积分应用第四节反常积分第五节几类简单的微分方程第一节不定积分第二节定积分第三节定积分应用3第一节不定积分1．两个概念:1）原函数：2）不定积分：2．基本积分公式：3．三种主要积分法1）第一类换元法（凑微分法）

若

2）第二类换元法：第一节不定积分1．两个概念:1）原函数：43）分部积分法

“适用两类不同函数相乘”【例1】【解】例题选讲3）分部积分法“适用两类不同函数相乘”【例1】【解】5【例2】【解1】令则

【解2】【例2】【解1】令则【解2】6【例3】设为的原函数，且当时，已知求【解1】由【解2】

【例3】设为的原函数，且当时，已知求【解1】由【解271.定义：

2.可积性：1）必要条件：有界；

2）充分条件：连续或仅有有限个第一类间断点；

3.计算：

1)

2）换元法3）分部积分法

4）利用奇偶性，周期性5）利用公式第二节定积分1.定义：2.可积性：1）必要条件：有界；2）充分条84变上限积分：上连续，则在上可导且变上限求导的三个类型：4变上限积分：上连续，则在上可导且变上限求导的三个类型：95。性质：1)不等式：

(1)若则

（2)若在上连续，则（3)2)中值定理：

（1）若在上连续，则（2）若在上连续，不变号，则5。性质：1)不等式：(1)若则（2)若在上10【例1】

【例2】

【例3】

例题选讲一、定积分计算【例1】【例2】【例3】例题选讲一、定积分计11【例4】【解】

【例4】【解】12【例5】设计算【解1】

【解2】【例5】设计算【解1】【解213【例6】计算定积分【解】令则

原式【例6】计算定积分【解】令则原式14【例7】已知连续，的值.【解】令得

从而有令得：【例7】已知连续，的值.【解】令得15

【例1】求极限

【解】原式=

二、与定积分有关的综合题【例1】求极限【解】原式=二、16【解】令则则原式=【例2】求极限【解】令则则原式=【例2】求极限17原式【例3】求极限

【解】原式【例3】求极限【解】18【例4】求极限【解】原式【例4】求极限【解】原式19【例5】设函数连续，且求极限【解】原式=

【例5】设函数连续，且求极限【解】原式=20【例6】设连续,令1)试证曲线在上是凹的.2)当为何值时,取得最小值.3)若的最小值可表示为试求【解】1)

【例6】设连续,令1)试证曲线在上是凹的.2)当为何值212)令得又在取最小值.3)又则从而2)令得又在取最小值.3)又则从而22【例7】设在上连续,且求证:使【证】只要证明令则由罗尔定理知使即【例7】设在上连续,且求证:使【证】只要证明令则由罗尔23【例8】

(2012,1,14)设在上可导且满足证明：存在使【证】令使【例8】(2012,1,14)设在上可导且满足证明：存24【例9】设在上连续，在内可导，且试证存在两个不同的点使得【例9】设在上连续，在内可导，且试证存在两个不同的点使得25【例10】设函数在上有连续一阶导数，且试证至少存在一点使【证1】由拉格朗日中值定理得

又在上连续，则必有其最大值和最小值则

【例10】设函数在上有连续一阶导数，且试证至少存在一点使【证26【证2】令则

由积分中值定理得，使得由罗尔定理得，使得【证2】令则由积分中值定理得，使得27【例11】

(2009,1,19)设试证存在使【证1】由Taylor定理得由得【例11】(2009,1,19)设试证存在使【证1】由T28【例12】设在上具有二阶连续导数，且证明：【证明】

【例12】设在上具有二阶连续导数，且证明：【证明】29【例13】设在上可导,且求证:【证】令

令【例13】设在上可导,且求证:【证】令令30【例14】设在上有连续导数,且求证:【证】【例14】设在上有连续导数,且求证:【证】31

一。几何应用;1.平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程）2．体积：

1）已知横截面面积的体积2）旋转体的体积二．物理应用1.压力；

3.引力。

2.变力做功；第三节定积分应用一。几何应用;1.平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程）32【例1】过原点作曲线的切线及轴围成平面域为1）求的面积2）求分别绕【解】1)设过原点的切线为则由此得2）该切线与曲线旋转一周所得旋转体体积轴和【例1】过原点作曲线的切线及轴围成平面域为1）求的面积2）33【例2】一容器的内侧是由曲线绕曲面,其容积为其中盛满水,器的顶部抽出至少需做多少功?【解】设容器深度为当时，当时，（长度单位：重力加速度为水的密度）轴旋转而成的若将容器中的水从容【例2】一容器的内侧是由曲线绕曲面,其容积为其中盛满水,器的34第四节反常积分1．无限区间3）若和都收敛，则称收敛。常用结论：2.无界函数

设为的无界点，常用结论：

第四节反常积分1．无限区间3）若和都收敛，则称收敛。常35

【例1】计算【解】原式

例题选讲

一、反常积分计算【例1】计算【解】原式36【例2】求证:并求其值.【解】

原式

【例2】求证:并求其值.【解】原式37【例1】判定反常积分的敛散性.

二、反常积分敛散性判定【例1】判定反常积分的敛散性.二、反常积分敛散性判定381．一阶方程1）可分离变量2）齐次3）线性通解：

2.可降阶方程:2)1)3)第五节几类简单的微分方程4)Bernoulli1．一阶方程1）可分离变量2）齐次3）线性39【例1】求解下列一阶微分方程

5)求方程满足条件的特解.的通解为4）方程解应填例题选讲【例1】求解下列一阶微分方程40【例2】设连续,且满足求【解】从而有【例2】设连续,且满足求【解】从而有41【例3】设在上有定义，对任意的求【解】

【例3】设在上有定义，对任意的求【解】42【例4】设对任意曲线上点处的切线在