2022-2023学年山西省太原重点中学高一上期末数学试卷含解析

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.集合，，则等于()

A.B.C.D.

2.已知函数，则()

A.B.C.D.

3.()

A.B.C.D.

4.在中，已知是边上的一点，若，，则()

A.B.C.D.

5.通过实验数据可知，某液体的蒸发速度单位：升小时与液体所处环境的温度单位：近似地满足函数关系为自然对数的底数，，为常数若该液体在的蒸发速度是升小时，在的蒸发速度是升小时，则该液体在的蒸发速度为()

A.升小时B.升小时C.升小时D.升小时

6.已知函数与的部分图象如图，则图可能是下列哪个函数的部分图象()

A.B.C.D.

7.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是()

A.B.C.D.

8.已知，，设，，，则()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法正确的有()

A.若，则B.若，则

C.若，则D.若，则

10.设向量，满足，且，则以下结论正确的是()

A.B.

C.D.，

11.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则()

A.的最小值为

B.在上单调递减

C.的解集为

D.存在实数满足

12.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()

A.

B.图象的对称中心为，

C.直线是图象的一条对称轴

D.的图象与的图象有个交点

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.函数的定义域是______．

14.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______．

15.九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积为______．

16.已知函数有唯一零点，则______，的解集为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知，，是同一平面内的三个向量，其中．

若，且，求的坐标；

若，且与垂直，求与的夹角．

18.本小题分

已知．

求的值；

已知，，，求的值．

19.本小题分

某游泳馆拟建一座占地面积为平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深米，四周的池壁造价为元米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为元米，泳池底面造价为元平方米池壁厚忽略不计，设泳池的长为米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价．

20.本小题分

在中，、、分别为内角、、的对边，且

Ⅰ求的大小；

Ⅱ若，试判断的形状．

21.本小题分

设函数是定义在上的增函数，对于任意，都有．

证明是奇函数；

解不等式．

22.本小题分

已知函数，．

求的最小正周期和单调递增区间；

求方程在内的所有实数根之和．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意发现集合中元素，，

所以，B正确．

故选：．

从集合中找出集合的元素即可．

本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：函数，则，

故选：．

由题意，利用分段函数，分类讨论，求得的值．

本题主要考查分段函数的应用，求函数的值，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：

．

故选：．

利用诱导公式及两角和的正弦公式计算可得．

本题主要考查了诱导公式及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：在中，已知是边上的一点，，，

而由题意可得，

故有，

故选B．

本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出．

本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：由题意得，

两式相除得，所以，

当时，，

所以该液体在的蒸发速度为升小时．

故选：．

由题意可得，求出，，再将代入即可得解．

本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象与性质，熟练掌握复合函数奇偶性的判断方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

由图知，为偶函数，为奇函数，图中的函数为奇函数，然后采用排除法，用函数的奇偶性可排除选项A和，从函数的定义域可排除选项D．

【解答】

解：由图知，函数为偶函数，函数为奇函数，图中的函数为奇函数，

选项A，令，

则，

所以函数为偶函数，不符合题意；

选项C，令，

则，

所以函数为偶函数，不符合题意；

选项D，作为分母，不能为，与图不符，

故选B．

7.【答案】

【解析】解：由已知，周期为，

则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，

，

故选D

先根据函数的最小正周期为求出的值，再由平移后得到为偶函数可知，即可确定答案．

本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用．

8.【答案】

【解析】解：，，

，，

，

，且，

．

故选：．

根据条件可得出，根据对数的换底公式可得出，并求出，然后可得出，，的大小关系．

本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．

9.【答案】

【解析】解：对于，当，，时，满足，故，故A错误；

对于，若，故，不等式两边同乘以，得到，故B正确；

对于，若，不等式两边同减去得：，C正确；

对于，当，时，满足，此时，D错误．

故选：．

可举出反例，可通过不等式基本性质得到求解．

本题主要考查不等式的性质，属于基础题．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用．

由已知结合向量数量积的性质对各选项进行检验即可．

【解答】

解：因为，且，

所以，

所以，故，选项A正确；

因为，

所以，B错误；

因为，

所以，C正确；

因为，

所以，D错误；

故选：．

11.【答案】

【解析】解：函数是定义在上的偶函数，当时，，

可得，

可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确；

在递减，在递增，故B错误；

由或，解得或，故C正确；

由，，即存在实数满足，故D正确；

故选：．

由偶函数的定义可得的解析式，由二次函数的最值求法和单调性的判断、二次不等式的解法和，可得结论．

本题考查函数的奇偶性和单调性的性质和运用，考查转化思想、运算能力，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：根据函数的部分图象，

可得，．

再根据五点法作图，可得，，故A正确；

再根据图象经过点，可得，

，函数，令，则，

所以函数图象的对称中心为，故选项B正确；

令，则，

所以函数图象的对称轴为，

所以直线不是图象的一条对称轴，故选项C错误；

在同一坐标系内作出函数与的图象，根据函数的图像可知：

点，

因为当时，，

所以函数的图象与的图象在附近有两个交点，

又，所以函数的图象与的图象在附近没有交点，

结合图象可知：函数的图象与的图象有个交点，故选项D正确，

故选：．

首先根据函数的图象可得，由此可得的值，根据五点法求得的值，即可判断；进一步计算可求出函数的解析式，根据正弦函数的对称轴和对称中心计算可判断、；在同一坐标系内作出函数与的图象，数形结合可判断．

本题考查了三角函数的图象与性质，考查了数形结合的思想，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：由题意可得，解得且．

因此，函数的定义域是．

故答案为：．

根据题意可得出所满足的不等式组，进而可得函数的定义域．

本题主要考查分式函数、对数函数的性质，求函数的定义域，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：由题意可知，命题，为真命题，

，

解得，

即实数的取值范围为

故答案为：

由题意可知，原命题的否定为真命题，再结合二次函数的性质求解即可．

本题主要考查了特称命题的应用，考查了命题的否定，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：，，

，

又扇形的面积，

弧田的面积为．

故答案为：．

先求出的面积，再求出扇形的面积，进而求出弧田的面积即可．

本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：，

令，则，

而，可得函数为偶函数，

函数的图象关于对称，

要使函数有唯一零点，则，

即，解得；

则，

，即，，

令，则，

令，则，

可得，即，解得．

的解集为．

故答案为：；．

先对函数整理，以为整体设为，转化为新函数，证明其为偶函数，则可得原函数关于对称，又由函数有唯一零点可得，进而可以求出的值；把代入，再由换元法结合函数的奇偶性得关于的不等式求解．

本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了函数的奇偶性，是中档题．

17.【答案】解：设，则由，可得，由，可得，

联立，解得或，

或；

与垂直，

，即，

又，

，

，

又，

与的夹角．

【解析】设，根据题意建立关于，的方程组，解出即可；

依题意，，展开后化简即可得到答案．

本题主要考查平面向量的数量积以及坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题．

18.【答案】解：由，得，，

则

；

由，可得或，

，，

则，

，，，

则，．

【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数的基本关系式、倍角公式及两角和的正切，考查运算求解能力，是基础题．

由已知求得，再由倍角公式、同角三角函数基本关系式化弦为切求解的值；

求解一元二次方程可得，由两角和的正切求，结合角的范围可得的值．

19.【答案】解：因为泳池的长为米，则宽为米．

则总造价，

整理得到，

当且仅当时等号成立．

故泳池的长设计为米时，可使总造价最低，最低总造价为元．

【解析】根据矩形面积公式列出函数表达式，结合基本不等式即可求解．

本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．

20.【答案】解：Ⅰ由已知，根据正弦定理得，

即，

由余弦定理得

故，

，

；

Ⅱ由Ⅰ得，所以，，

变形得，

又，得，

上述两式联立得，

因为，，

故B，

所以是等腰的钝角三角形．

【解析】本题考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的，属于中档题．

Ⅰ利用正弦定理角化边，求得，和关系式，代入余弦定理中求得的值，进而求得；

Ⅱ把Ⅰ中，和关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与联立求得和的值，进而根据，的范围推断出，可知是等腰的钝角三角形．

21.【答案】解：证明：令，则由，

得，即；

令，则由，得，

即得，

故是奇函数；

，

所以，则，

即，

因为，

所以，

所以，

又因为函数是增函数，

所以，所以或．

所以的解集为．

【解析】对，赋值，利用奇函数的定义进行证明；

先化简目标式为，结合函数单调性可求答案．

本题考查了对奇函数的证明及利用抽象函数的单调性解不等式，属于中档