三角函数的性质（精讲）

5.3三角函数的性质（精讲）一.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图:“五点法”作图原理：在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))一个周期内的简图时，要找五个关键点x－eq\f(φ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ二．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ无三．伸缩平移1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移eq\f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度.求三角函数周期的方法1.定义法；2.公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝eq\f(2π,|ω|)，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq\f(π,|ω|)；3.图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．二．三角函数的定义域求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象．三．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：1.形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；2.形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；3.形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)；4，形如y＝eq\f(asinx＋b,csinx＋d)，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法，也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解求值域(最值)．四．三角函数的单调性①先把ω化为正数②化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间③把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内解x．三角函数的对称性1.对称轴：对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或令ωx＋φ＝\f(π,2)＋kπ（k∈Z）))，求x即可.2.对称中心：对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，求x即可.六．三角函数的奇偶性七．三角函数的伸缩平移八．三角函数中的ω的求解1.若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解；2.若已知函数的对称性，则根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以研究ω的取值；3.若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.九．易错点：对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数.考法一三角函数的周期【例1-1】（2023·北京）在下列四个函数，①②（3）④中，最小正周期为π的所有函数为（

）A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④【答案】B【解析】①，为偶函数，不具有周期性，①不满足题意；②函数的图像是将的图像在轴下方的全部对称到轴上方，故函数的最小正周期为，故②满足题意；③函数的周期为，故③满足题意；④函数的周期为，故④满足题意.故选：B.【例1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于选项A，，∴选项B：且，∴对于选项C，，∴对于选项D，，∴,故选：C.【例1-3】（2022秋·河北）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以的最小正周期．故选：C．【一隅三反】1．（2023·湖南）给出下列函数：①；②；③；④．其中最小正周期为的有（

）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③【答案】A【解析】对于①，，其最小正周期为;对于②，结合图象，知的最小正周期为．对于③，的最小正周期．对于④，的最小正周期．故选：A．2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】A【解析】作出函数的图象如图所示，得到函数的最小正周期为.证明：所以函数的最小正周期为.故选：A

3．（2023北京）下列函数中，最小正周期为的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对选项A，由于函数不是周期函数，故排除A；对选项B，由于函数，周期为，故排除B；对选项C，由于函数的周期为，故排除C；对选项D，由于函数的周期为，故D正确.故选：D4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（

）

A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】设的最小正周期为，由图象可知，则，所以，所以或.又由题图知，，则，解得.解可得，不满足条件；解可得，，当且仅当时，符合题意.所以，，此时.故选：B.考法二三角函数的对称性与奇偶性【例2-1】（2023·海南）设函数的图象关于直线对称，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的对称轴为，，又关于直线对称，，又，.故选：D．【例2-2】（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为________．【答案】【解析】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为．故答案为：【例2-3】（2023·广东）函数是（

）A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数【答案】D【解析】函数，故该函数为偶函数，且它的最小正周期为.故选：D.【例2-4】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数为偶函数，则的一个值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，因为为偶函数，可得，所以，令，可得.故选：A.【一隅三反】1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．8【答案】C【解析】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，因此，解得，而，所以当时，取得最小值4.故选：C2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数图象的对称轴可以是（

）A．直线 B．直线C．直线 D．直线【答案】A【解析】，令，解得，所以的对称轴为直线，当时，.故选：A.3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数的图象关于坐标原点对称，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由已知，得．因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得．结合选项知，A，D符合题意，B，C不符合题意．故选：AD．4．（2022秋·辽宁锦州·高三校考阶段练习）函数是偶函数，则____．【答案】【解析】因为是偶函数，故,解得，，所以.故答案为：.考法三三角函数的定义域与值域【例3-1】（2023春·上海静安）函数的定义域是__________.【答案】，【解析】要使函数有意义，则需，即，当时，，所以当，解得，，所以函数的定义域是，.故答案为：，.【例3-2】（2023春·北京昌平）的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选：B.【例3-3】（2023云南）函数在的最大值是（

）A．2 B．0 C．1 D．【答案】C【解析】由已知可得，.因为，所以.又在上单调递减，所以，当，即时，函数取得最大值.故选：C.【例3-4】（2023·全国·高三专题练习）函数是（

）A．奇函数，且最大值为 B．偶函数，且最小值为C．奇函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为【答案】B【解析】函数的定义域为，，故函数为偶函数，因为，则，所以，，.故选：B.【例3-5】（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数的最大值为__________．【答案】【解析】】，设，，令，得或，所以当时，，即在和上单调递减，当时，，即在上，单调递增，又因为，，所以的最大值为，故答案为：．【例3-6】（2023·安徽）设函数定义域为，值域为，则的最大值为______【答案】【解析】作出函数的部分图像如图所示：

因为的值域为，不妨设,由图像可得.故答案为:.【一隅三反】1．（2023春·辽宁本溪）函数的定义域为________．【答案】【解析】由，得，，在数轴上表示如图所示，所以，故答案为：．2．（2023春·辽宁沈阳）函数的定义域为______．【答案】【解析】根据题意，得，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.3.（2023·福建）函数最大值为（

）A．2 B．5 C．8 D．7【答案】A【解析】时，，所以，所以函数最大值为2.故选:A.4．（2023春·四川南充）函数的值域为______.【答案】【解析】，，则，，故.故答案为：5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）当时，函数的值域是，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解法一：由题意，画出函数的图象，由，可知，因为且，要使的值域是，只要，即；解法二：由题，可知，由的图象性质知，要使的值域是，则，解之得．故选：D.

考法四三角函数的单调性【例4-1】（2023湖北）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，由有：，故B，C，D错误.故选：A.【例4-2】（2023·辽宁朝阳）（多选）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于选项A，函数的最小正周期为，故选项A错误：对于选项B，函数的最小正周期为，当，，因为在上单调递增，所以在上单调递增，B正确；对于C，函数最小正周期为，当时，，因为在上单调道减，所以在上单调递减，故选项C错误对于选项D，作出函数的大致图像如图：函数的最小正周期为，且在区间上单调递增，故选项D正确故选：BD【例4-3】（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令函数，则恒成立，故函数在上单调递增，所以当时，，则，于是，即；当时，，则，所以，而，于是，即；综上：.故选：C【一隅三反】1．（2023春·山东）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为.由可得，.当时，，且；当时，所以，.所以，函数在上的单调递增区间是.故选：A.3．（2023春·广西）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增【答案】C【解析】因为.对于A选项，当时，在上单调递增，A错；对于B选项，当时，则在上单调递增，在上单调递减，故B错；对于C选项，当时，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，则在上单调递减，故D错.故选：C.4．（2023春·上海长宁）在下列函数中，既是上的严格增函数，又是以为最小正周期的偶函数的函数是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】选项ABC中函数的最小正周期都是，而选项D中函数不是周期函数，其图象如下所示：

除D；易知函数是奇函数，排除A；时，，则是减函数，排除B；根据函数在上严格单调递增，且其最小正周期为，则在在上严格单调递增，其最小正周期为，且，又因为其定义域为，则其为偶函数，故C正确，故选：C．考法五函数的伸缩平移【例5-1】（2022·江西·南昌十中高三阶段练习）将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到关于轴对称的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，因为函数是偶函数，．当时，．则的最小值为故选：A【例5-2】（2022·陕西·二模）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移是个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移登个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】因为函数，，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.故选：B.【例5-3】（2023·全国·高三专题练习）把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（

）A．最小正周期为 B．奇函数C．偶函数 D．【答案】D【解析】把函数的图象向右平移个单位长度，得，再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，，即，则最小正周期为，故A错误；因为，所以函数是非奇非偶函数，故BC错误；，故D正确.故选：D.【一隅三反】1．（2023·北京·高三专题练习）已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，故，由于的图象关于y轴对称，则为偶函数，故,即，故的最小值为，故选：B2．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【解析】由题意，，函数，则，所以函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，因为函数的周期为，所以向左应该平移个单位.故选：B.3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得图象对应的函数（

）A．在区间上单调递增B．在区间（，）上单调递减C．图象关于点（，0）对称D．图象关于直线对称【答案】A【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得，因为，所以，故A正确；因为，所以，故B错误；，故C错误；，故D错误；故选：A4．（2022·安徽滁州）若将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到函数的图象，则函数（

）A．图象关于点对称 B．图象关于对称C．在上单调递减 D．最小正周期是【答案】C【解析】由题得对于A当时,所以函数的图象不关于点对称，故A错误;对于B当时，，所以函数的图象不关于直线对称，故B错误;对于C.令，解得:，取，得，所以在上单调递减因为,所以在上单调递减，故C正确对D.的最小正周期,故D错误.故选:C.考法六由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式【例6-1】（2022·山东·烟台二中）若函数的部分图象如图所示，则和的值是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】由图象可知，所以，，由于，所以.故选：C【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由于，所以，又，所以，故，又过点，则有，即，所以，，取，得，符合题意选：A．【例6-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）（多选）函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（

）

A．的最小正周期为B．的图象关于中心对称C．在上单调递减D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象【答案】AD【解析】A选项，由图可得，的半个最小正周期为，则的最小正周期为，故A正确；BC选项，，由在处取最大值，则，.则，取，则.即.将代入，得，则不是对称中心；，，因在上递减，在上递增，则不是的单调递减区间，故BC错误；D选项，由BC选项分析可知，，向右平移个单位长度后，得，为奇函数，故D正确.故选：AD【一隅三反】1．（2022·甘肃武威）函数（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，）的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由图可知，，则，所以，所以，将代入得，所以，又，所以.故选：B.2．（2021·陕西省洛南中学）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由图象可得，解得A=2，k=1，由正弦型图象性质可得，所以，解得，又，且，所以，所以.故选：A3（2022·广东·佛山市顺德区容山中学）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，由图可知，，，，则，又，即，，.故选：A.4．（2022·四川南充·二模）函数的部分图像如图所示，，则（

）A．关于点对称B．关于直线对称C．在上单调递减D．在上是单调递增【答案】C【解析】由图可知，且，所以，即，因为，所以，即，因为，所以函数关于直线对称，故A错误；，所以函数关于对称，故B错误；对于C：由，所以，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故C正确；对于D：由，则，因为在上不单调，所以在上不单调，故D错误；故选：C考法七三角函数的综合运用【例7-1】（2023·新疆·统考二模）如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（

）A．直线为图象的一条对称轴 B．点为图象的一个对称中心C．函数的最小正周期为2π D．函数在上单调递减【答案】A【解析】由图象知，又，所以的一个最低点为，而的最小正周期为，所以，又，则，所以,即，又，所以，所以，将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得的图象，再把所得曲线向左平移个单位长度得，即.因为，所以直线是图象的一条对称轴，故A正确；因为，所以不是图象的一个对称中心，故B错误；函数在周期，故C错误；由得，所以在上单调递减，当时，可知在递减，在递增，所以D错误.故选：A.【一隅三反】1．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）将函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，有下述四个结论：①②函数在上单调递增③点是函数图像的一个对称中心④当时，函数的最大值为2其中所有正确结论的编号是（

）A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④【答案】B【解析】由题意可得：，故①错误；因为，则，且在上单调递增，所以函数在上单调递增，故②正确；因为，所以点是函数图像的一个对称中心，故③正确；因为，则，所以当，即时，函数的最大值为，故④错误；故选：B.2．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）（多选）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数图象的一条对称轴方程是C．函数在区间上单调递增D．将函数图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象【答案】ACD【解析】因为函数图象相邻对称轴间的距离为，则，即，所以正确；因为，则，即，且点是对称中心，当时，，即，又，所以，即.令,解得，所以函数的对称轴为，所以错误；令,解得，函数的单调增区间为：，所以C正确；函数图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，得函数，所以正确.故选:ACD.3．（2023·山东滨州·统考二模）（多选）已知函数，满足，则下列结论正确的是（

）A．的值域为 B．的最小值为2C．的图象关于直线对称 D．是偶函数【答案】AC【解析】依题意，，所以的值域为，故A正确；因为，所以，即,解得，又，所以当时，的最小值为，故B错误；由，得的图象关于直线对称，故C正确；，，所以，所以是奇函数，故D错误.故选：AC.考法八ω的求法【例8-1】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数，若在上的值域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案