国开电大 高等数学基础 形成性作业1-4答案

国开电大高等数学基础形成性作业1-4答案高等数学基础形考作业1：第1章函数第2章极限与连续一、单项选择题1.下列各函数对中，（C）中的两个函数相等。A.$f(x)=(x)^2$，$g(x)=x$B.$f(x)=x^2$，$g(x)=x$C.$f(x)=\lnx$，$g(x)=3\lnx$D.$f(x)=x^2-1$，$g(x)=\frac{x+1}{x-1}$2.设函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,+\infty)$，则函数$f(x)+f(-x)$的图形关于（C）对称。A.坐标原点B.x轴C.y轴D.无对称轴3.下列函数中为奇函数是（B）。A.$y=x$B.$y=x\cosx$C.$ax+a^{-x}$D.$y=\ln(1+x)$4.下列函数中为基本初等函数是（C）。A.$y=x+1$B.$y=-x$C.$y=x^2$D.$y=\begin{cases}-1,&x<0\\x,&x\geq0\end{cases}$5.下列极限计算不正确的是（D）。A.$\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2}{x-2}=4$B.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(1+x)}{x+2}=0$C.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$D.$\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}=1$6.当$x\to0$时，变量（B）是无穷小量。A.$1/x$B.$\sqrt{x}$C.$x^2$D.$\lnx$7.若函数$f(x)$在点$x$满足（A），则$f(x)$在点$x$连续。A.$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$B.$f(x)$在点$x$的某个邻域内有定义C.$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$存在D.$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$不存在二、填空题1.函数$f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}+\ln(1+x)$的定义域是$(3,+\infty)$。2.已知函数$f(x+1)=x^2+x$，则$f(x)=x^2-x$。3.$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=e^2$。4.若函数$\begin{cases}x,&x<0\\\frac{1+x}{2},&0\leqx<1\\\sinx,&x\geq1\end{cases}$在$x=0$处连续，则$k=0$。5.若函数$y=\begin{cases}x+1,&x>1\\\sinx,&x\leq1\end{cases}$，则$x=1$是$y$的间断点。6.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A$，则当$x\tox_0$时，$f(x)-A$称为$x\tox_0$时的无穷小量。三、计算题1.设函数$\begin{cases}e^x,&x>0\\x,&x\leq0\end{cases}$，求$f(-2),f(0),f(1)$。解：$f(-2)=-2$，$f(0)=0$，$f(1)=e$。2.求函数$y=\lg\frac{2x-1}{x^2}$的定义域。解：$2x-1>0$，$x^2\neq0$，$x^2>0$，即$x>\frac{1}{2}$或$x<0$。3.求函数$y=\begin{cases}2x-1,&x>1\\12x-1,&x\leq1\end{cases}$的间断点。解：$x=1$是函数的间断点。4.求$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$，其中$f(x)=\begin{cases}e^x,&x>0\\x,&x\leq0\end{cases}$。解：$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty$。定义域为{x|x<1或x>2}。（2）在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数。解：设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD=2R。直角三角形AOE中，利用勾股定理得AE=OA^2-OE^2=R^2-h^2，因此上底=2AE。故梯形面积S=2R^2-h^2。（4）求lim(sin3x/sin2x)。解：lim(sin3x/sin2x)=lim(3cos3x/2cos2x)=3/2，其中用到了极限的基本性质和三角函数的导数公式。（5）求lim((x+1)/(x^2-1))。解：lim((x+1)/(x^2-1))=lim(1/(x-1)-1/(x+1))=-2，其中用到了极限的基本性质和有理函数的极限公式。（6）求lim(tan3x/sin3x)。解：lim(tan3x/sin3x)=lim(sin3x/cos3x·sin3x)=lim(1/cos3x)=1，其中用到了极限的基本性质和三角函数的导数公式。（7）求lim((1+x^2-1)/(1+sinx^2-1))。解：lim((1+x^2-1)/(1+sinx^2-1))=lim(x^2/(sinx^2))=1，其中用到了极限的基本性质和三角函数的极限公式。（9）求lim((x-1)/(x+3))。解：lim((x-1)/(x+3))=lim((x-4)/(x+3)+3/(x+3))=-1/2，其中用到了极限的基本性质和有理函数的极限公式。（10）求lim((x^2-6x+8)/(x-4))。解：lim((x^2-6x+8)/(x-4))=lim((x-4)(x-2)/(x-4))=2，其中用到了极限的基本性质和因式分解公式。（11）设函数f(x)={(x-2)^2,x>1;x,-1≤x≤1;x+1,x<-1}，讨论f(x)的连续性。解：分别对分段点x=-1,1讨论连续性。当x=-1时，f(x)的左极限为0，右极限为-1，不相等，因此f(x)在x=-1处不连续；当x=1时，f(x)的左极限为1，右极限也为1，相等，因此f(x)在x=1处连续；当x>1或x<-1时，f(x)是一个二次函数或一次函数，因此在x>1或x<-1处连续。综上所述，f(x)在定义域内除x=-1处外都是连续的。1.设$f(x)=\begin{cases}x\sinx,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$，则$f'(0)=1$。2.设$f(e^x)=e^{2x}+5e^x$，则$\frac{d}{dx}f(\lnx)=\frac{2\lnx+5}{x}$。3.曲线$f(x)=x+1$在点$(1,2)$处的切线斜率为$k=\frac{1}{2}$。4.曲线$f(x)=\sinx$在点$(\frac{\pi}{2},1)$处的切线方程为$y=1$。5.设$y=x^{2x}$，则$y'=2x^{2x}(1+\lnx)$。6.求函数$y=(x^2+x+3)e^x$的导数$y'$：$$y'=(2x+1+x^2)e^x$$lnx+x2(lnx)2=−csc2x+x+2xlnx/x2解：通过合并同类项，得到lnx(1+x)2=−csc2x+2xlnx/x2。然后，可以进一步简化为lnx(1+x)2=−(1+cos2x)/sin2x+2lnx/x。最后，整理得到lnx(1+x)2=(2lnx−1−cos2x)/sin2x。y=lnx(2xlnx−x)/lnx−x解：首先，可以将分子拆分为2ln2xlnx−x2lnx。然后，将分母拆分为lnx−lnx2，得到y=2ln2xlnx−x/lnx−lnx2。最后，可以合并分母中的两项，得到y=2ln2xlnx−x/(1−lnx)。y=x3(−sinx+2cosx+2)/((cosx+2)x−(sinx+2))解：首先，将分子拆分为x3(−sinx+2cosx)/((cosx+2)x−(sinx+2))+2x3/((cosx+2)x−(sinx+2))。然后，将分母中的两项乘以它们的倒数，得到y=x3(−sinx+2cosx)/(cos2x+3cosx+2−sin2x)+2x3/(cos2x+3cosx+2−sin2x)。最后，可以利用三角恒等式将分母化简为(cosx+2)2。y=sinx/(lnx−x)解：将分母移到分子中，得到y=sinx/(lnx−x)=sinx/ln(xe−x)。然后，可以使用商法求导，得到y′=(ln(xe−x)cosx−sinx)/(ln(xe−x))2。y=x4−sinxlnx解：首先，将lnx看做一个因子，然后将两个因子分别求导，得到y′=4x3−lnxcosx−sinx/x。最后，可以将分母中的x移动到分子中，得到y′=4x3−lnxcosx/x−sinx。y=3x/(sinx+x3)解：首先，将分母看做一个因子，然后将两个因子分别求导，得到y′=(3cosx−3x2)/(sinx+x3)2−3x(cosx+3x2)/(sinx+x3)2。最后，可以合并同类项，得到y′=(3cosx−3x2−3x(cosx+3x2))/(sinx+x3)2。y=extanx+lnx解：首先，将两个函数看做相加的形式，然后分别求导，得到y′=ex(tanx+sec2x)+1/x。最后，可以将sec2x改写为1+tan2x，并将1/x移到前面，得到y′=1/x+ex(tanx+1+tan2x)。y=5sinx解：由于y是常数函数，所以y′=0。y=ecosx解：使用链式法则，得到y′=−esinx。y=sinnxcosnx解：使用乘法法则，得到y′=n(cos2x−sin2x)=n(cos2x−1+cos2x)=2ncos2x−n。y=5sinx解：由于y是常数函数，所以y′=0。y=ecosx解：使用链式法则，得到y′=−esinx。在下列方程中，y=y(x)是由方程确定的函数，求y'：⑴ycosx=e^(2y)解：对方程两边同时求导得：y'cosx-ysinx=2e^(2y)y'化简得：y'=(ysinx)/(cosx-2e^(2y))⑵y=cosylnx解：对方程两边同时求导得：y'=-siny*y'lnx+cosy/x化简得：y'=[x(1+sinylnx)]/(cosy)⑶(x^2+y^2)cosy=2xy解：对方程两边同时求导得：2xcosy*y'-(x^2-y^2)siny=2y-2xy'化简得：y'=[2y-2xcosy-(x^2-y^2)siny]/[2xcosy+y^2]⑷y=x+lny解：对方程两边同时求导得：y'=(y'lny+1)/(y-1)化简得：y'=[y/(y-1)]⑸lnx+ey=y^2解：对方程两边同时求导得：y'=(2y-ey)/(x+ey)化简得：y'=[(2y-ey)/(x+ey)]⑹y^2+1=exsiny解：对方程两边同时求导得：2yy'=excosy*y'+siny*ex化简得：y'=[exsiny]/[2y-excosy]⑺ey=ex-y^3解：对方程两边同时求导得：y'=e^(y-x)/(1+3y^2)化简得：y'=[e^(y-x)]/[1+3y^2]⑻y=5x+2y解：对方程两边同时求导得：y'=5ln5+y'/(2ln2x)化简得：y'=[5xln5]/[y-2ln2x]求下列函数的微分dy：⑴y=cotx+cscx解：y'=-csc^2x-cscxcotxdy=[-ln|xsinx-1|+ln|xsinx+1|]/[sin^2x]⑵y=1/(sinx-lnx*cosx)解：y'=[cosx*(sinx-lnx*cosx)-(-sinx-lnx*sinx)]/[sin^2x+(lnx)^2]dy=[-lnx/(sinx)^2+cosx/(sinx-lnx*cosx)^2]dx⑶y=sin^2x解：y'=2sinxcosxdy=2sinxcosxdx⑷y=tanex解：y'=sec^2ex*exdy=sec^2ex*exdx求下列函数的二阶导数：⑴y=x^3解：y'=3x^2,y''=6x⑵y=3x解：y'=3,y''=0⑶y=lnx解：y'=(1/x),y''=-1/(x^2)⑷y=xsinx解：y'=sinx+xcosx,y''=2cosx-xsinx证明题：设f(x)是可导的奇函数，试证f'(x)是偶函数．证：因为f(x)是奇函数，所以有f(-x)=-f(x)。对两边求导得f'(-x)=-f'(x)。因此，f'(x)是奇函数。又因为奇函数与偶函数之和为奇函数，所以f'(x)+f'(-x)=-2f'(x)，即f'(x)是偶函数。证毕。高等数学基础形考作业3答案：第4章导数的应用（一）单项选择题1.若函数f(x)满足条件（D），则存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)A.在(a,b)内连续B.在(a,b)内可导C.在(a,b)内连续且可导D.在[a,b]内连续，在(a,b)内可导2.函数f(x)=x^2+4x-1的单调增加区间是（D）．(-∞,2)B.(-1,1)C.(2,+∞)D.(-2,+∞)3.函数y=x^2+4x-5在区间(-6,6)内满足（A）．A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升4.函数f(x)满足f'(x)=0的点，一定是f(x)的（C）．A.间断点B.极值点C.驻点D.拐点5.设函数f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x∈(a,b)，若f(x)满足f''(x)>0，则f(x)在x取到极小值。A.B.f'(x)<0,f''(x)=0C.f'(x)=0,f''(x)>0D.f'(x)=0,f''(x)<06.设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f'(x)<0,f''(x)<0，则f(x)在此区间内是（A）．A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的D.单调增加且是凹的（二）填空题1.设f(x)在(a,b)内可导，x∈(a,b)，且当x<x时f'(x)<0，当x>x时f'(x)>0，则x是f(x)的极小值点。2.若函数y=ln(1+x^2)的单调减少区间是(-∞,x)，则x=0。3.函数f(x)=ex^2的单调增加区间是(-∞,∞)。4.若函数f(x)在[a,b]内恒有f'(x)<0，则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a)。5.函数f(x)=2+5x-3x^3的拐点是(1,2)。（三）计算题1.求函数y=(x+1)(x-5)^2的单调区间和极值。解：令y'=3(x-5)(x-1)+(x+1)×2(x-5)=5x^2-28x+29驻点x=4.4，1列表：极大值：x∈(-∞,1)，f(1)=32极小值：x∈(1,5)，f(4.4)=-(27.6)^2单调增加区间：(-∞,1)U(5,+∞)单调减少区间：(1,5)1.求函数y=x^2-2x+3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值。解：对y=x^2-2x+3求导得y'=2x-2，令y'=0解得x=1为驻点。列出函数在区间[0,3]上的增减表：x013y'+0-y↑2↓可以看出，在x=1处取得极小值2，最大值为f(3)=6，最小值为f(1)=2。2.求曲线y^2=2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短。解：设点P(x,y)在曲线上，则P到A的距离为d=sqrt((x-2)^2+y^2)，要使d最小，只需使d^2最小。即，求d^2的导数为0的点。计算得d^2=(x-2)^2+y^2=2x，d^2的导数为d'(x)=2(x-2)/(2x)，令d'(x)=0解得x=1，代入y^2=2x得到y=±2，因此曲线上到点A最近的点为(1,2)或(1,-2)。3.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：设圆柱体底面半径为R，高为h，则圆柱体的体积为V=πR^2h，底面中心到下底边沿的距离为L，即R^2-h^2=L^2/4。将R^2表示为L和h的函数，代入V=πR^2h中，得到V=π(L^2/4-h^2)h=πL^2h/4-πh^3，对h求导得到V'=-πh^2+πL^2/4，令V'=0解得h=L/2，代入R^2=L^2/4-h^2得到R=L/2。因此，当底面半径和高分别为L/2和L/2时，圆柱体的体积最大。4.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设正方形底边长为x，长方体高为h，则容积为V=x^2h=62.5，侧面积为S=xh+4x^2。将h表示为x的函数，代入S中，得到S(x)=x^2+4x(62.5/x^2)，对x求导得到S'(x)=2x-2500/x^2，令S'(x)=0解得x=50，代入V=x^2h得到h=2.5。因此，当正方形底边长为50米，长方体高为2.5米时用料最省。5.一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：设圆柱体底面半径为R，高为h，则圆柱体的表面积为S=2πRh+2πR^2，将R表示为h的函数，代入S中，得到S(h)=2πh(sqrt(V/π-h^2)+V/π-h^2)，对h求导得到S'(h)=2π(sqrt(V/π-h^2)-hV/π(sqrt(V/π-h^2)+V/π-h^2))，令S'(h)=0解得h=√(V/π)/√2，代入R=V/πh得到R=√(Vπ)/2√2。因此，当圆柱体底半径为√(Vπ)/2√2，高为√(V/π)/√2时，表面积最小。6.当x>0时，证明不等式x>ln(1+x)。证：对f(x)=lnx在区间[1,1+x]上应用拉格朗日中值定理，有ln(1+x)-ln1=f'(c)(1+x-1)=1/c(1+x)，其中1<c<1+x，因此1/c<1，1+x>1，从而1/c(1+x)<1。因此ln(1+x)-ln1<1，即ln(1+x)<1，因此x>ln(1+x)。7.当x>0时，证明不等式ex>x+1。证：对f(x)=ex-x-1求导得f'(x)=ex-1，f''(x)=ex>0，因此f(x)在整个实数域上是凸函数。因此f(x)在x=0处取得最小值，即f(x)>0对于所有x>0成立。因此ex>x+1。f(x)=e^(x-1)(当x>0时)，因此当x>0时，f(x)单调上升且f(0)=1，即e^x>(x+1)高等数学基础形考作业4答案：第5章不定积分第6章定积分及其应用（一）单项选择题1.若f(x)的一个原函数是ln|x|，则f'(x)=1/x(选项A)2.下列等式成立的是d/dx∫f(x)dx=f(x)(选项C)3.若f(x)=cosx，则∫f'(x)dx=sinx+c(选项B)4.若∫f(x)dx=F(x)+c，则∫(1/x)f(x)dx=ln|x|+F(x)+c(选项B)5.下列无穷限积分收敛的是∫1/xdx(选项D)（二）填空题1.函数f(x)的不定积分是∫f(x)dx。2.若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式F(x)-G(x)=c(常数)。3.∫e^xdx=2∫e^(x/2)dx。4.若∫f(x)dx=cos^3x+c，则f'(x)=-9cos(3x)。5.∫(1/5)(sinx+3)dx=(3/2)ln|sinx+3|+c。6.若无穷积分∫(1/x^p)dx收敛，则p>1。（三）计算题1.∫cos(1/x)dx=-cos(1/x)+c2.∫e^xdx=2e^x+c3.∫(xlnx)dx=(1/2)x^2lnx-(1/4)x^2+c4.∫xsin^2xdx=-(1/2)xcos(2x)+(1/4)sin(2x)+