高等数学知识点总结

高等数学知识点总结函数值sinsincoscos-sin-sin-cos·和差公式：sin(x±y)=sinxcosy±cosxsinycos(x±y)=cosxcosy∓sinxsiny·倍角公式：sin2x=2sinxcosxcos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x·半角公式：sinx/2=±√(1-cosx)/2cosx/2=±√(1+cosx)/2·万能公式：tanx=±sinx/√(1-sin^2x)=±√(1-cos^2x)/cosx·反三角函数公式：arcsin(sinx)=x,-π/2≤x≤π/2arccos(cosx)=x,0≤x≤πarctan(tanx)=x,-π/2<x<π/2学习资料分享以下是高等数学知识点总结：导数公式：tanx的导数为secx，ctanx的导数为-cscx，secx的导数为secx·tanx，cscx的导数为-cscx·cotx，ax的导数为axlna，logax的导数为1/(xlna)，arcsinx的导数为1/√(1-x^2)，arccosx的导数为-1/√(1-x^2)，arctanx的导数为1/(1+x^2)，arccotx的导数为-1/(1+x^2)。基本积分表：三角函数的有理式积分：∫tanxdx=-ln|cosx|+C，∫cotxdx=ln|sinx|+C，∫secxdx=ln|secx+tanx|+C，∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C，∫dx/x√(a^2+x^2)=ln|x+√(a^2+x^2)|+C，∫dx/x√(x^2-a^2)=ln|x+√(x^2-a^2)|+C，∫dx/(a+x)=ln|a+x|-C，∫dx/(a-x)=ln|a-x|+C。其他函数的积分：∫adx=x+C，∫shxdx=chx+C，∫chxdx=shx+C，∫dx/(x^2-a^2)=1/2a·ln|(x-a)/(x+a)|+C，∫sin^2xdx=∫(1-cos2x)/2dx=x/2-sinxcosx/2+C，∫cscxdx=-ln|cscx-cotx|+C，∫secx·tanxdx=secx+C，∫cscx·cotxdx=-cscx+C。一些初等函数：双曲函数：双曲正弦shx=(ex-e-x)/2，双曲余弦chx=(ex+e-x)/2，双曲正切thx=sinhx/coshx=(ex-e-x)/(ex+e-x)，反双曲函数arshx=ln(x+√(x^2+1))，archx=±ln(x+√(x^2-1))，arthx=ln((1+x)/(1-x))/2。三角函数公式：诱导公式：sin(π/2±x)=cosx，cos(π/2±x)=±sinx，sin(π±x)=-sinx，cos(π±x)=-cosx。和差公式：sin(x±y)=sinxcosy±cosxsiny，cos(x±y)=cosxcosy∓sinxsiny。倍角公式：sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x。半角公式：sinx/2=±√((1-cosx)/2)，cosx/2=±√((1+cosx)/2)。万能公式：tanx=±sinx/√(1-sin^2x)=±√(1-cos^2x)/cosx。反三角函数公式：arcsin(sinx)=x,-π/2≤x≤π/2，arccos(cosx)=x,0≤x≤π，arctan(tanx)=x,-π/2<x<π/2。270°+α、360°-α、360°+α、lim、sinx、x→x、1/xlim(1+)→e、x→∞、sinαcosα/tgα、-sinαcosα/cosα、sinα/cosα、cosα/sinα、-tanα-cotα、cotαtanα、-sinα-cotα-tanα、-cosα-tanα-cotα、cotα、tanα、-sinα-cosαtanα、-cosα-sinαcotα、-cosαsinα、-sinαcosα、sinαcosα、-cotα-tanα、tanαcotα、sinα+sinβ=2sin(α+β)/2cos(α-β)/2、sinα-sinβ=2cos(α+β)/2sin(α-β)/2、cosα+cosβ=2cos(α+β)/2cos(α-β)/2、cosα-cosβ=-2sin(α+β)/2sin(α-β)/2、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α、cot2α=cotα-1/2cotα、tan2α=1-tan2α/1+tan2α、sin3α=3sinα-4sin3α、cos3α=4cos3α-3cosα、3tanα-tan3α=tan3α/(1-3tan2α)、sinα/2=±(1-cosα)/2、tanα/2=±sinα/(1+cosα)、cosα/2=±√(1+cosα)/2、sinA/a=sinB/b=sinC/c、arcsinx=π/2-arccosx、arctanx=π/2-arccotx、Leibniz公式：(uv)(n)k(n-k)(k)=∑C(n,k)u(n)v(k)。270度加上α，360度减去α，360度加上α，极限，正弦x，当x趋近于x时，1/x趋近于e，当x趋近于无穷大时，sinαcosα/tgα，-sinαcosα/cosα，sinα/cosα，cosα/sinα，-tanα-cotα，cotαtanα，-sinα-cotα-tanα，-cosα-tanα-cotα，cotα，tanα，-sinα-cosαtanα，-cosα-sinαcotα，-cosαsinα，-sinαcosα，sinαcosα，-cotα-tanα，tanαcotα，sinα加上sinβ等于2sin(α+β)/2cos(α-β)/2，sinα减去sinβ等于2cos(α+β)/2sin(α-β)/2，cosα加上cosβ等于2cos(α+β)/2cos(α-β)/2，cosα减去cosβ等于-2sin(α+β)/2sin(α-β)/2，sin2α等于2sinαcosα，cos2α等于2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α，cot2α等于cotα-1/2cotα，tan2α等于1-tan2α/1+tan2α，sin3α等于3sinα-4sin3α，cos3α等于4cos3α-3cosα，3tanα-tan3α等于tan3α/(1-3tan2α)，sinα/2等于±(1-cosα)/2，tanα/2等于±sinα/(1+cosα)，cosα/2等于±√(1+cosα)/2，sinA/a=sinB/b=sinC/c，arcsinx=π/2-arccosx，arctanx=π/2-arccotx，Leibniz公式：(uv)(n)k(n-k)(k)=∑C(n,k)u(n)v(k)。中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：对于函数f(x)，在[a,b]区间内存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。柯西中值定理：对于函数F(x)和G(x)，在[a,b]区间内存在一点ξ，使得[F(b)-F(a)]/[G(b)-G(a)]=F'(ξ)/G'(ξ)。曲率：弧微分公式：ds=√(1+y'^2)dx，其中y'=tanα。平均曲率：K=Δα/Δs，其中Δα表示从点M到点M'，切线斜率的倾角变化量；Δs表示MM'的弧长。M点的曲率：K=lim(Δs→0)y''Δα/ds(1+y'^2)^(3/2)。直线：K=0；半径为a的圆：K=1/a。定积分的近似计算：矩形法：∫f(x)dx≈(b-a)[y1+y2+...+yn]/n，其中yi为区间[a,b]内第i个等分点的函数值。梯形法：∫f(x)dx≈(b-a)[(y1+yn)/2+y2+...+yn-1]/n，其中yi为区间[a,b]内第i个等分点的函数值。抛物线法：∫f(x)dx≈(b-a)[(y1+yn)/2+2(y2+y4+...+yn-2)+4(y1+y3+...+yn-1)]/3n，其中yi为区间[a,b]内第i个等分点的函数值。定积分应用相关公式：功：W=F·s。水压力：F=p·A。引力：F=k1·m1·m2/r^2，其中k1为引力系数。函数的平均值：y=1/(b-a)∫f(x)dx。均方根：√[1/(b-a)∫f^2(x)dx]。空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2]。向量在轴上的投影：Prj_uAB=AB·cosθ，其中θ是AB与u轴的夹角。向量点积：a·b=ax·bx+ay·by+az·bz，是一个数量。两向量之间的夹角：cosθ=(a·b)/(|a|·|b|)。向量叉积：a×b=(ay·bz-az·by)i+(az·bx-ax·bz)j+(ax·by-ay·bx)k。向量模长：|a|=√(ax^2+ay^2+az^2)。例：线速度：v=ω×r。向量的混合积可以表示为[abc]=(a×b)·c，其中代表平行六面体的体积。平面的方程可以表示为点法式、一般方程和截距世方程。平面外任意一点到该平面的距离可以通过公式d=|Ax+By+Cz+D|/√(A^2+B^2+C^2)计算。空间直线的方程可以表示为参数方程和点向式方程。其中，点向式方程可以表示为(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p=t。二次曲面包括椭球面、抛物面和双曲面。椭球面的方程为x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1；抛物面的方程为z=ax^2+by^2；单叶双曲面的方程为x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1；双叶双曲面的方程为x^2/a^2-y^2/b^2-z^2/c^2=1。全微分可以表示为dz=∂z/∂xdx+∂z/∂ydy，或者du=∂u/∂xdx+∂u/∂ydy+∂u/∂zdz。多元复合函数的求导法可以使用链式法则，将dz/dt表示为dz/du×du/dt+dz/dv×dv/dt，或者dz/dx=∂z/∂u×∂u/∂x+∂z/∂v×∂v/∂x。隐函数的求导公式可以使用隐函数求导公式，例如d2y/dx2=-Fx/Fy。对于隐函数方程组，可以使用雅可比矩阵和牛顿迭代法求解。平面薄片的转动惯量可以通过对于x轴和y轴的积分得到，其中对于x轴的转动惯量Ix可以表示为Ix=∬y2ρ(x,y)dσ，对于y轴同理可以表示为Iy=∬x2ρ(x,y)dσ。另外，对于位于xoy平面的平面薄片上的质点M(0,0,a)(a>0)，其对z轴的引力可以表示为F={Fx,Fy,Fz}，其中Fx=f∬xρ(x,y)dσ/(x+y+a)2，Fy=f∬yρ(x,y)dσ/(x+y+a)2，Fz=-fa∬xρ(x,y)dσ/(x+y+a)2。需要注意的是，这里的f表示引力常数。柱面坐标和球面坐标可以用于求解三维空间中的积分，其中柱面坐标的变换公式为x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，对应的体积元素为f(x,y,z)dxdydz=∬∬F(r,θ,z)rdrdθdz，其中F(r,θ,z)=f(rcosθ,rsinθ,z)。而球面坐标的变换公式为x=rsinφcosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ，对应的体积元素为dv=r2sinφdrdφdθ，对于f(x,y,z)的积分可以表示为∭F(r,φ,θ)r2sinφdrdφdθ。重心的坐标可以通过对于体积元素的加权平均得到，其中x=1/M∭xρdv，y=1/M∭yρdv，z=1/M∭zρdv，其中M=∭ρdv表示物体的总质量。曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。对于L的参数方程为{x=φ(t),y=ψ(t)}，则对于f(x,y)在L上连续的情况下，对于弧长的曲线积分可以表示为∫Lf(φ(t),ψ(t))√(φ'(t)2+ψ'(t)2)dt，而对于坐标的曲线积分可以表示为∫LP(φ(t),ψ(t))φ'(t)+Q(φ(t),ψ(t))ψ'(t)dt。高斯公式可以表示为：$\text{div}A\iiint\limits_\OmegadV=\iint\limits_SA\cdot\textbf{n}dS$，其中$A=(P,Q,R)$是一个向量场，$\Omega$是一个封闭的空间区域，$S$是$\Omega$的边界曲面，$\textbf{n}$是曲面$S$上每一点的单位法向量。这个公式可以用于计算向量场的通量。斯托克斯公式描述了曲线积分和曲面积分的关系：$\oint\limits_CA\cdotd\textbf{r}=\iint\limits_S(\text{rot}A)\cdot\textbf{n}dS$，其中$C$是一个光滑的曲线，$S$是$C$所围成的曲面，$\textbf{n}$是曲面$S$上每一点的单位法向量，$\text{rot}A$是$A$的旋度。一个向量场$A$沿有向闭曲线$\Gamma$的环流量可以表示为：$\oint\limits_\GammaA\cdotd\textbf{r}$。如果向量场$A$是势场的梯度，即$A=\nabla\varphi$，那么这个环流量为$0$。常数项级数、等比数列、等差数列、调和级数等级数在数学中有广泛的应用。级数的审敛法包括正项级数的根植审敛法、比值审敛法和定义法。交错级数的审敛法可以使用莱布尼兹定理。绝对收敛和条件收敛是级数收敛的两种方式。调和级数发散，而调和级数的平方收敛。收敛与发散：当$p\leq1$时，$p$级数收敛；当$p>1$时，$p$级数发散。幂级数：当$x<1$时，幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n$收敛于$\dfrac{1}{1-x}$；当$x\geq1$时，幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n$发散。对于级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n+a_{n+1}x^{n+1}+\cdots+a_{n+k}x^{n+k}+\cdots$，如果它不仅在原点收敛，也不在数轴上都收敛，则必存在收敛半径$R$，使得当$x>R$时发散。当$x=R$时不确定。求收敛半径的方法：设$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\rho$，则当$\rho\neq0$时，$R=\dfrac{1}{\rho}$；当$\rho=0$时，$R=+\infty$。函数展开成幂级数：$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n$，其中$c_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$。函数展开成泰勒级数：$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$，余项$R_n=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$。$f(x)$可以展开成泰勒级数的充要条件是：$\lim\limits_{n\to\infty}R_n=0$。一些函数展开成幂级数：$\dfrac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n$，$\dfrac{1}{(1-x)^m}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+m-1}{m-1}x^n$。欧拉公式：$e^{ix}=\cosx+i\sinx$，$e^{-ix}=\cosx-i\sinx$，$\cosx=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$，$\sinx=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$。三角级数：$f(t)=A+\sum\limits_{n=1}^{\infty}A_n\sin(n\omegat+\phi_n)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cosn\omegat+b_n\sinn\omegat)$，其中$a_n=A_n\cos\phi_n$，$b_n=A_n\sin\phi_n$，$\omegat=x$。正交性：$\int_{-\pi}^{\pi}\sinmx\cosnx\mathrm{d}x=0$，$\int_{-\pi}^{\pi}\sinmx\sinnx\mathrm{d}x=\int_{-\pi}^{\pi}\cosmx\cosnx\mathrm{d}x=\pi\delta_{mn}$。傅立叶级数：$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cosnx+b_n\sinnx)$，其中$a_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cosnx\mathrm{d}x$，$b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sinnx\mathrm{d}x$。傅立叶级数是一种将周期函数表示为三角函数级数的方法。其中，正弦级数和余弦级数分别由正弦函数和余弦函数组成。可以通过相加或相减的方式得到周期函数的傅立叶级数。对于周期为2l的函数，可以表示为无穷级数的形式，其中包括cos和sin函数。通过求解系数an和bn，可以得到傅立叶级数的表达式。对于可分离变量的一阶微分方程，可以通过将方程化为g(y)dy=f(x)dx的形式来求解。对于一阶线性微分方程，可以通过求解齐次方程和非齐次方程得到通解。贝努力方程是一种特殊的一阶非线性微分方程，可以通过变量代换来求解。如果一个微分方程的左端是某函数的全微分方程，那么该微分方程的通解可以通过对该函数积分得到。对于二阶微分方程，当f(x)为0时，为齐次方程，否则为非齐次方程。二阶常系数齐次线性微