河北省石家庄市第八十一中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析

河北省石家庄市第八十一中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数z满足，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z满足==，则z对应的点位于复平面第一象限．故选：A．2.若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则=（

）A.4+2Δx

B.4Δx

C．4

D.

2Δx参考答案：A3.已知异面直线l1，l2，点A是直线l1上的一个定点，过l1，l2分别引互相垂直的两个平面α，β，设l=α∩β，P为点A在l的射影，当α，β变化时，点P的轨迹是（）A．圆 B．两条相交直线 C．球面 D．抛物线参考答案：C【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由题意，异面直线l1，l2间的距离为定值，P为点A在l的射影，则PA为定值，点A是直线l1上的一个定点，即可得出结论．【解答】解：由题意，异面直线l1，l2间的距离为定值，P为点A在l的射影，则PA为定值，即异面直线l1，l2间的距离，∵点A是直线l1上的一个定点，∴当α，β变化时，点P的轨迹是球面，故选C．4.执行如图所示的程序框图，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为

A．a≥5?

B．a≥4?

C．a≥3?

D．a≥2?参考答案：B5.已知复数满足（是虚数单位），则复数=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.在正四面体ABCD的面上，到棱AB以及C、D两点的距离都相等的点共有（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

参考答案：B略7.在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足，则等于A.

B.

C.

D.

参考答案：A略8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A．+1 B．+3 C．+1

D．+3参考答案：A试题分析：根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以几何体的体积为，选A.【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．9.

若二项式的展开式中的系数是84，则实数＝(

)A.2

B.

C.1

D.参考答案：选C.因为，令，得，所以，解得a＝1.10.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列说法中，正确的有

（把所有正确的序号都填上）．①“?x∈R，使2x＞3“的否定是“?x∈R，使2x≤3”；②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π；③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f'（x0）=0”的否命题是真命题；④函数f（x）=2x﹣x2的零点有2个；⑤dx等于．参考答案：①⑤【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】通过命题的否定判断①的正误；函数的周期判断②的正误；命题的否命题的真假判断③的正误；函数的零点的公式判断④的正误；定积分求出值判断⑤的正误．【解答】解：对于①“?x∈R，使2x＞3“的否定是“?x∈R，使2x≤3”，满足特称命题的否定是全称命题的形式，所以①正确；对于②，函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）=sin（4x+），函数的最小正周期，所以②不正确；对于③，命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f'（x0）=0”的否命题是：若f'（x0）=0，则函数f（x）在x=x0处有极值，显然不正确．利用y=x3，x=0时，导数为0，但是x=0不是函数的极值点，所以是真命题；所以③不正确；对于④，由题意可知：要研究函数f（x）=x2﹣2x的零点个数，只需研究函数y=2x，y=x2的图象交点个数即可．画出函数y=2x，y=x2的图象，由图象可得有3个交点．所以④不正确；对于⑤，dx的几何意义是半圆的面积，圆的面积为π，dx=．所以⑤正确；故答案为：①⑤．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查命题的否定，零点判定定理，定积分的求法，函数的周期等知识，考查基本知识的应用．12.已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是________．参考答案：【知识点】导数的应用；恒成立问题.B12【答案解析】

解析：因为函数在区间上是减函数，所以在区间恒成立，即在区间恒成立，而在区间上的最小值是2，所以.【思路点拨】由函数在区间上是减函数，可知在区间恒成立，即在区间恒成立，而在区间上的最小值是2，所以.13.若不等式的解集为区间,且,则.参考答案：略14.如图，线段长度为，点分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，为坐标原点，则的取值范围是

▲

.参考答案：略15.．如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕着C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D，设的面积为，则的最大值为

参考答案：16.已知数列满足，，则数列的前2013项的和_____________.参考答案：略17.在数列中，，.记是数列的前项和，则的值为

．参考答案：130三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分16分)己知函数(1)若，求函数的单调递减区间;(2)若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值:(3)若，正实数满足，证明:参考答案：【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求函数的单调区间；利用导数解决不等式恒成立的问题.B11B12(1)；(2)2；(3)见解析。

解析：（1）因为，所以，………1分此时，

………2分由，得，又，所以．所以的单调减区间为．…………4分（2）方法一：令，所以．当时，因为，所以．所以在上是递增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立．……6分当时，，令，得．所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数．故函数的最大值为．

……………………8分令，因为，，又因为在是减函数．所以当时，．所以整数的最小值为2．

…………10分方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立，问题等价于在上恒成立．令，只要．…………6分因为，令，得．设，因为，所以在上单调递减，不妨设的根为．当时，；当时，，所以在上是增函数；在上是减函数．所以．………8分因为，所以，此时，即．所以，即整数的最小值为2．………………10分（3）当时，由，即从而

…………………13分令，则由得，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以，

………15分所以，因此成立．…………16分【思路点拨】(1)先根据f(1)的值求出a的值，再对原函数求导，利用即可求出单调减区间；(2)令，再对其求导，然后利用时，判断出得到在上是递增函数，继而结合不等式恒成立求出a的最小值；（3）当时，由，即，从而然后结合的单调性判断出，所以，因此成立．19.已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.（1）若，，（），求数列的前项和；（2）若，且，求证：数列是等差数列.参考答案：（1），所以.两式相减得.即

………2分所以，即，

………3分又，所以，得

………4分因此数列为以2为首项，2为公比的等比数列.，前n项和为

…7分（2）当n=2时，，所以.又，可以解得，

………9分所以，，两式相减得即.猜想，下面用数学归纳法证明：

………10分①当n=1或2时，，，猜想成立；②假设当（）时，

成立则当时，猜想成立.由①、②可知，对任意正整数n，.

………13分所以为常数，所以数列是等差数列.

………14分另解：若，由，得，又，解得．

………9分由，，，，代入得，所以，，成等差数列，由，得，两式相减得：，即所以

………11分相减得：所以所以，

因为，所以，即数列是等差数列.………14分20.已知抛物线上有四点、，点M（3,0），直线AB、CD都过点M，且都不垂直于x轴，直线PQ过点M且垂直于x轴，交AC于点P，交BD于点Q.（1）求的值；

（2）求证：MP=MQ.参考答案：（1）设直线AB的方程为，与抛物线联立得：∴（2）直线AC的斜率为∴直线AC的方程为∴点P的纵坐标为同理：点Q的纵坐标为∴，又PQ⊥x轴∴MP=MQ21.已知函数f(x)＝exsinx－cosx，g(x)＝xcosx－ex

，其中e是自然对数的底数.（1）判断函数y＝f(x)在(0，)内零点的个数，并说明理由；（2）任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得不等式f(x1)＋g(x2)≥m成立，试求实数m的取值范围；（3）若x＞－1，求证：f(x)－g(x)＞0.参考答案：（1）函数y＝f(x)在(0,)上的零点的个数为1，理由如下：因为f(x)＝exsinx－cosx，所以f′(x)＝exsinx＋excosx＋sinx.因为x∈(0，)，所以f′(x)＞0.所以函数f(x)在(0，)上是单调递增函数.因为f(0)＝－1＜0，f()＝＞0，根据函数零点存在性定理得函数y＝f(x)在(0，)上的零点的个数为1.（2）因为不等式f(x1)＋g(x2)≥m等价于f(x1)≥m－g(x2)，所以任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得不等式f(x1)＋g(x2)≥m成立，等价于f(x)min≥(m－g(x))min，即f(x)min≥m－g(x)max.当x∈[0，]时，f′(x)＝exsinx＋excosx＋sinx＞0，故f(x)在区间[0，]上单调递增，所以x＝0时，f(x)取得最小值－1，又g′(x)=cosx－xsinx－ex，由于0≤cosx≤1，xsinx≥0，ex≥，所以g′(x)＜0，故g(x)在区间[0，]上单调递减.因此，x＝0时，g(x)取得最大值－.所以m≤－－1.（3）当x＞－1时，要证f(x)－g(x)＞0，只要证f(x)＞g(x)，只要证exsinx－cosx＞xcosx－ex，只要证exsinx＋ex＞cosx＋xcosx，由于sinx＋＞0，1＋x＞0综上所述，当x＞－1时，f(x)－g(x)＞0成立.【说明】考查函数零点问题、函数不等式的转化与证明，转化与化归的思想。22.（14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．参考答案：解：（1）在中，令，得。

由实际意义和题设条件知。