八年级上册人教版数学14.3因式分解

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一、选择题（本大题共7小题）

1、请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，则由整个图形的面积关系可以得到一个有关多项式因式分解的等式，这个等式是()

A.B.

C.-2ab+b=(a-b)D.=a+ab+b

2、多项式可因式分解成(7x+a)(bx+c)，其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？()

A.0B.10C.12D.22

3、若，则mn=()

A.6B.4C.12D.-12

4、下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）

A.（2+a）（2-a）=4-a2B.（x-3）（4-x）=-（x-4）（x-3）

C.4ab-2a2-1=2a（2b-a）-1D.m2-n2=（m+n）（m-n）

5、下列各组代数式中，没有公因式的是()

A.5m(a-b)和b-aB.和-a-b

C.mx+y和x+yD.和

6、分解应提取的公因式是()

A.-x+yB.x-yC.D.以上都不对

7、分解因式的结果是()

A.(x-1)(x-2)B.C.D.

二、填空题（本大题共7小题）

8、若x2+2x-3=0，则x3+x2-5x+2023=______．

9、若一个正方形的面积为，则此正方形的周长为．

10、若关于x的二次三项式x2+ax+是完全平方式，则a的值是______．

11、若多项式能用完全平方公式因式分解，则m的值为______．

12、已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=5，ax+by=2，则_____．

13、设，，，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是<<.

14、若，且m、n为整数。则a的取值有____________种．

三、计算题（本大题共2小题）

15、用因式分解的方法进行简便计算：1772+232+46×177．

16、因式分解：

（1）3x（a-b）-9y（b-a）

（2）x4-1

四、解答题（本大题共4小题）

17、发现与探索：根据小明的解答将下列各式因式分解

①a2-12a+20

②（a-1）2-8（a-1）+7

③a2-6ab+5b2

18、阅读下面文字内容：对于形如x2+2ax+a2的二次三项式，

可以直接用完全平方公式把它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+4x-5，就不能直接用完全平方公式分解了．对此，我们可以添上一项4，使它与x2+4x构成个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即x2+4x-5=（x2+4x+4）-4-5=（x+2）2-9=（x+2+3）（x+2-3）=（x+5）（x-1）．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．

请用配方法来解下列问题

（1）请用上述方法把x2-6x-7分解因式．

（2）已知：x2+y2+4x-6y+13=0，求y的值．

19、阅读理解并解答：

（1）我们把多项a2+2ab+b2a2-2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．

例如：①x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2

∵（x+1）2是非负数，即（x+1）2≥0

∴（x+1）2+2≥2

则这个代数x2+2x+3的最小值是______，这时相应的x的值是______；

②3x2-12x+5

=3（x2-4x）+5

=3（x2-4x+4-4）+5

=3（x-2）2-12+5

=3（x-2）2-7

∵（x-2）2是非负数，即（x-2）2≥0

∴3（x-2）2-7≥-7

则这个代数式3x2-12x+5的最小值是______，这时相应的x的值是______；

（2）仿照上述方法求代数式-x2-14x+10的最大（或最小）值，并写出相应的x的值．

20、问题背景：

我们学习了整式的乘法，两个多项式相乘，我们可以运用法则，将其展开，例如：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2，而将等号的左右两边互换，我们得到了a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），等号的左边是一个多项式，而右边是几个整式相乘的形式，我们规定将一个多项式写成几个整式相乘的形式，这种运算称之为“因式分解”

问题提出：

如何将2a2+3ab+b2进行因式分解呢？

问题探究：

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释

例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速的对多项式a2+2ab+b2进行因式分解

如图1所示边长为（a+b）的大正方形是由1个边长为a×a的正方形，2个边长为a×b的长方形，1个边长为b×b的正方形（a＞b）组成，我们可以用两种方法表示大正方形的面积，这个图形的面积可以表示成：a2+2ab+b2或（a+b）2

∴a2+2ab+b2=（a+b）2

我们将等号左边的多项式写成了右边两个整式相乘的形式，从而成功的对多项式a2+2ab+b2进行了因式分解

请你类比上述方法，利用图形的几何意义对多项式2a2+3ab+b2进行因式分解（要求自己构图并写出推证过程）

问题拓展：

如何利用图形几何意义的方法推导：13+23=32？如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13

B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：A、B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．

由此可得：1323=（1+2）2=32

尝试解决：

请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推导出13+23+33的值．（要求自己构造图形并写出推证过程）．

归纳猜想：

13+23+33+…+n3=______．

答案详解

【第1题】

【答案】

B

【解析】

【分析】

此题考查数形结合的应用、考查因式分解及考查正方形、矩形的面积，根据图知，大正方形分为：一个边长为a的小正方形，一个边长为b的小正方形，两个长为b，宽为a的长方形，利用大正方形的面积等于这四部分面积的和可得答案．

【解答】

解：由图知，大正方形的边长为a+b，大正方形的面积为，

根据图知，大正方形分为：一个边长为a的小正方形，一个边长为b的小正方形，

两个长为b，宽为a的长方形，

因为大正方形的面积等于这四部分面积的和，

所以．

故选B．

【第2题】

【答案】

C

【解析】

解：利用十字交乘法将因式分解，

可得：．

∴a=-5，b=11，c=6，

则a+b+c=(-5)+11+6=12．

故选C．

首先利用十字交乘法将因式分解，继而求得a，b，c的值．

此题考查了十字相乘法分解因式的知识.注意型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数的积，把常数项c分解成两个因数的积，并使正好是一次项b，那么可以直接写成结果：

【第3题】

【答案】

D

【解析】

解：，

∴m+3=1，-n=3m，

解得：m=-2，n=6，

则mn=-12．

故选D

已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可确定出mn的值．

此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．

【第4题】

【答案】

D

【解析】

解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；

B、不是因式分解，故本选项不符合题意；

C、不是因式分解，故本选项不符合题意；

D、是因式分解，故本选项符合题意；

故选：D．

根据因式分解的定义逐个判断即可．

本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

【第5题】

【答案】

C

【解析】

解：A、5m(a-b)和b-a=-(a-b)，∴两个代数式的公因式是a-b；

B、和-a-b=-(a+b)的公因式是a+b；

C、mx+y与x+y没有公因式；

D、和公因式是．

故选C．

此题可对代数式进行变形，然后可以看出是否有公因式．

此题考查的是因式分解的含义，可以通过提出公因式进行比较．

【第6题】

【答案】

C

【解析】

解：应提取的公因式是．

故选C．

提公因式应提取相同因式的最低次幂，根据互为相反数的偶次幂相等：．

本题主要考查公因式的确定，掌握互为相反数的偶次幂相等，互为相反数的奇次幂互为相反数是解题的关键．

【第7题】

【答案】

D

【解析】

解：．

故选：D．

首先把x-1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可．

此题主要考查了因式分解-运用公式法，关键是熟练掌握完全平方公式：．

【第8题】

【答案】

2023

【解析】

解：∵x2+2x-3=0，

∴（x+3）（x-1）=0，

解得x=-3或x=1，

（1）x=-3时，

x3+x2-5x+2023

=（-3）3+（-3）2-5×（-3）+2023

=-27+9+15+2023

=2023

（2）x=1时，

x3+x2-5x+2023

=13+12-5×1+2023

=1+1-5+2023

=2023

故答案为：2023．

首先根据：x2+2x-3=0，可得：（x+3）（x-1）=0，据此求出x的值是多少，然后应用代入法，求出x3+x2-5x+2023的值是多少即可．

此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是求出x的值是多少．

【第9题】

【答案】

4a-2

【解析】

【分析】

本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长，即可确定出其周长．

【解答】

解：∵正方形的面积为，

∴正方形的边长为，

则正方形的周长为4a-2．

故答案为4a-2．

【第10题】

【答案】

±1

【解析】

解：中间一项为加上或减去x的系数和积的2倍，

故a=±1，

解得a=±1，

故答案为：±1．

这里首末两项是x和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x的系数和积的2倍，故-a=±1，求解即可

本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．关键是注意积的2倍的符号，避免漏解．

【第11题】

【答案】

7或3

【解析】

解：∵多项式能用完全平方公式因式分解，

∴2(m-2)=±10，

解得：m=7或-3，

故答案为：7或-3

利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．

此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

【第12题】

【答案】

46

【解析】

本题考查多项式乘多项，因式分解.由已知a+b=5，x+y=5，两式相乘得ax+bx+ay+by=25，可求得ay+bx=25-2=23，再将xy(a+b)+ab(+y)运用分组分解法因式分解得xy(a，交已知代入即可求出解．

解：∵a+b=x+y=2，

∴(a+b)(x+y)=ax+bx+ay+by=5×5=25，

∵ax+by=2，

∴ay+bx=25-2=23，

∴(a+b)xy+ab(x+y)

=axy+bxy+abx+aby

=by(bx+ay)+ax(bx+ay)

=(ax+by)(ay+bx)

=2×23

=46

故答案为46．

【第13题】

【答案】

a<c<b

【解析】

本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是运用平方差公式进行化简得出一个因数为918．

运用平方差公式进行变形，把其中一个因数化为918，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大．

解：

所以a<c<b．

故答案为：a<c<b．

【第14题】

【答案】

6

【解析】

【分析】

本题考查了因式分解的意义，属于基础题，得出m、n之积为12是关键，把12分解为两个整数的积的形式，p等于这两个整数的和．

【解答】

解：根据题意可得：a=m+n，mn=12，

12=4×3=(-4)×(-3)=2×6=-6×(-2)=1×12=(-1)×(-12)，

所以a=7，-7，8，-8，13，-13，共6个．

故答案为6．

【第15题】

【答案】

解：1772+232+46×177

=1772+232+2×23×177

=（177+23）2

=2023

=40000

【解析】

首先把1772+232+46×177化为1772+232+2×23×177，然后用因式分解的方法，求出算式的值是多少即可．

此题主要考查了因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．

【第16题】

【答案】

解：（1）原式=3x（a-b）+9y（a-b）=3（a-b）（x+3y）；

（2）原式=（x2+1）（x2-1）=（x2+1）（x+1）（x-1）．

【解析】

（1）原式变形后，提取公因式即可；

（2）原式利用平方差公式分解即可．

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

【第17题】

【答案】

解：①a2-12a+20

解原式=a2-12a+36-36+20

=（a-6）2-42

=（a-10）（a-2）；

②（a-1）2-8（a-1）+7

=（a-1）2-8（a-1）+16-16+7

=（a-5）2-32

=（a-8）（a-2）；

③a2-6ab+5b2

解原式=a2-6ab+9b2-9b2+5b2

=（a-3b）2-4b2

=（a-5b）（a-b）．

【解析】

参照例题可得相应解法：十字相乘法和配方法．

①先配方后利用平方差公式进行因式分解．

②先配方后利用平方差公式进行因式分解．

③先配方后利用平方差公式进行因式分解．

本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．

【第18题】

【答案】

解：（1）x2-6x-7

=x2-6x+9-9-7

=（x-3）2-16

=（x-3-4）（x-3+4）

=（x-7）（x+1）

（2）∵x2+y2+4x-6y+13=0，

∴x2+4x+4+y2-6y+9=0，

∴（x+2）2+（y-3）2=0，

∴x+2=0，y-3=0，

解得x=-2，y=3．

【解析】

（1）应用配方法，把x2-6x-7分解因式即可．

（2）首先把x2+y2+4x-6y+13=0分解因式，然后根据偶次方的非负性质，求出y的值是多少即可．

此题主要考查了因式分解的方法和应用，要熟练掌握，注意配方法、分组分解法等的应用．

【第19题】

【答案】

解：（1）①∵x2+2x+3=（x+1）2+2，

∴这个代数x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是-1．

②∵3x2-12x+5=3（x-2）2-7，

∴这个代数式3x2-12x+5的最小值是-7，这时相应的x的值是2．

（2）-x2-14x+10

=-（x2+14x+49）+49+10

=-（x2+14x+49）+59

=-（x+7）2+59

（x+7）2是非负数，（x+7）2≥0

∴-（x+7）2≤0

-（x+7）2+59≤59

∴这个代数式的最大值是59，这时相应的x的值是-7．

故答案为：2、-1、-7、2．

（1）①根据：x2+2x+3=（x+1）2+2，可得：这个代数x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是-1．

②根据：3x2-12x+5=3（x-2）2-7，可得：这个代数式3x2-12x+5的最小值是-7，这时相应的x的值