2026秋高三数学复习 圆锥曲线：椭圆的离心率问题、弦长问题、焦半径与焦点弦问题、中点弦问题(解析版)

圆锥曲线：椭圆的离心率问题、弦长问题、焦半径与焦点弦问题、中点弦问题

专项训练

考点目录

椭圆的离心率问题椭圆的弦长问题

椭圆的焦半径与焦点弦问题椭圆的中点弦问题

考点一椭圆的离心率问题

x2y2

1．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆+=1，其焦点F与上顶点A和左顶点B构成面积为

9b2

33的三角形，且ÐBAF=60o，则椭圆的离心率为（）

1212

A．B．C．D．

3322

【答案】B

【详解】

x2y2

由+=1可得a=3，由图知，|AF|=a=3，|AB|=b2+9，

9b2

1

又ÐBAF=60o，则△BAF的面积为´3´b2+9sin60o=33，

2

c2

解得b2=7，则c=9-b2=2，则椭圆的离心率为e==.

a3

故选：B.

x2y2

2．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若椭圆C:+=1m>0的焦距为22，则C的离心率为（）

m2

2336

A．B．C．D．

2233

【答案】A

【详解】由2c=22得c=2，

又a2=b2+c2=b2+2>2，

所以b2=2，m=a2=4，得a=2，

c2

所以e==．

a2

故选：A．

22

325-26··xy

．（高三上浙江开学考试）已知椭圆C:+=1a>0,b>0的左、右两个焦点为F1，F2，若椭圆上存

a2b2

uuuruuuura2

在两点P、Q关于原点对称，且满足PF×PF=，ÐPFQ=120o，则椭圆C的离心率（）

1222

3211

A．B．C．D．

2223

【答案】C

【详解】连接QF1，QF2，因为点P、Q关于原点对称，所以四边形QF2PF1是平行四边形，

o

所以QFF1=ÐÐ1FPF22，又因为ÐPF2Q=120，所以F1+FPF22=ÐPF21QFP=120°ÐÐ，

所以PFF=180°-ÐF212QP=60°Ð，

22

uuuruuurauuuruuuurauuuruuuur2

因为PF×PF=，所以PF×PFcosÐFPF=，所以PF1×PF2=a，

12212212

uuuruuuur2

uuuruuuuræPF+PFö

uuuruuuur122

又PF1+PF2=2a，所以PF×PF£ç÷=a，

12ç2÷

èø

uuuruuuuruuuruuuur2

当且仅当PF1=PF2=a时取等号，又PF1×PF2=a

1

所以VFPF为等边三角形，所以a=2c，所以椭圆的离以率为e=.

212

故选：C.

22

425-26··xy

．（高三上湖北武汉阶段练习）设椭圆E：+=1a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，椭圆E上点P

a2b2

F1A2

满足PF1^PF2，直线PF1和直线PF2分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若=，则椭圆E的离心率

F2B3

为（）

351017

A．B．C．D．

2345

【答案】D

【详解】由题设，令ÐPF1F2=q，故|PF1|=2ccosq，|PF2|=2csinq，

所以|PF1|+|PF2|=2c(cosq+sinq)=2a，故e(sinq+cosq)=1，

①

F1A2

由=，令F1A=2m,F2B=3m，则F2A=2a-2m,F1B=2a-3m，

F2B3

222222

由PA+|PF2|=F2A，则(2ccosq+2m)+(2csinq)=(2a-2m)，

所以c2+2mccosq=a2-2ma，整理得2m(ccosq+a)=a2-c2，

222222

由PB+|PF1|=F1B，则(2csinq+3m)+(2ccosq)=(2a-3m)，

所以c2+3mcsinq=a2-3ma，整理得3m(csinq+a)=a2-c2，

所以2m(ccosq+a)=3m(csinq+a)，整理得2ecosq-3esinq=1，

4111

联立，得ecosq=，esinq=，故tanq=，即sinq=②，

55417

①②17

所以e=.

5

故选：D

x2y2

5．（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线y=kxk¹0与椭圆C:+=1a>b>0交于A,B两点，椭圆的左、

a2b2

右焦点分别为F1、F2，四边形AF1BF2为矩形，若F2A=2F2B，则椭圆C的离心率是（）

3155

A．B．C．D．

2239

【答案】C

【详解】如图：

设F2B=t，则F2A=2t，因为四边形AF1BF2为矩形，所以F1F2=5t.

所以2a=3t，2c=5t.

c2c5

所以e===.

a2a3

故选：C

x2y2

6．（25-26高三上·山西大同·开学考试）已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P为C上

a2b2

一点，ÐF1PF2的平分线交x轴于点A，若PF1=3AF1，则C的离心率为（）

1123

A．B．C．D．

3234

【答案】A

【详解】由题意知ÐF1PF2的平分线交x轴于点A，故ÐF1PA=ÐF2PA，

11

SPF1×PA×sinÐF1PAAF1×d

VPF1A22

故==，（d为VPFF的边F1F2上的高），

S1112

VPF2APF×PA×sinÐFPAAF×d

22222

PF1AF1AF1AF21

即得=，结合PF1=3AF1可得==，

PF2AF2PF1PF23

AF+AF1

所以12=，

PF1+PF23

x2y2

对于C:+=1(a>b>0)有AF1+AF2=F1F2=2c,PF1+PF2=2a，

a2b2

2cc11

故==，即C的离心率为.

2aa33

故选：A

2222

725-26···xyxy

．（高三上河北开学考试多选）已知F1,F2是椭圆C:+=1a>0与双曲线C:-=1b>0的公

1a222b22

共焦点，点P是两曲线的一个交点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）

A．a>bB．e1e2<1

11

C．VPF1F2是直角三角形D．2+2是个定值

e1e2

【答案】ACD

22

【详解】选项A，因为C1,C2有公共的焦点，得a-2=b+2，

即a2=b2+4>b2，又a>0,b>0，所以可得a>b.故A正确；

222

222a-2b+22b+2

选项B，因为C1,C2有公共的焦点，可得a=b+4，e==，e=，

1a2b2+42b2

42

22b+4b+44

得ee==1+>1，即e1e2>1，故B错误；

12b4+4b2b4+4b2

22

选项C，因为C1,C2有公共的焦点，可得a=b+4，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得，

22222

PF1+PF2=2a，PF1-PF2=2b，所以PF1=a+b，PF2=a-b，PF1+PF2=2(a+b)=4b+8，

2222

F1F2=4c=4(b+2)=4b+8，

222

所以PF1+PF2=F1F2，故VPF1F2是直角三角形，故C正确；

222

222a-2b+22b+2

选项D，因为C1,C2有公共的焦点，可得a=b+4，e==，e=，

1a2b2+42b2

11b2+4b22b2+4

因此2+2=2+2=2=2，故D正确.

e1e2b+2b+2b+2

故选：ACD.

22

825-26···xy

．（高三上江西阶段练习多选）已知椭圆C:+=1a>b>0的左､右焦点分别为F1,F2，上顶点为

a2b2

A，直线AF2与C的另一个交点为B，下列结论正确的是（）

3

A．若AF2=2BF2，则C的离心率为

3

3

B．若BF1=3BF2，则C的离心率为

3

6

C．若AB=BF1，则C的离心率为

3

5

D．若AF1^BF1，则C的离心率为

5

【答案】ABD

x2y2

【详解】由椭圆C:+=1，可得F1(-c,0),F2(c,0)，且A(0,b)，则AF1=AF2=a，

a2b2

a

对于A中，若AF=2BF，可得BF=，

2222

3

又由椭圆的定义，可得BF+BF=2a，所以BF=2a-BF=a，

12122

222

AB+BF1-AF17

在VABF1中，由余弦定理得cosÐABF1==，

2ABBF19

a3a5a2

222()2+()2-4c2-4c2

BF2+BF1-F1F2222

在△BF1F2中，可得cosÐF1BF2===，

2BFBFa3a32

212´´a

222

5a2

-4c2

7c21

因为cosÐABF=cosÐFBF，所以2=，整理得=，

11232

a29a3

2

c3

所以椭圆的离心率为e==，所以A正确；

a3

3aa

对于B中，若BF=3BF，因为BF+BF=2a，可得BF=,BF=，

12121222

5a2

-4c2

7

在VABF和△BFF中，由余弦定理得cosÐABF=，cosÐFBF=2，

11219123

a2

2

5a2

-4c2

7c21

因为cosÐABF=cosÐFBF，所以2=，整理得=，

11232

a29a3

2

c3

所以椭圆的离心率为e==，所以B正确；

a3

对于C中，若AB=BF1，可得

由椭圆的定义，BF1=2a-BF2且AB=AF2+BF2=a+BF2，

a3a

所以a+BF=2a-BF，可得BF=，所以BF=，

222212

5a2

-4c2

7

在VABF和△BFF中，由余弦定理得cosÐABF=，cosÐFBF=2，

11219123

a2

2

5a2

-4c2

7c21

因为cosÐABF=cosÐFBF，所以2=，整理得=，

11232

a29a3

2

c3

所以椭圆的离心率为e==，所以C不正确；

a3

对于D中，若AF1^BF1，设BF2=n，则BF1=2a-n，

222222

由勾股定理，可得AB=AF1+BF1，即(a+n)=a+(2a-n)，

2a2a4a

解得n=，即BF=，BF=，

32313

5c2b

由A(0,b),F(c,0)，且A,F,B三点共线，可得B(,-)，

2233

52b

(c)2(-)2c21

代入椭圆C的方程，可得33，整理得2=，

+=1a5

a2b2

c5

所以椭圆C的离心率为e==，所以D正确.

a5

故选：ABD.

9．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）直线8x+12y=16经过椭圆m2x2+n2y2=1的两个顶点，则该椭圆的离心率

为.

5

【答案】

3

æ4ö

【详解】由题意知，直线8x+12y=16与坐标轴的交点坐标为ç0,÷,2,0.

è3ø

x2y2

+=1

因为椭圆m2x2+n2y2=1，即11.

m2n2

114216

所以2æö，可知

2=2=4,2=ç÷=a=2.

mnè3ø9

222112025

所以c=a-b=-=，所以c=.

m2n293

c5

所以该椭圆的离心率为e==.

a3

5

故答案为：.

3

2bx2y2

10．（2025·江苏南通·模拟预测）若直线y=与椭圆C:+=1a>b>0交于A，B两点，AB=2b，则C的

3a2b2

离心率为.

2

【答案】

3

2bx2y2

【详解】直线y=与椭圆C:+=1a>b>0交于A，B两点，AB=2b，

3a2b2

2b2

æ2böæ2böæö2

2ç÷b5

则Aç-b,÷,Bçb,÷，点B在椭圆上可得b3，即得=，

è3øè3ø+èø=1a29

a2b2

cc2b252

所以C的离心率为e===1-=1-=.

aa2a293

2

故答案为：.

3

x2

11．（24-25高二上·新疆哈密·阶段练习）已知点P在圆x2+y2-6y+8=0上，点Q在椭圆+y2=1(a>1)上，且

a2

PQ的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为.

【答案】3

2

【详解】由x2+y2-6y+8=0化简为x2+(y-3)2=1，圆心A(0,3)．如图，

因为PQ£AQ+AP=AQ+1，所以PQ的最大值为5等价于AQ的最大值为4.

x2

设Q(x,y)，由AQ£4，得x2+(y-3)2£16，又Q(x,y)在+y2=1上

a2

①②

联立消去x，化简得(1-y2)a2+y2-6y-7£0，

①②x2

即(1+y)[(1-y)a2+y-7]£0，因Q(x,y)在+y2=1上，则有yÎ[-1,1]，得1+y³0，

a2

故(1-y)a2+y-7£0，即(1-a2)y+a2-7£0在yÎ[-1,1]上成立(*).

令g(y)=(1-a2)y+a2-7，因a>1，则函数g(y)在[-1,1]上单调递减.

2

故gy£g-1=2a-8，由（*）可得2a2-8£0，解得a£2，故1<a£2.

c2a2-1133

所以e2===1-£，即0<e£，

a2a2a242

3

即椭圆的离心率的最大值为.

2

3

故答案为：.

2

x2y2

12．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点为F，P，Q为C上关于原

a2b2

b2

点对称的两点，PF^QF，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为-，则C的离心率为.

3a2

【答案】3-1

【详解】不妨设Px0,y0，Q-x0,-y0，Mx1,y1，

由PF^QF可知，直线PF、QF斜率均存在且不为0，

b2

k=-<0，

MQ3a2

∵

æx2öæx2ö

b21-1-b21-0

22ç2÷ç2÷2

且y1-y0y1+y0y1-y0èaøèaøb，

kMQ´kMP=´=22=22=-2

x1-x0x1+x0x1-x0x1-x0a

kMP=3，直线MP的倾斜角为60°,

∴ÐQFO=30∴°，

∴

设F1为C的左焦点，连接QF1，

根据椭圆的对称性得：QF1//PF,则ÐFQF1=90°，

F1F2=2c,QF1=c，QF=3c，

∵∴

由椭圆的定义得：QF+QF1=3+1c=2a，

c2

C的离心率e===3-1.

a3+1

∴

x2y2

13．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）椭圆+=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一

a2b2

点，直线PF1的斜率为2，ÐF1PF2=90°，则椭圆的离心率为．

51

【答案】/5

33

【详解】设F1-c，F2c,0,0，由椭圆的定义可得PF1+PF2=2a，

直线PF1的斜率为2，则tanÐPF1F2=2，

PF2

又ÐF1PF2=90°，Rt△F1PF2中，tanÐPF1F2==2，

PF1

设PF1=m，有PF2=2m，

222222

由PF1+PF2=F1F2，得m+4m=4c，

22

又PF1+PF2=m+2m=2a，消去m得5a=9c，

c25c5

即=，所以椭圆的离心率e==.

a29a3

5

故答案为：

3

x2y2

14．（24-25高二下·广西梧州·阶段练习）已知O为坐标原点，椭圆C：+=1（a>b>0）的右顶点为A，以

a2b2

OA为直径的圆与椭圆C的三个公共点分别为A，M，N，若以O，M，A，N为顶点的四边形是正方形，则椭

圆C的离心率为.

6

【答案】

3

【详解】以OA为直径的圆，和椭圆关于x轴对称，则交点在OA中垂线上，不妨设点M在第一象限，则

æaaöx2y2a2a2

Mç,÷，代入椭圆C：+=1，得+=1，

è22øa2b24a24b2

c6

即a2=3b2=3a2-3c2，解得e==.

a3

6

故答案为：.

3

考点二椭圆的弦长问题

y2

1．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆C:+x2=1的一个焦点是F，过原点的直线与C相交于点A，B，

9

210

△ABF的面积是，则|AB|=（）

5

35651852185

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【详解】如图：

由题，不妨设F0,22，直线AB斜率存在，

设直线AB方程y=kx,Ax1,y1,Bx2,y2，

2

ìy2

ï+x=1222

联立í9Þk+9x-9=0,Δ=36k+9>0，

ï

îy=kx

-9

x+x=0,x×x=，

1212k2+9

112136210

S=OF×x-x=´22´x+x-4xx=´22´=，

VABF212212122k2+95

解得k=±6，

62185

故|AB|=1+k2|x-x|=37´=，

12455

故选：D.

x2

2．（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆C：+y2=1截得的弦长大于．．l：y=x+1被C截得的弦长的是

2

（）

A．y=-xB．y=-x-1C．y=x-1D．y=x+2

【答案】A

x2

【详解】解：易知椭圆C：+y2=1关于x轴、y轴、原点对称，

2

直线y=x+1与直线y=-x-1关于x轴对称，

直线y=x+1与直线y=x-1关于原点对称，

所以椭圆被直线y=x+1、y=-x-1、y=x-1所截得的弦长相等，故排除B、C；

根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小，

y=-x过原点，y=x+2比y=x+1到原点的距离远，

故y=x+2截椭圆所得的弦长比y=x+1截椭圆的弦长要短，故排除D，

故y=-x截椭圆所得的弦长比y=x+1截椭圆的弦长要长，

故选：A.

x2

3．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆+y2=1的右焦点F作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两

2

点，则|AB|=（）

822022132

A．B．C．D．

7777

【答案】A

22

【详解】a=2，b=1，c=a2-b2=1，即F1,0，

∴

kl=tan60°=3，l:y=3x-1，

∴

ìy=3x-1

ï2

联立方程组得íx2，整理得7x-12x+4=0，

ï+y2=1

î2

124

设Ax,y，Bx,y，x+x=，xx=，

1122127127

∴2

2212482

22æö.

|AB|=1+kx1-x2=1+kx1+x2-4x1x2=1+3ç÷-4´=

è7ø77

故选：A.

x2y2

4．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知直线y=2x与椭圆C:+=1a>b>0交于A，B两点，点F是椭

a2b2

uuuruuuruuuruuur

圆C的左焦点，若FA+FB=4，FA+FB=22，则AB=．

45

【答案】

3

uuuruuuruuuruuur

【详解】由对称性可得，FA+FB=2a=4，FA+FB=2c=22，

所以a=2，c=2，b=a2-c2=2，

y=2x

22ì

xyï2421645

所以椭圆方程为+=1，íx2y2，解得x=，y=，AB=2x2+y2=．

42ï+=1993

î42

45

故答案为：.

3

x2y2

5．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆C:+=1的左右焦点分别为F1、F2，过F1作直线交椭圆C于A、B两

43

点，其中点B在x轴下方，△ABF2内切圆交边AB于点N，则线段AN的长度取值范围为.

【答案】(1,3)

AF2+AB-BF2

【详解】因为△ABF2的内切圆交边AB于点N，所以AN=,

2

又因为在椭圆中AF1+AF2=4，BF2=4-BF1,

AF+AF+BF-BF4+BF1-4-BF1

所以AN=2112=