初中数学平面几何专题

初中数学平面几何专题全国名校初高中数学优质衔接资料汇编（附详解）（二十一）平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，常涉及到线段长度以及长度比的问题。在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比。例如，在一张方格纸上，我们作平行线$l_1$，$l_2$，$l_3$（如图），直线$a$交$l_1$，$l_2$，$l_3$于点$A$，$B$，$C$，其中$AB=2$，$BC=3$。另作直线$b$交$l_1$，$l_2$，$l_3$于点$A'$，$B'$，$C'$，不难发现$\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{B'C'}{BC}=2$。我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图，$l_1\parallell_2\parallell_3$，有$ABDE=BCEF$。当然，也可以得出$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}$。在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例。例1：如图，$l_1\parallell_2\parallell_3$，且$AB=2$，$BC=3$，$DF=4$，求$DE$，$EF$。解：因为$l_1\parallell_2\parallell_3$，所以$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{2}{3}$，$\dfrac{DF}{B'C'}=\dfrac{1}{2}$。因此，$DE=\dfrac{10}{3}$，$EF=\dfrac{8}{3}$。例2：在$\triangleABC$中，$D$，$E$为边$AB$，$AC$上的点，$DE\parallelBC$，求证：$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DE}{BC}$。证法（一）：因为$DE\parallelBC$，所以$\angleADE=\angleABC$，$\angleAED=\angleACB$，因此$\triangleADE\sim\triangleABC$。所以$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DE}{BC}$。证法（二）：如图，过$A$作直线$l\parallelBC$，$l\parallelDE$，则$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{BD}{CE}$。因为$l\parallelBC$，所以$\dfrac{BD}{CE}=\dfrac{AB}{AC}$，所以$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}$。又因为$l\parallelDE$，所以$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DE}{BC}$。因此，$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DE}{BC}$。从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。例3：已知$\triangleABC$，$D$在$AC$上，$AD:DC=2:1$，能否在$AB$上找到一点$E$，使得线段$EC$的中点在$BD$上。解：假设能找到，如图，设$EC$交$BD$于$F$，则$F$为$EC$的中点，作$EG\parallelAC$交$BD$于$G$。因为$EG\parallelAC$，所以$\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AG}{GB}$，即$\dfrac{2}{1}=\dfrac{AG}{GB}$。又因为$F$为$EC$的中点，所以$\dfrac{BF}{FD}=\dfrac{BG}{AG}=2$。因此，$\dfrac{BF}{FD}=\dfrac{2}{1}=\dfrac{BG}{AG}$，即$FG\parallelBD$。但是，$FG$与$EG$重合，与$BD$平行，这与$BD$有交点矛盾。因此，不能找到这样的点$E$。例6如图，在直角三角形ABC中，$\angleBAC=90^\circ$，$AD\perpBC$于D。求证：（1）$AB^2=BD\cdotBC$，$AC^2=CD\cdotCB$；（2）$AD^2=BD\cdotCD$。证明（1）在$\triangleABC$和$\triangleABD$中，$\angleBAC=\angleBDA=90^\circ$，$\angleABD=\angleACB$，因此$\triangleABC\sim\triangleABD$，由此可得$\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{BC}{AB}$，即$AB^2=BD\cdotBC$。同理可证得$AC^2=CD\cdotCB$。（2）在$\triangleABD$和$\triangleACD$中，$\angleBDA=\angleCDA=90^\circ$，$\angleABD=\angleACD$，因此$\triangleABD\sim\triangleACD$，由此可得$\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{BD}{AD}$，即$AD^2=BD\cdotCD$。这个结论被称为射影定理，对直角三角形的运算很有用。例7在$\triangleABC$中，$AD\perpBC$于D，$DE\perpAB$于E，$DF\perpAC$于F，求证：$AE\cdotAB=AF\cdotAC$。证明：由题意可知，$\triangleADE\sim\triangleAFB$，$\triangleADF\sim\triangleAEC$。因此，$\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}$，即$AE\cdotAB=AF\cdotAC$。例8如图，在$\triangleABC$中，D为边BC的中点，E为边AC上的任意一点，$BE$交$AD$于点O。某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当$\dfrac{AE}{AO}=1:1$时，有$\dfrac{AC^2}{AD^2}=2$。（2）当$\dfrac{AE}{AO}=2:1$时，有$\dfrac{AC^2}{AD^2}=5$。（3）当$\dfrac{AE}{AO}=3:1$时，有$\dfrac{AC^2}{AD^2}=10$。在图中，当$\dfrac{AE}{AO}=n:1$时，有$\dfrac{AC^2}{AD^2}=f(n)$。用n表示$\dfrac{AE}{AO}=1+\dfrac{1}{n}$，参照上述研究结论，请你猜想$\dfrac{AC^2}{AD^2}$的一般结论，并给出证明（其中n为正整数）。解：依题意可以猜想：当$\dfrac{AE}{AO}=1+\dfrac{1}{n}$时，有$\dfrac{AC^2}{AD^2}=2n^2-1$。证明：过点D作$DF\parallelBE$交$AC$于点F，因为$QD$是$BC$的中点，$F$是$EC$的中点，由$\triangleADE\sim\triangleAFB$可知$\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AD}{AB}$，即$\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AF}{AB}$。又因为$\triangleADF\sim\triangleAEC$，可得$\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AD}$，因此$\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AC}{AB}$，即$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$。由此可得$\dfrac{AC^2}{AD^2}=\dfrac{AE^2}{AB^2}=\dfrac{(1+\frac{1}{n})^2}{4}$，化简后即得到$\dfrac{AC^2}{AD^2}=2n^2-1$。1.题目：如图，D是VABC的边AB上的一点，过D点作DE//BC交AC于E。已知AD：DB=2：3，则SVADE:S四边形BCDE等于（）A．2:3B．4:9C．4:5D．4:21改写：在图中，连接AD，BD，DE并延长至交点C。由题意可得AD:DB=2:3，因此可以设AD=2x，DB=3x。根据平行线性质，得到AE:EC=AD:DC=2:5，因此CE=5x。根据相似三角形性质，得到SVADE:S四边形BCDE=AE:CE=2:5。因此，答案为C．4:5。2.题目：若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段。这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________。改写：设梯形的上底为x，下底为y，对角线为z。由中位线的性质可得(x+y)/2=15，即x+y=30。根据题意可得(x/y)=3/2，因此x=3y/2。根据勾股定理可得z=sqrt(x^2+y^2)，代入x和y的表达式中得到z=sqrt(13y^2/4)。又因为z是整数，因此y必须是4的倍数。代入y=4，得到x=6，因此上底为6，下底为9。3.题目：已知：VABC的三边长分别是3，4，5，与其相似的VA'B'C'的最大边长是15，求A'B'C'的面积SVA'B'C'。改写：根据相似三角形的性质，得到A'B':AB=BC':B'C'=AC':A'C'=k，其中k是相似比。又因为A'B'C'的最大边长是15，因此k=15/5=3。因此，A'B'=3AB=9，B'C'=3BC=12，A'C'=3AC=15。根据海伦公式，得到SVA'B'C'=sqrt(p(p-A'B')(p-B'C')(p-A'C'))，其中p=(A'B'+B'C'+A'C')/2=18。代入计算得到SVA'B'C'=54。4.题目：已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。(1)请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；(2)若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？改写：(1)四边形EFGH是平行四边形。因为E、F、G、H分别是四边形ABCD的中点，所以EF//AB，GH//CD，且EF=AB/2，GH=CD/2。因此，EFGH是平行四边形。(2)若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足AC=BD时，EFGH是菱形；若对角线AC、BD满足AC=BD且ABCD是菱形时，EFGH是正方形。因为AC=BD时，四边形EFGH的对角线互相平分，因此是菱形。若ABCD是菱形，那么其对角线相互垂直且平分，因此EFGH的对角线也相互垂直且平分，因此是正方形。5.题目：如图,点C、D在线段AB上，VPCD是等边三角形。(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，VACP∽VPDB？(2)当VACP∽VPDB时，求ÐAPB的度数。改写：(1)当AC:CD:DB=1:1:2时，VACP∽VPDB。因为VPCD是等边三角形，所以PC=PD=CD/2。又因为AC:CD:DB=1:1:2，因此AD=3AC，BD=3DB，CD=2AC。根据相似三角形的性质，得到VACP∽VPDB。(2)当VACP∽VPDB时，由相似三角形的性质可得AP:PD=PA:PB，因此AP/PB=PD/PA。又因为VPCD是等边三角形，所以PD=PC=PA，因此AP/PB=1。因此，ÐAPB=45度。2.已知三角形VABC，连结三边中点构成第二个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为多少？3.在梯形ABCD中，AD//BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF//AD。证明OE=OF，求证：OEOE/ADBC=1/12，证明ADBCEF+=1。C组1.在三角形VABC中，P是边AB上一点，要使VACP∽VABC，还需要补充什么条件？若VACP∽VABC，且AP:PB=2:1，则BC:PC=1:3。2.在四边形ABCD中，点E是对角线BD上一点，且∠BDC=∠DAE=∠BAC。证明BE/AD=CD/AE，猜想BC/DE可能等于哪两条线段的比，并给出证明。3.在直角三角形RtVABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DE⊥AC，DF⊥AB于F，M为BC的中点。判断VMEF的形状，并证明结论。4.在图a中，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于E，EF⊥AB交BD于F，证明111+=SABCDEF成立。若将图a中的垂直改为斜交，如图b，AB//CD，AD、BC相交于E，EF//AB交BD于F，则：（1）111+=SABCDEF是否成立？请给出证明或说明理由；（2）找出SVABD、SVBCD和SVEBD之间的关系，并给出证明。（二十三）三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。全国名校初高中数学优质衔接资料汇编（附详解）在三角形VABC中，有三条边AB,BC,CA和三个顶点A,B,C。角平分线、中线、高是三角形中的三种重要线段。三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心。三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点。例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1。已知D、E、F分别为VABC三边BC、CA、AB的中点，求证AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1。证明：连结DE，设AD、BE交于点G，QD、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且DE=1/2AB。由于VGDE∽VGAB，且相似比为1：2，AG=2GD，BG=2GE。设AD、CF交于点G'，同理可得，AG'=2G'D，CG'=2G'F，则G与G'重合，AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2:1。三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心。三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等。例2：已知VABC的三边长分别为BC=a，AC=b，AB=c，I为VABC的内心，且I在VABC的边BC、AC上的射影分别为D、E、F，求证：AE=AF=c/2。证明：作VABC的内切圆，则D、E、F分别为内切圆在三边上的切点，QA、QF为圆的从同一点作的两条切线，AE=AF。同理，BD=BF，CD=CE。则b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD=AF+AE=2AF=2AE，即AE=AF=c/2。例3：若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形。已知O为三角形ABC的重心和内心，求证三角形ABC为等边三角形。证明：连AO并延长交BC于D。由于O为三角形的内心，故AD平分∠BAC，AB/BD=AC/CD（角平分线性质定理）。由于O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC。则AB/AC=AB/BD×CD/AC=BD/CD=1，即AB=AC。同理可得，AB=BC，故VABC为等边三角形。三角形的垂心是指三角形三条高所在直线的交点。对于锐角三角形，垂心在三角形内部；对于直角三角形，垂心在直角顶点；对于钝角三角形，垂心在三角形外部。要证明三角形的三条高相交于一点，可以以其中任意两条高为直径作圆，证明第三条高也与该圆相交，进而证明三条高的交点在圆心上。例如，以垂足H和重心G为圆心作圆，证明两圆相交于A和B，进而证明垂线和中线交于H和G，即三条高相交于一点。如果三角形的垂心和重心重合，那么该三角形为正三角形。可以通过证明垂心和重心的距离等于重心和顶点的距离，进而证明三边相等，即为正三角形。对于等腰三角形，底边上的角平分线、中线和高线会合于一点，即内心、重心和垂心在一条直线上。在已知三角形ABC中，如果AB=AC=3，BC=2，则可以通过求出高BE和中线AD的长度，进而求出面积S。内切圆半径r可以通过海伦公式求得，外接圆半径R可以通过勾股定理和三角形面积公式求得。+h3不再等于h，因为此时三角形ABC不再完全包含点P。根据三角形外接圆的性质，点P到三边的距离分别等于半径，且半径不相等。因此，我们可以猜测h1,h2,h3之间存在某种关系，但无法直接证明。在等腰直角三角形RtABC中，由勾股定理可得3∠A=∠1+∠2，化简得3∠A=2(∠1+∠2)。在斜边AB上任取一点D，连接DE⊥CD于点E，BF⊥CD交CD的延长线于点F，CH⊥AB于点H，交AE于点G。要证明BD=CG。对于直线和圆的位置