母函数与递推关系

母函数与递推关系第1页，课件共53页，创作于2023年2月2内容回顾组合的生成和组合意义模型转换一一对应定义：对于序列a0,a1,a2…,构造一函数：G(x)=a0+a1x+a2x2+……,称函数G(x)是序列a0,a1,a2…,的母函数(生成函数generatingfunction)。(1+x)n是序列C(n,0),C(n,1),…C(n,n)的母函数g(x)=1+x+x2+x3+x4+...=1/(1-x)是f(n)=1的母函数设级数收敛，-1<x<1生成函数的x没有实际意义第2页，课件共53页，创作于2023年2月二项式定理第3页，课件共53页，创作于2023年2月4§2.2递推关系

利用递推关系进行计数这个方法在算法分析中经常用到

例一.Hanoi问题：N个圆盘依其半径大小，从下而上套在A柱上。每次只允许取一个移到柱B或C上，而且不允许大盘放在小盘上方。若要求把柱A上的n个盘移到C柱上请设计一种方法来，并估计要移动几个盘次。现在只有A、B、C三根柱子可用。设计算法;估计它的复杂性，即估计工作量.第4页，课件共53页，创作于2023年2月5§2.2递推关系算法：N=2时第一步先把最上面的一个圆盘套在B上第二步把下面的一个圆盘移到C上最后把B上的圆盘移到C上到此转移完毕ABC第5页，课件共53页，创作于2023年2月6§2.2递推关系假定n-1个盘子的转移算法已经确定。对于一般n个圆盘的问题,先把上面的n-1个圆盘经过C转移到B;第二步把A下面一个圆盘移到C上最后再把B上的n-1个圆盘经过A转移到C上n=2时，算法是对的，因此，n=3是算法是对的。以此类推。ABC第6页，课件共53页，创作于2023年2月7§2.2递推关系令h(n)表示n个圆盘所需要的转移盘次。对于一般n个圆盘的问题,先把上面的n-1个圆盘经过C转移到B:h(n-1)次第二步把A下面一个圆盘移到C上:1次最后再把B上的n-1个圆盘经过A转移到C上：h(n-1)次算法复杂度为：构造母函数为：求得了母函数，对应的序列也就求得h(n)ABC第7页，课件共53页，创作于2023年2月8§2.2递推关系所谓形式算法说的是假定这些幂级数在作四则运算时，一如有限项的代数式一样。第8页，课件共53页，创作于2023年2月9如何从母函数得到序列？化为部分分数的算法。由上式可得：g(x)=1+x+x2+x3+x4+...=即：第9页，课件共53页，创作于2023年2月10§2.2递推关系或利用递推关系(2-2-1)有上式左端为：右端第一项为：右端第二项为：第10页，课件共53页，创作于2023年2月11§2.2递推关系例2.求n位十进制数中出现偶数个5的数的个数。先从分析n位十进制数出现偶数个5的数的结构入手设p1p2…pn-1是n-1位十进制数，若含有偶数个5，则pn取5以外的0，1，2，3，4，6，7，8，9九个数中的一个，若p1p2…pn-1只有奇数个5，则pn取5，使p1p2…pn-1pn成为出现偶数个5的十进制数。解法1：令an为n位十进制数中出现偶数个5的数的个数，bn为n位十进制数中出现奇数个5的数的个数。设序列{an}的母函数为A(x)，序列{bn}的母函数为B(x)。

第11页，课件共53页，创作于2023年2月12a1=8,b1=1第12页，课件共53页，创作于2023年2月13§2.2递推关系 故得关于母函数A(x)和B(x)得连立方程组：第13页，课件共53页，创作于2023年2月14§2.2递推关系解法二：n-1位的十进制数的全体共9×10n-1个(最高位不为0)，设所求数为an,设A(x)=a1x+a2x2+…,按照尾数是否为5分类：尾数不是为5的：9an-1尾数为5的，前n-1位有奇数个5：第14页，课件共53页，创作于2023年2月15§2.2递推关系验证：a1=8,a2=73第15页，课件共53页，创作于2023年2月161）不出现某特定元素设为a1，其组合数为，相当于排除a1后从a2,….an中取r个做允许重复的组合。§2.2递推关系例三：从n个元素a1,a2,….an中取r个进行允许重复的组合。假定允许重复的组合数用表示，其结果可能有以下两种情况。2）至少出现一个a1，取组合数为相当于从a1,a2,….an中取r-1个做允许重复的组合，然后再加上一个a1得从n个元素中取r个允许重复的组合。第16页，课件共53页，创作于2023年2月17§2.2递推关系因，故令系数(1-x)不是常数。但第17页，课件共53页，创作于2023年2月18由二项式定理可得第18页，课件共53页，创作于2023年2月第19页，课件共53页，创作于2023年2月母函数递推关系递推运算初始值代数运算：化为部分分数的算法第20页，课件共53页，创作于2023年2月§2.3母函数的性质

一个序列和它的母函数一一对应。给了序列便得知它的母函数；反之，求得母函数序列也随之而定。为了求满足某种递推关系的序列，可把它转换为求对应的母函数G(x)，G(x)可能满足一代数方程，或代数方程组，甚至于是微分方程。最后求逆变换，即从已求得的母函数G(x)得到序列{an}。关键在于要搭起从序列到母函数，从母函数到序列这两座桥。21第21页，课件共53页，创作于2023年2月§2.3母函数的性质对应的母函数分别为、不特别说明,下面假设、两个序列22第22页，课件共53页，创作于2023年2月性质1：若则

例.已知则23

例.已知则mmm-1第23页，课件共53页，创作于2023年2月

性质2：则若证：例.24第24页，课件共53页，创作于2023年2月

性质3：证：若则

):

:

:

:1

2102102210100LLLLLLLLLLLLLLLL+++++=++=+==nnaaaabnxaaabxaabxab25第25页，课件共53页，创作于2023年2月

例.已知

类似可得：若则26第26页，课件共53页，创作于2023年2月性质4则证27第27页，课件共53页，创作于2023年2月A(x)=a0+a1x+a2x2+…,

A(x)’=a1+2a2x+3a3x2+…..例.

则性质5若则性质6若则求导积分28第28页，课件共53页，创作于2023年2月性质7若则证29第29页，课件共53页，创作于2023年2月§2.3 母函数的性质

例.

已知

30第30页，课件共53页，创作于2023年2月§2.4Fibonacci数列

Fibonacci数列是递推关系的又一个典型问题。Fibonacci数列是以递归的方法來定义：F0=0，F1=1，……Fn=Fn-1+Fn-2

（1）斐波那契数列由0和1開始，之后的斐波那契数就由之前的两数相加。0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946，………………0不是第一项，而是第0项。31第31页，课件共53页，创作于2023年2月1150年印度数学家研究箱子包裝物件长宽刚好为1和2的可行方法数目时，首先描述这个数列。在西方，1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》。他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题：第一个月有一对刚诞生的兔子；如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌）；而每对小兔在它出生后的第三个月里，又能开始生一对小兔，兔子永不死去；由一对出生的小兔开始，50个月后会有多少对兔子？第n个月相比n-1个月多出的兔子数是n-2个月的兔子生出来的，即Fn=Fn-1+Fn-2

32LeonardoofPisaSonofBonaccio

第32页，课件共53页，创作于2023年2月

设§2.4.1 递推关系第33页，课件共53页，创作于2023年2月§2.4.1 递推关系34第34页，课件共53页，创作于2023年2月

1）证明：§2.4.1 递推关系Fn=Fn-1+Fn-235第35页，课件共53页，创作于2023年2月

2）证明：§2.4.1 递推关系Fn=Fn-1+Fn-236第36页，课件共53页，创作于2023年2月

3）证明：§2.4.1 递推关系37第37页，课件共53页，创作于2023年2月一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方”魔术881350,1,1,2,3,5,8,13,21,……….

35F(n)*F(n)–F(n-1)F(n+1)=(-1)nn=0,1,2第38页，课件共53页，创作于2023年2月斐波那契螺旋

39第39页，课件共53页，创作于2023年2月§2.4.4 在选优法上的应用设函数在点取得极大值。要求用若干次试验找到点准确到一定的程度。最简单的方法，把三等分，令：如下图：40第40页，课件共53页，创作于2023年2月§2.4.4 在选优法上的应用设函数y=f(x)在区间(a,b)上有一单峰极值点，假定为极大点。

所谓单峰极值，即只有一个极值点ξ，而且当x与ξ偏离越大，偏差|f(x)-f(ξ)|也越大。如下图：41第41页，课件共53页，创作于2023年2月§2.4.4 在选优法上的应用

依据的大小分别讨论如下：当，则极大点必在区间上，区间可以舍去。42第42页，课件共53页，创作于2023年2月§2.4.4 在选优法上的应用当，则极大点必在区间上，区间可以舍去。43第43页，课件共53页，创作于2023年2月§2.4.4 在选优法上的应用当，则极大点必在区间上，区间和均可以舍去。44第44页，课件共53页，创作于2023年2月

可见做两次试验，至少可把区间缩至原来区间的2/3，比如，进一步在区间上找极值点。若继续用三等分法，将面对着这一实事，即其中点的试验没发挥其作用。为此设想在区间的两个对称点分别做试验。45第45页，课件共53页，创作于2023年2月设保留区间，继续在区间的下面两个点x2,(1-x)x

处做试验，若则前一次的点的试验，这一次可继续使用可节省一次试验。由(2-3-6)式有0.382，0.6180.236，0.3820.146，0.23646第46页，课件共53页，创作于2023年2月§2.4.4 在选优法上的应用

这就是所谓的0.618优选法。即若在区间上找单峰极大值时，可在点做试验。比如保留区间，由于，故只要在点作一次试验。47第47页，课件共53页，创作于2023年2月§2.4.4 在选优法上的应用

优选法中可利用Fibonacci数列，和0.618法不同之点在于它预先确定试验次数，分两种情况介绍其方法。

(a)所有可能试验数正好是某个Fn。这时两个试验点放在Fn-1和Fn-2两个分点上，如果Fn-1分点比较好，则舍去小于Fn-2的部分；留下的部分共Fn-Fn-2=Fn-1个分点，其中第Fn-2和第Fn-3二试验点，对应的原标号是Fn-2+Fn-2=2Fn-2以及Fn-3+Fn-2=Fn-1,恰好Fn-1点是刚才留下来的试验可以利用。如果Fn-2点更好，则舍去大于Fn-1的部分。在留下的部分共Fn-1个分点，下一步Fn-2和Fn-3二试验点中，恰好Fn-2是刚才留下来的试验可以利用。可见在Fn个可能试验中，最多用n-1次试验便可得到所求的极值点。48第48页，课件共53页，创作于2023年2月§2.4.4 在选优法上的应用(b)利用Fibonacci数列进行优选不同于0.618法之点,还在于它适合于参数只能取整数数值的情况.如若可能试验的数目比小,但比大时,可以虚加几个点凑成个点，但新增加的点的试验不必真做，可认定比其他点都差的点来处理。49第49页，课件共53页，创作于2023年2月§2.4.4 在选优法上的应用定理：测试n次可将包含单峰极值点的区间缩小到原区间的，其中是任意小的正整数，证：对n用数学归纳法。

n=2时，将区间(a.b)平分成F(2+1）=2段。在分点（包括端点a，b）分别标上0，1，2。在1点的两侧取

，在（1-）与(1+

)两点上测试，无论哪一点较优，保留下来的区间长度均为(1+

)，命题成立。50ab0121-

1+

第50页，课件共53页，创作于2023年2月§2.4.4 在选优法上的应用假设对于n-1，命题成立

对于n，将(a,b)平分成Fn+1段，对分点（包括端点a，b）依次标上0,1,2…。先在Fn点与F