重庆大学城2023年高考压轴卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1271

1.若〃是第二象限角且sin0=值，则1311(6+/=

177177

A.——B.——C.—D.—

717717

2.集合［xeN*|乜ez］中含有的元素个数为()

1XJ

A.4B.6C.8D.12

4i

3.已知复数2=贝”对应的点在复平面内位于()

l+i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()

侧视图

A.24+不B.24—兀

C.24—2万D.24—3»

5.要得到函数/(x)=sin(3x+1)的导函数/'(x)的图像，只需将/(x)的图像()

A.向右平移。个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍

再把各点的纵坐标缩短到原来的1倍

B.向右平移个单位长度，

6

C.向左平移!■个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的1倍

D.向左平移7个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍

O

6.某校在高一年级进行了数学竞赛(总分100分)，下表为高一•一班40名同学的数学竞赛成绩:

55575961686462598088

98956073887486777994

971009997898180607960

82959093908580779968

如图的算法框图中输入的％为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出加，〃的值，则加-〃=()

.

♦

/软入°i.%….fl4o/

是

向"1IS

一中一

Ii=i+lI

/输中/n・“/

■

(了束〕

B.8C.10D.12

7.已知定义在R上的偶函数/*)满足/(x+2)=/(-%),且在区间［L2］上是减函数，令

I

a=ln2,b=［；):c=log|2,则/(c)的大小关系为()

A./(«)</(/?)</(c)B./(a)</(c)</(。)

C.f⑻D./(c)</(«)</(^)

8.在AA3C中，角A,B,C所对的边分别为a,》,c,已知48cosBsinC=Gc,则3=()

兀…547177T__71

A.二或二B.一D.7或；

66463

2

9.若z=l-i+「贝!|z的虚部是

1

A.3B.-3C.3iD.-3i

10.设集合A={x[—2<x,2,xeZ},6={x|log2X<l},则AB=（）

A.（0,2）B.（-2,2]C.{1}D.{-1,0,1,2}

11.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”,

亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵

爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角

形.设£>R=2AF=2,若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）

C

3V13

26

12.数列{斯}是等差数列，。1=1,公差dW[l,2],且。4+而10+a16=15,则实数X的最大值为（）

75323

A.-B.—C.------D.

219192

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数y=6sinxcosx+cos2.r在区间（0,上的值域为.

14.连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P的坐标，则点尸落在圆V+y2=]9内的概率为.

15.在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.则该农作物的年

平均产量是吨.

16.设/（x）为定义在R上的偶函数，当x<0时，/（x）=2'+m（加为常数），若f（l）=|,则实数〃，的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在①J^（/?cosC-a）=csin8；②2«+c=2Z?cosC；©sinA=\[3asin—这三个条件中任选一

个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.

在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,匕=2石，a+c=4,求AABC的面

积.

18.(12分)如图，三棱锥P—ABC中，点。，E分别为A3,的中点，且平面平面A8C.

(1)求证：AC//平面PDE；

⑵若PZ)=AC=2,PE=6求证：平面P8C_L平面ABC.

19.(12分)已知数列｛4｝为公差为d的等差数列，d>0,%=4,且%,。3，%依次成等比数列，-

⑴求数列也｝的前〃项和S.；

2h(1

(2)若c“=；-•,求数列｛q,｝的前〃项和为Tn.

20.(12分)已知。为坐标原点，单位圆与角X终边的交点为P,过P作平行于y轴的直线/,设/与9终边所在直线

的交点为Q,f(x)=OPOQ.

(1)求函数/(x)的最小正周期；

71

(2)求函数/(X)在区间-,7T上的值域.

21.(12分)交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性

驾驶员，其中平均车速超过9()如〃〃的有30人，不超过9()分〃/〃的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速

超过90初1/”的有5人，不超过905?/6的有15人.

(1)完成下面的2x2列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90k〃/丸与驾驶员的性

别有关；

平均车速超过90km/h平均车速不超过

合计

的人数90灯〃/〃的人数

男性驾驶员

女性驾驶员

合计

(2)根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过9(次相/〃

的人数为4,假定抽取的结果相互独立，求自的分布列和数学期望.

n(ad-be)2

参考公式：K'=其中“=a+Z?+c+d

(a+Z?)(c+(/)(«+c)(/>+d)

临界值表:

P(K.4)0.0500.0250.0100.0050.001

k。3.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)设抛物线。:丁=2。尤(P>0)的焦点为尸，准线为/,AB为过焦点尸且垂直于x轴的抛物线C的弦,

已知以AB为直径的圆经过点(一1,0).

(1)求2的值及该圆的方程;

(2)设“为/上任意一点，过点”作。的切线，切点为N,证明：MF1FN.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由，是第二象限角且sin，=2知：cos6=-Jl-sin»=-tan(9=-—

13135

7Ttan6+tan4507

所以tan(6+R

l-tan^tan45017

2.B

【解析】

解：因为［xeN*|三eZj集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1,2,3,4,6,,12故选B

3.A

【解析】

利用复数除法运算化简Z,由此求得Z对应点所在象限.

【详解】

依题意z==2i(l_j)=2+2i,对应点为(2,2),在第一象限.

故选A.

【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.

4.B

【解析】

由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体为边长为2正方体4BCD-A'8'C'。'挖去一个以B为球心以2为半径球体的

8

如图，故其表面积为24-3乃+,X4X；TX22=24—万，

8

故选：B.

【点睛】

⑴以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元

素间的位置关系及数量关系.

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的

面积之和.

5.D

【解析】

先求得/'(X),再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.

【详解】

C715乃713sinf3x+—3sin3^x+—j+—71,所以由

依题意f(x)=3cos3x+—=3cos3x+

I3J6I6)3

f(x)=sin(3x+1)向左平移弓个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到/(X)的图像

故选：D

【点睛】

本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.

6.D

【解析】

根据程序框图判断出〃，机的意义，由此求得加，〃的值，进而求得〃一〃的值.

【详解】

由题意可得〃的取值为成绩大于等于90的人数，，”的取值为成绩大于等于60且小于9()的人数，故〃?=24,〃=12,

所以〃?一“=24—12=12.

故选：D

【点睛】

本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识.

7.C

【解析】

可设xe[0,l],根据/(x)在R上为偶函数及/(x+2)=/(—x)便可得到：/(x)=/(-x)=/(-x+2),可设七,

X2G[0,1],且西<々，根据/(x)在[1,2]上是减函数便可得出/(%)</(/),从而得出f(x)在[0,1]上单调递增，再

根据对数的运算得到。、b、。的大小关系，从而得到/(。),/(A),/(c)的大小关系.

【详解】

解：因为Inl<ln2<lne,即。<a<l,又/,=弓了=2，C=loSl2=-1

设xw[(),l],根据条件，/(x)=/(-%)=/(-%+2),-x+2e[l,2];

x

若X1,x2G[0,1j,且也<々，贝U：~\+2>—x2+2•

/(X)在[1,2]上是减函数；

f(~xt+2)<f(-x2+2)；

・•・/(x)在[0,1]上是增函数；

所以f[b)=/⑵=/(O),/(c)=/(-1)=/(1)

/(%)</(“)</(c)

故选：C

【点睛】

考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设再<当，通过条

件比较/(司)与/(马)，函数的单调性的应用，属于中档题.

8.D

【解析】

根据正弦定理得到4sinBcosZ?sinC=6sinC,化简得到答案.

【详解】

由4Z?cos8sinC=V^c，得4sin8cos8sinC=>/^sinC，

•••sin28=^^,.•.25=1或8=3或g.

23363

故选：D

【点睛】

本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.

9.B

【解析】

因为z=l-i—2i=l-3i,所以z的虚部是一3.故选B.

10.c

【解析】

解对数不等式求得集合B,由此求得两个集合的交集.

【详解】

由log2X<l=log22,解得0<x<2,故3=(0,2).依题意A={-1,0,1,2},所以A3={1}.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.

11.A

【解析】

根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.

【详解】

在AABD中，AD=3,BD=1,NA£)B=120°，由余弦定理，得=+或)2_2Ao.=屈，

DF2

所以法=瓦.

4

13

故选A.

【点睛】

本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题.

12.D

【解析】

利用等差数列通项公式推导出由3L2]'能求出实数通最大直

【详解】

数列{斯}是等差数列，ai=l,公差dG[l,2],且04+Xaio+ai6=15,

,、血但13-18d

Al+3d+X(l+9d)+l+15d=15,解得入=--------,

l+9d

13-18d15

VdG[l,2],入=--------=-2+---------是减函数,

l+9dl+9d

1Q_1Q1

••.d=l时，实数人取最大值为入=上~~

1+92

故选D.

【点睛】

本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

⑶Nil

【解析】

由二倍角公式降嘉，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可求得值域.

【详解】

y=A/3sin%cos.x+cos2%=—sin2x+1+C°s2x—sin2%+-cos2x+-=sinf2%+-\-

22222k6j2(2

2x+7e(7,T'J,WJsinj

okoo7I6/12

sin2xH—H—G0,—.

I6)2I2」

3

故答案为：(0,-|.

2

【点睛】

本题考查三角恒等变换(二倍角公式、两角和的正弦公式)，考查正弦函数的的单调性和最值.求解三角函数的性质的

性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论.

11

14.—

36

【解析】

连续掷两次骰子共有6x6=36种结果，列出满足条件的结果有11种，利用古典概型即得解

【详解】

由题意知，连续掷两次骰子共有6x6=36种结果，

而满足条件的结果为：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1)

共有U种结果，根据古典概型概率公式，

可得所求概率

故答案为：——

36

【点睛】

本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.

15.10

【解析】

根据已知数据直接计算即得.

【详解】

,„„—9.4+9.7+9.8+10.3+10.8

由题得，x=-------------------------------=10.

故答案为：10

【点睛】

本题考查求平均数，是基础题.

16.1

【解析】

根据“X)为定义在R上的偶函数，得/(1)=/(-1),再根据当x<()时，/(x)=2'+加(加为常数)求解.

【详解】

因为/(%)为定义在R上的偶函数,

所以/(1)=/(一1),

又因为当X<0时，/(x)=2'+m,

a

所以/(l)=/(T)=2T+m=],

所以实数〃?的值为1.

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.横线处任填一个都可以，面积为6.

【解析】

无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式sinA=sin(B+C),展开后，可求得B角，再由余弦定理

b2=a2+c2-2accosB求得网,从而易求得三角形面积.

【详解】

在横线上填写“瓜bcosC-a)=csinB”.

解：由正弦定理，得G(sinBcosC-sinA)=sinCsinB.

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

得-陋cosBsinC=sinCsinB.

由OvCv;r,得sinCwO.

所以一GcosB=sinB.

又cos/wO(若cos5=0,贝！|sin3=0,sin23+cos?B=0这与sin?3+cos?3=1矛盾),

所以tanB——5/3.

又0<B<兀，得8=用.

由余弦定理及b=2A/3,

得(273)2=a2+c2-2accos—,

3

即12=(a+c)2-ac.将Q+C=4代入，解得ac=4.

所以S4ABC=5'inB=；x4x.

在横线上填写“2a+c=2Z?cosC

解：由2a+c=2〃cosC及正弦定理，得

2sinA++sinC=2sinBcosC・

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosZJsinC,

所以有2cosBsinC4-sinC=0.

因为。£(0,乃)，所以sinCwO.

从而有cos8=-』.又8£(0,)),

2

所以3=§

3

由余弦定理及〃=26,

得(273)2=cr+c2-2accos—

3

即12=(a+c)2-。。.将“+。=4代入，

解得ac=4.

所以sABC-«csinB=-x4x

22

lA+C

在横线上填写“〃sinA=y/3asin£—2”

2

解：由正弦定理，WsinBsinA=V3sinAsin―—―

2

由0<A<%,得sinAw。，

所以sinB=Geos'

2

由二倍角公式，得2singcos0=gcos0.

222

由0<0〈工，得cosO*0,所以sing=走.

22222

所以0=工，即6=22.

233

由余弦定理及h=2g，

得(26)2-a1+c2-2accos—.

3

即12=(a+c)2—ac.将a+c=4代入，

解得ac=4.

所以S2BC=gacsin8=-1x4x^=73.

【点睛】

本题考查三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式等，正弦定理进行边角转换，求三角形面积

时，

①若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入

公式求面积；

②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择

面积公式是解题的关键.

18.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)利用线面平行的判定定理求证即可；

(2)。为AB中点，£为8C中点，可得。E=(AC=1,PD=2,PE=%,可知PD?=PE2+DE?，故2DE

为直角三角形，PE工DE,利用面面垂直的判定定理求证即可.

【详解】

解：(1)证明：。为45中点，E为BC中点,

AC!IDE,

又ACu平面P0E，DEu平面PDE，

47//平面产。£；

⑵证明：D为AB中点,E为BC中点,

DE=^AC=\,又PD=2,PE=6,

则PD2=PE2+DE2，故/\PDE为直角三角形，PELDE,

平面PDE_L平面A8C,平面POE平面ABC=OE,PEA.DE,PEu平面PDE,

PE_L平面ABC,

又：/>£匚平面尸8。，

平面P8C_L平面ABC.

【点睛】

本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.

n+

19.(1)Sn=2'-2(2)-——1—

“22),+2-2

【解析】

(1)利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差d=l,从而求出a=2""=2",再利用等比数列的前〃项和公

式即可求解.

(2)由(1)求出C,,,再利用裂项求和法即可求解.

【详解】

(1)4=4,且4,。3，为依次成等比数列，•'•。；=4。9，

即：(4-d)2=(4-3d)(4+5d),d>0,:.d=\,

n

/.=〃，/.hn=T=2",

.一2(1-2")

1-2

(2)Qc„=-^-%S“+i-s“11

3〃.，+1

s〃•S〃+]Sn•s〃+iSnS〃+]

1111111111

s〃=----------1-----------pLH------

+2

5,S2S2S3s〃S〃+[S]S〃+]22"-2"

【点睛】

本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前〃项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.

20.(1)兀；(2)-11

2''

【解析】

(1)根据题意，求得OP=(cosx,sinx),OQ=(cosx,百cosx),因而得出f(x)=OP-OQ=cos2x+百sinxcosx,

/\T2兀

利用降塞公式和二倍角的正弦公式化简函数/(x),最后利用T=脚，求出"X)的最小正周期;

(2)由⑴得fa)=；+sin12x+力n再利用整体代入求出函数的值域.

6

【详解】

(1)因为OP=(cosx,sinx),OQ=(cosx,V3cosx),

所以/(x)=OP-OQ=cos2x+x/3sinxcosx,

1+cos2xv31、

/(x)------------1-----sin2]=—Fsin2xH—,

22267

977

所以函数FG)的最小正周期为丁=彳=初

JI兀7tI7JI万134

(2)因为工£不，汽,所以2X+工£——

26066~6~

・711

sinC——G-1A,—,

I6；L2j

所以/(x)£一万』，

711

故函数/(X)在区间-,71上的值域为-],1.

2

【点睛】

本题考查正弦型函数的周期和值域，运用到向量的坐标运算、降幕公式和二倍角的正弦公式，考查化简和计算能力.

21.(1)填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过90切，/〃与性别有关(2)详见解析

【解析】

(1)根据题目所给数据填写2x2列联表，计算出K?的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过9(乂加/〃

与性别有关.

(2)利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.

【详解】

(1)

平均车速超过90%m/〃平均车速不超过