【微专题】2023年8下常考点微专题提分（人教版） 一次函数与将军饮马结合（解析版）

一次函数与将军饮马结合1．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴正半轴上，且．．(1)求AB；(2)在y轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出的最小值；(3)在x轴上是否存在一点M，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标．【答案】(1)5(2)(3)（8，0）、（-2，0）或（-3，0）．【分析】（1）根据题意求出a、b的值，运用勾股定理可求AB的值；（2）首先求出点D的坐标，再作点B关于y轴的对称点连接，求解即可；（3）根据AB是腰分类讨论即可．【详解】（1）解：∵∴a=4，b=3∴OA=4，OB=3根据勾股定理可得∴所以AB长度为5．（2）解：存在点P，使得PB+PD最小值为如图；过点D作轴，交y轴于点E，作点B关于y轴的对称点连接，过点D作轴于点F，∵∴在和中∴∴OB=AE=3，OA=DE=4∴点D坐标为（4，7）∵，DF=7根据勾股定理可得∴∴PB+PD最小值为．（3）解：当AB=AM时，点M坐标为（-3，0）当BA=BM时，点M坐标为（8，0）、（-2，0）∴使以AB为等腰三角形的点M的坐标为（8，0）、（-2，0）或（-3，0）．【点睛】本题是一次函数的综合应用，解题的关键是掌握勾股定理、对称求线段和最小、等腰三角形的判定．2．如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A(1，3)，B(2，1)，C(5，1)．（1）画出ABC关于y轴的对称的A1B1C1．（2）A1B1C的面积为；（3）y轴上存在一点P使得ABP的周长最小，点P的坐标为，周长最小值为．【答案】（1）见解析；（2）7；（3），【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）根据三角形的面积公式求解即可；（3）利用待定系数法求出AB1所在直线解析式，从而得出点P坐标，再利用勾股定理可得三角形ABP周长最小值．【详解】解：（1）如图所示，△即为所求．（2）如图所示，连接，△的面积为，故答案为：7；（3）如图所示，连接，与轴的交点即为所求点，设所在直线解析式为，则，解得，，当时，，；，，周长最小值为，故答案为：，．【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对称点．3．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．(1)求该一次函数的表达式；(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】(1)y＝-x＋5(2)；(3)存在，或【分析】(1)把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，求出k、b的值，即可写出一次函数的表达式．(2)先作出A(1，4)关于y轴的对称点A′(-1，4)，连接A′B与y轴的交点即为P点．求出直线A′B的函数表达式，即可求出P点的坐标，利用两点之间的距离公式即可求出A′B的长，即PA+PB的最小值．(3)先求出△AOB的面积，再根据△MOA的面积等于△AOB的面积列方程求出M点的横坐标，即可求出M点的坐标．（1）把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，得，解得，∴一次函数的表达式为：y=-x+5；（2）作A(1，4)关于y轴的对称点A′(-1，4)，连接A′B交y轴于P点，连接PA，此时PA+PB的值最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B，设A′B的表达式为y=mx+n，则，解得，∴直线A′B的表达式为，当x=0时，y=，∴P(0，)，且，∴PA+PB的最小值为；（3）由y=-x+5得C(5，0)，∴S△AOB=S△AOC-S△BOC，设M(xM，yM)，∵S△MOA=S△AOB，，∴，∴或，∴M(，0)或（，0），∴存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积，且M点的坐标为(，0)或（，0）．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的表达式，求两条线段之和的最小值(即将军饮马)，两点之间距离公式，以及利用面积法求点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点和直线，我们称点是直线的反关联点，直线是点的反关联直线．特别地，当时，直线的反关联点为．已知点，，．(1)点B的反关联直线的解析式为______，直线AC的反关联点的坐标为______；(2)设直线AC的反关联点为点D；①若点P在直线AC上，求的最小值；②若点E在点B的反关联直线上，且，求点E的坐标．【答案】(1)，(2)①；②或【分析】（1）根据反关联点，反关联直线的定义解决问题即可；（2）①作点B关于直线AC的对称点B′，连接DB′交AC于P，连接PB，此时PD＋PB的值最小，然后利用勾股定理求解即可；②设E（m，−4m），根据构建方程求出m即可．(1)解：∵B（0，−4），∴点B的反关联直线的解析式为：y＝−4x，∵A（−2，2），C（0，0），∴直线AC的解析式为y＝−x，∴直线AC的反关联点的坐标为（0，−1），故答案为：y＝−4x，（0，−1）；(2)由（1）可知，，①如图，作点B关于直线AC的对称点B'，连接DB'交AC于P，连接PB，此时的值最小，∵，，∴的最小值为：；②设，由题意得：，解得：，∴或．【点睛】本题考查一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y轴和x轴上，已知点A（0，4）．以AB为直角边在AB左侧作等腰直角△ABC，∠CAB＝90°．(1)当点B在x轴正半轴上，且AB＝8时①求AB解析式；②求C点坐标；(2)当点B在x轴上运动时，连接OC，求AC+OC的最小值及此时B点坐标．【答案】(1)①；②(2)，【分析】（1）①根据，，推出，所以，，设直线的解析式为，将、坐标代入即可求出解析式；②过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、．则，所以，，即；（2）由可知，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，所以，的最小值为的长度，此时，即可求出坐标．（1）解：①，，，，，设直线的解析式为，，，解析式：；②过点作轴的平行线，与分别过点、作轴的平行线交于、．则，，；（2）由可知，在轴负半轴同理可说明）点在直线上运动，作点关于直线的对称点，，，．的最小值为，此时，．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、利用轴对称求最短线路．这里构造三角形全等找到点的运动轨迹是关键．6．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且．(1)求点D的坐标及直线的解析式；(2)求的面积：(3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)；(3)点P的坐标为时，的最大值为【分析】（1）作轴于点，可证得：，故可得：，，由，可得出，，，，即可得出：D，即可得出直线的解析式；（2）由三角形的面积公式即可得出结论；（3）延长交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时的最大值为线段的长度，由可得出：点P．由勾股定理可得，，即可得出答案．【详解】（1）作轴于点，由题意，，，∵，∴，∴，，由，令，得，∴，，令，得，得，∴，，∴，，，∴点D的坐标为，设直线的解析表达式为，代入和，得，解得，∴直线的解析表达式为；∴点D的坐标为，直线的解析表达式为；（2）由题意得，，，∴；（3）存在，理由如下：延长交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时的最大值为线段的长度．令，代入，解得，∴点P的坐标为．在中，由勾股定理得，．综上，点P的坐标为时，的最大值为．【点睛】本题考查了一次函数与几何问题，待定系数法求函数解析式，两点之间线段最短，构造三角形全等求线段长度，三角形面积，掌握以上知识是解题的关键．7．如图，一次函数y＝-x+6的图像与正比例函数y＝2x的图像交于点A．（1）求点A的坐标；（2）已知点B在直线y＝-x+6上，且横坐标为5，在x轴上确定点P，使PA＋PB的值最小，求出此时P点坐标，并直接写出PA+PB的最小值．【答案】（1）点

A

的坐标(2，4)；（2）P点坐标为(，0)，PA＋PB的最小值为．【分析】(1)把两个函数关系式联立成方程组求解，即可求得交点A的坐标；(2)作点B关于轴的对称点C，连接AC交轴于P，连接PB，此时PA+PB的值最小，利用两点之间的距离公式计算即可求得最小值．【详解】(1)解方程组，得：，∴点A的坐标为(2，4)；(2)∵点B在直线上，且横坐标为5，∴点B的坐标为(5，1)，作B点关于x轴对称点C，则点C的坐标为(5，-1)，连接AC交轴于P，连接PB，此时PA+PB的值最小，设直线AC的表达式为，将点A、C的坐标(2，4)、(5，-1)代入，得：，解得：，∴直线AC的表达式为，令，则，∴P点坐标为(，0)，∴PA+PB的最小值=AC=．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，一次函数的交点问题，一次函数的应用，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．8．如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点，，平分交轴与点，，垂足为．（1）求点，的坐标；（2）求所在直线的解析式；（3）如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值．【答案】（1）A（8，0）；B（0，）；（2）；（3）．【分析】（1）直接令x=0和y=0，即可求出点A、B的坐标；（2）由角平分线的性质定理，设，由面积法求出m=3，然后得到点C的坐标，再根据，求出，即可求出CD所在直线的解析式；（3）由题意，作点E关于直线BC的对称点，则，点恰好落在直线AB上，则求出的最小值，即为求的最小值，当⊥AB时，为最小，再利用面积法，即可求出答案．【详解】解：（1）在一次函数中，令，则，令，则，∴点A为（8，0），点B为（0，）；（2）根据题意，如图，设CD=m，∵平分，OC⊥OB，CD⊥BD，∴，∵OA=8，OB=6，∴，∴，∵，∴，∴，∴点C的坐标为（3，0）；∵，∴，∵，∴，∴设直线CD的解析式为，把点C（3，0）代入，则，∴直线CD的解析式为；（3）根据题意，作点E关于直线BC的对称点，则，如图：∵BC是角平分线，∴点恰好落在直线AB上，∴，∴的最小值就是的最小值，当⊥时，为最小值；∵，∴，∴，∴的最小值为．【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，轴对称的性质，角平分线的性质，最短路径问题，以及勾股定理求两点的距离等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用数形结合的思想进行分析，从而进行解题．9．在中，，点P为边上的动点，速度为．(1)如图1，点D为边上一点，，动点P从点D出发，在的边上沿D→B→C的路径匀速运动，当到达点C时停止运动．设的面积为（cm2），的面积为（），点P运动的时间为t（）．，与t之间的函数关系如图2所示，根据题意解答下列问题：①在图1中，，；②在图2中，求和的交点H的坐标；(2)在（1）的条件下，如图3，若点P，点Q同时从点A出发，在的边上沿A→B→C的路径匀速运动，点Q运动的速度为，当点P到达点C时，点P与点Q同时停止运动．求t为何值时，最大？最大值为多少？【答案】(1)①5，6；②点(2)时，最大值为5.5【分析】（1）①由图象可求解；②由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求，即可求点H坐标；（2）分三种情况讨论，由线段的和差关系可求解．【详解】（1）①由图2可知，，，∴（），故答案为：5，6；②如图1，过点A作于T，∵，，∴（），∴（），∴（），∴当时，即，此时点P是的中点，∴，∴，∴点；（2）①当时，P，Q均在上，∴当时，最大，②当时，P在上，Q在上，∴，∴当时，最大，③当时，P，Q均在上，∴，∴当时，最大，∴综上，时，最大值为5.5．【点睛】本题是三角形综合题，考查了函数图象的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．10．如图1，直线和直线相交于点A，直线与x轴交于点C，点P在线段上，轴于点D，交直线于点Q．已知A点的横坐标为4．(1)点C的坐标为______；(2)当时，求Q点的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，平分线交x轴于点M；①求出M点的坐标；②在线段上找一点N，使的周长最小，直接写出周长最小值______．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）先求出点A的坐标，然后再求出b的值，最后求出直线与x轴的交点坐标即可；（2）设点Q的坐标为：，则点P的坐标为：，根据列出关于m的方程，解方程即可；（3）①过点M作于点N，设，则，根据角平分线的性质得出，证明，得出，代入求出t的值，即可得出答案；②作点O关于直线的对称点，过点作轴于点E，连接交直线于点F，连接，交于一点，当N点在此点上时，的周长最小，根据相似三角形的判定和性质求出点的坐标，求出的长，即可得出答案．【详解】（1）解：把代入得：，∴点A的坐标为：，把代入得：，解得：，∴，把代入得：，解得：，∴点C的坐标为：．故答案为：．（2）解：设点Q的坐标为：，则点P的坐标为：，，∵，∴，解得：，∴点Q的坐标为：．（3）解：①过点M作于点N，如图所示：∵点Q的坐标为：，∴，，∴，设，则，∵平分，，，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∴M点的坐标为；②如图所示，作点O关于直线的对称点，过点作轴于点E，连接交直线于点F，连接，交于一点，当N点在此点上时，的周长最小，∵点M点的坐标为，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，，∴点的坐标为，∴，∵垂直平分，∴，∴，即的周长最小值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，三角形相似的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．11．【阅读】已知平面直角坐标系中有两点，，根据勾股定理，可知两点间的距离．特别地，如果点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，那么这两点间的距离公式可简化为或．例如：已知点，，则这两点间的距离．根据以上材料，解决下列问题：(1)已知，，则A，B两点间的距离为________．(2)已知点M，N在同一条平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为-2，点N的纵坐标为3，则M，N两点问的距离为________．(3)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，试探究在x轴上是否存在一点P，使得的值最小？若存在，请求出此时点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)5(3)存在；P（2，0）；【分析】（1）根据两点间的距离公式进行计算即可；（2）根据平行于y轴的两点间的距离公式进行计算即可；（3）先做出点B关于x轴的对称点，连接与x轴的交点即为P点，即为的最小值．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：，故答案为：5；（3）解：存在．如图所示：作B关于x轴的对称点，连接与x轴的交点即为P点，即为的最小值．设直线的解析式为：则：解得：∴直线的解析式为：当时，∴P的坐标为：（2，0）【点睛】本题考查两点间的距离公式，以及求线段和的最小值．在坐标系下求线段和的最小值，属于将军饮马问题，需要作已知点的对称点，然后将对称点与另一个已知点连接所成的线段即为最短．12．如图1所示，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线：与x轴、y轴分别交于C、D两点，两直线交于点E．(1)求点E的坐标；(2)如图2，在x轴上有一动点P，连接PE、PD，求的最大值；(3)如图1，将绕平面内某点旋转90°，O的对应点落在直线上，D的对应点落在直线上，请直接写出旋转后C的对应点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）通过联立直线解析式求解即可得出答案；（2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，则PD=PD′，|PE-PD|=|PE-PD′|=D′E最大，再运用勾股定理即可求得答案；（3）分两种情况：①将△OCD绕平面内某点逆时针旋转90°，设O′（m，-m+3），由O′D′=OD=4，建立方程求解即可；②将△OCD绕平面内某点顺时针旋转90°，同理即可求得答案．【详解】（1）由题意得：，解得：，∴点E的坐标（2，2）；（2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，则PD=PD′，∴|PE-PD|=|PE-PD′|=D′E最大，∵直线l2：y=3x-4与y轴分别交于D点，∴D（0，-4），∴D′（0，4），过点E作EG⊥y轴于点G，则EG=2，D′G=2，∴∴|PE-PD|的最大值为；（3）∵直线l2：y=3x-4与x轴、y轴分别交于C、D两点，∴C（，0），D（0，-4），∴OC=，OD=4，OD⊥x轴，OC⊥y轴，∴O′D⊥y轴，O′C⊥x轴，①将△OCD绕平面内某点逆时针旋转90°，如图2，∵O的对应点O'落在直线l1上，D的对应点D′落在直线l2上，设O′（m，m+3），则点D′的纵坐标为m+3，∴m+3=3x-4，解得，∵O′D′=OD=4，解得，②将△OCD绕平面内某点顺时针旋转90°，如图3，∵O的对应点O'落在直线l1上，D的对应点D′落在直线l2上，设O′（m，m+3），则点D′的纵坐标为m+3，∴m+3＝3x﹣4，∴x，∴D′（，m+3），∵O′D′＝OD＝4，∴m﹣（）＝4，解得：m，∴O′（，），∵OC′＝OC，∴C′（，）；综上所述，旋转后C的对应点C′的坐标为（，）或（，）．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数综合运用，涉及到点的对称性、勾股定理、旋转变换的性质、分类讨论思想的运用等，综合性较强，有一定难度．13．如图，直线分别与轴，轴交于，两点，在上取一点，以线段为直角边向右作等腰直角三角形，沿直线的方向以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为秒（）．（1）求，两点的坐标；（2）在运动的过程中，为何值时，顶点落在直线上？请说明理由；（3）在运动的过程中，是否存在实数，使得有最小值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（6，0），B（0，3）；（2）t=1；（3）存在实数t，使得有最小值，此时t为2秒．【分析】（1）利用直线与坐标轴交点性质即可求解；（2）确定出经过秒，顶点的坐标为（1+t，2），落在直线l上，把点的坐标代入直线解析式，即可求出时间t；（3）定点O，A到动点D距离和的最小值问题，作出A关于CD的对称点A'，连接OA'，与CD交于点D’，只需要求出移动距离就可以求出时间t．【详解】解：（1）∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝6，∴A（6，0），B（0，3）；（2）∵，∴BC=3-2=1，∵以线段为直角边向右作等腰直角三角形，∴D（1，2），∵经过秒，顶点的坐标为（1+t，2），∴，解得：t=1；（3）存在实数t，使得有最小值，理由如下：∵点D向右移动所在的直线：y＝2，作点A关于直线CD对称点A'，则A'（6，4），连接OA'，交于直线CD于点D'，此时OD'＋D'A最小，∵O（0，0），A'（6，4），∴直线OA'：y＝x，与直线CD：y＝2联立解得点D'（3，2），如图DD'＝3−1＝2，t＝2÷1＝2（秒），答：存在实数t，使得有最小值，此时t为2秒．【点睛】本题考查一次函数的图像和性质以及等腰昊直角三角形的性质，关键在于根据“马饮水”问题确定出满足最小值的点D．14．在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点，连结，∵点B，关于直