北师版选择性必修·第二册1.1数列的概念及其函数特性 课件2份打包

第第页北师版选择性必修·第二册1.1数列的概念及其函数特性课件（2份打包）(共38张PPT)

1．2数列的函数特性

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一数列与函数

可以把一个数列视作定义在________集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为________，k＝1，2，3，….

正整数

(k，ak)

状元随笔

(1)数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题．

(2)要注意数列的特殊性(离散型)．因为数列的定义域是N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})，所以数列的值域是一系列孤立的实数组成的集合．

要点二数列的增减性

1．递增数列：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都________它的前一项，即________，那么这个数列叫作递增数列．

2．递减数列：如果从第2项起，每一项都________它的前一项，即________，那么这个数列叫作递减数列．

3．常数列：如果数列{an}的各项都________，那么这个数列叫作常数列．

大于

an＋1>an

小于

an＋1相等

状元随笔数列增减性与函数增减性的区别

数列是一种特殊的函数，其定义域是N＋(或N＋的有限子集)，自变量的取值是离散的，而函数的定义域通常是连续的，所以数列与函数的增减性有所不同．例如，函数f(x)＝x2－2x在其定义域上没有增减性．只能说f(x)在(－∞，1)上减少，在(1，＋∞)上增加，但对于数列{an}，若an＝n2－2n，则其一定是递增数列．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)数列若用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.()

(2)在数列{an}中，若存在m，n∈N＋，当m0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．故选A.

3．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()

A．1，，…

B．－1，－2，－3，－4，…

C．－1，－，－，－，…

D．1，，…，

答案：C

解析：A、B是递减数列，D是有穷数列，故C正确．

故选C.

4．有下列数列：

①1，2，22，23，…；

②1，0.5，0.52，0.53，…；

③7，7，7，7，….

其中递增数列是________，递减数列是________，常数列是________．(填序号)

①

②

③

题型探究·课堂解透

题型一根据图象判断数列的增减性

例1已知数列{an}中，an＝n2－8n.

(1)画出{an}的图象；

(2)根据图象写出数列{an}的增减性.

解析：(1)列表如下.

描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象.

(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，…

图象如图.

(2)数列{an}的图象既不是上升的，也不是下降

的，所以{an}既不是递增数列，也不是递减数列.

n123456789…

an－7－12－15－16－15－12－709…

方法归纳

画数列图象通常用描点法，与画函数图象的描点法有类似之处，其步骤是：(1)列表；(2)描点．但要注意描点后不能连线，这是由于数列的定义域是N＋.

跟踪训练1已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图象，并判断增、减性．

解析：图象如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的．

题型二判断数列的增减性

例2已知数列{an}的通项公式是an＝，试判断数列{an}的增减性．

解析：解法一因为an＝(n∈N＋)，所以an＋1＝，

于是an＋1－an＝＝>0，

所以an＋1>an，故{an}是递增数列．

解法二因为an＝，所以an＋1＝，

当n∈N＋时，an>0，an＋1>0，

于是＝÷＝＝>1，

所以>1，从而an＋1>an，故{an}是递增数列．

解法三令f(x)＝＝，

因为当x∈[1，＋∞)时，y＝是递减的，所以f(x)＝是递增的，

从而数列{an}是递增数列．

方法归纳

判断数列增减性的方法

(1)根据给出的通项公式画出图象，观察图象的变化趋势；

(2)作差法：用数列的后一项减去前一项，an－an－1(n≥2，n∈N＋)或an＋1－an，若结果为正，则是递增数列，若结果为负，则是递减数列；

(3)作商法：在确定an为正或为负的情况下，作商，比较商值与1的关系，从而确定数列的单调性；

(4)借助数列通项公式对应函数的单调性进行判断.

跟踪训练2已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N＋)，试判断该数列的增减性，并说明理由．

解析：{an}为递减数列，理由如下：

an＋1－an＝＝

＝＝.

∵f(x)＝－＋在[1，＋∞)上是递减的，

∴当n≥1时，f(n)≤f(1)＝－10，n2＋1>0，∴an＋1－anan，所以数列{an}是递增数列，故选A.

3．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是()

A．RB．(0，＋∞)

C．(－∞，0)D．(－∞，0]

答案：C

解析：∵an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k，且数列{an}为递减数列，

∴k<0.

故选C.

4．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋4n－33，则数列{an}中最大值是__________.

－31

解析：∵an＝－2(n2－2n＋1)－31＝－2(n－1)2－31,

∴当n＝1时，an最大，最大值为－31.

5．根据下面两个数列的通项公式，分别作出它们的图象，并判断数列的增减性.

(1)an＝－n；

(2)bn＝·2n.

解析：

由数列的图象可知，数列{an}是递减数列；数列{bn}是递增数列．

状元笔记

由递推关系式求通项公式

类型一形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式

当已知数列中相邻两项的差的递推关系式，即an＋1－an＝f(n)(n∈N*)时，通常采用累加法求通项，其方法是利用恒等式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求解．

例1已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.

答案：

解析：∵an＋1＝an＋n＋1，a1＝1，∴an＋1－an＝n＋1，

∴an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a2－a1＝2(n≥2且n∈N*)

以上式子相加得：

an－a1＝2＋3＋…＋n

∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝(n≥2且n∈N*)．

当n＝1时，a1＝1符合上式，∴an＝)．

状元随笔变形为：an＋1－an＝n＋1，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项的关系，这些式子两边分别相加可求．

类型二形如an＋1＝f(n)an的递推关系式

当已知数列中相邻两项的积的递推关系式，即＝f(n)(n∈N*)时，通常采用累乘法求通项，其方法是利用恒等式an＝··…··a1求解．

例2已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，求an.

解析：∵an＋1＝an，a1＝1

∴＝

∴＝＝，…，＝，(n≥2且n∈N*)

以上式子两边分别相乘得：

＝×…×＝(n≥2且n∈N*)

∴an＝a1＝.(n≥2且n∈N*)

当n＝1时，a1＝1符合上式，∴an＝(n∈N*)(共36张PPT)

1.1数列的概念

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题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一数列的有关概念及表示方法

1．数列的有关概念

(1)数列：按________排列的一列数叫作数列．

(2)数列的项：数列中的________叫作这个数列的项．

2．数列的表示方法

数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的________；an是数列的第n项，也叫数列的________．

一定次序

每一个数

首项

通项

状元随笔

(1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.

(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．

要点二数列的分类

根据数列的项数可以将数列分为两类：

(1)有穷数列：项数________的数列；

(2)无穷数列：项数________的数列．

状元随笔有穷数列与无穷数列的表示方法：

(1)有穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，am；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，am，….

(2)对于有穷数列，要把末项(即最后一项)写出来，对于无穷数列，不存在最后一项，要用“…”结尾.

有限

无限

要点三数列的通项公式

如果数列{an}的第n项________与________之间的函数关系可以用一个式子表示成________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．

an

n

an＝f(n)

状元随笔

(1)数列的通项公式必须适合数列中的任意一项．

(2)已知通项公式an＝f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项．

(3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成an＝(k∈N*)，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列．

(4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1){0，1，2，3，4}是有穷数列．()

(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一数列．()

(3)所有自然数能构成数列．()

(4)数列1，3，5，7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.()

×

×

√

×

2．(多选题)数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以为()

A．an＝(－1)n－1B．an＝(－1)n

C．an＝cosnπD．an＝sinnπ

答案：BC

3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的()

A．第9项B．第10项

C．第11项D．第12项

答案：C

解析：由an＝n2＋1＝122，得n2＝121.

∴n＝11.故选C.

4．数列1，2，，…中的第26项为________．

2

解析：因为a1＝1＝，a2＝2＝，

a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝，

所以a26＝＝＝2.

题型探究·课堂解透

题型一数列的概念与分类

例1(多选题)下列说法正确的是()

A．数列4，7，3，4的首项是4

B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3

C．数列1，2，3，…就是数列{n}

D．数列中的项不能是三角形

答案：ACD

解析：根据数列的相关概念，数列4，7，3，4的第1项就是首项4，A正确；同一个数在数列中可以重复出现，B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，D正确．

故选ACD.

方法归纳

正确理解数列及相关概念，注意以下几点：

(1)数列与数集不同，数集具有互异性和无序性，而数列中各项可以相同，但与顺序有关；

(2)数列a1，a2，…，an，…可以记为{an}，但不能记作{a1，a2，…，an，…}.

跟踪训练1(多选题)下列说法正确的是()

A．数列{2n＋1}的第5项是10

B．数列1，，…，，…可以记为

C．数列3，5，7与数列5，7，3是相同的数列

D．数列1，2，3，4，5，…，n，…是无穷数列

答案：BD

解析：当n＝5时，a5＝11，A错误；B正确；因为数列是按一定次序排成的一列数，C错误；D正确．

故选BD.

题型二根据数列的前几项写出通项公式

例2写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：

(1)－1，，－；

(2)，3，；

(3)0.9，0.99，0.999，0.9999；

(4)3，5，3，5.

解析：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·(n∈N＋)．

(2)数列可化为，即，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝(n∈N＋)．

(3)原数列可变形为，…，故数列的一个通项公式为an＝1－(n∈N＋)．

(4)数列给出前4项，其中正奇数项为3，正偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n(n∈N＋)．

方法归纳

(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：

①分式中分子、分母的特征；

②相邻项的变化特征；

③拆项后的特征；

④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．

(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．

跟踪训练2写出下列数列的一个通项公式：

(1)0，3，8，15，24，…；

(2)1，－3，5，－7，9，…；

(3)1，2，3，4，…；

(4)1，11，111，1111，….

解析：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N*)．

(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)．

(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝(n∈N*)．

(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9999，…，易知数列9，99，999，9999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N*).

题型三数列通项公式的简单应用

例3已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.

(1)写出此数列的第4项和第6项．

(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？如果是，应是哪一项？

解析：(1)a4＝3×42－28×4＝－64，

a6＝3×62－28×6＝－60.

(2)－49是该数列的一项，68不是该数列的项．

由3n2－28n＝－49，

解得n＝7或n＝(舍去)，

所以－49是该数列的第7项；

由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝，均不合题意，

所以68不是该数列的项．

变式探究本例中，数列{an}中有多少个负数项？

解析：an＝3n2－28n＝n(3n－28)，

令an<0，则0<n<，

又n∈N＋，所以n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9.

即数列{an}中共有9个负数项．

方法归纳

(1)利用数列的通项公式求某项的方法

数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．

(2)判断某数值是否为该数列的项的方法

先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．

跟踪训练3已知数列{an}的通项公式为an＝.

(1)写出数列的第4项和第6项．

(2)试问是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．

解析：(1)因为an＝，

所以a4＝＝，a6＝＝.

(2)是该数列的项，

令＝，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N*，

故将n＝－8舍去，所以是该数列的第5项．

易错辨析忽略了相邻正方形的公共边而致误

例4图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.

通过观察可以发现：