解决导数类解答题常用的结论和技巧

解决导数类解答题常用的结论和技巧本文讨论了函数$f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^x-x$的单调性和零点个数。首先求出$f'(x)$，化简后得到$f'(x)=\frac{2e^{2x}+a-2}{ae^x-1}$。当$a\leqslant0$时，$f'(x)<0$恒成立，因此$f(x)$在整个实数轴上都是单调递减的。当$a>0$时，令$f'(x)=0$，解得$x=\ln\frac{1}{a-2}$。根据$f'(x)$的符号变化，可以得到$f(x)$在$(-\infty,\ln\frac{1}{a-2})$上单调递减，在$(\ln\frac{1}{a-2},+\infty)$上单调递增。接下来考虑$f(x)$的零点个数。设$f(x)$在$x_1$和$x_2$处为零，且$x_1<x_2$。由于$f(x)$在$(-\infty,\ln\frac{1}{a-2})$上单调递减，在$(\ln\frac{1}{a-2},+\infty)$上单调递增，因此$f(x)$在$(-\infty,x_1)$和$(x_2,+\infty)$上分别恒大于零和小于零，且在$(x_1,x_2)$上恒小于零。因此，为了使$f(x)$有两个零点，必须满足$f(x)\min<0$，即$a>\frac{1}{e^{\ln\frac{1}{a-2}}+e^{2\ln\frac{1}{a-2}}-2}$。化简后得到$a\in(0,1)$。最后，需要证明当$a\in(0,1)$时，$f(x)$有且仅有两个零点。先证明当$x>0$时，$x>\lnx$。构造函数$h(x)=x-\lnx$，求导得$h'(x)=1-\frac{1}{x}$，因此$h(x)$在$x>1$时单调递增，且$h(1)=0$。因此，$h(x)>0$当且仅当$x>1$。由于$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，因此$f(x)$在$(0,\ln\frac{1}{a-2})$和$(\ln\frac{1}{a-2},+\infty)$上各有一个零点。综上，$f(x)$在$a\in(0,1)$时有且仅有两个零点。常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩可以将lnx放缩成一次函数：lnx≤x-1，lnx<x，ln(1+x)≤x也可以将lnx放缩成双撇函数：lnx<1/(2x)(0<x<1)，x-lnx>1(x>1)，lnx>x-1(1<x)lnx还可以放缩成二次函数：lnx≤x-x^2/2(x>0)，ln(1+x)≤x-x^2(x>-1)最后，lnx还可以放缩成类反比例函数：lnx≥1-1/(2(x-1)^2)(x>1)，lnx>x-1(0<x<1)，lnx<0(x≤0)第二组：指数放缩可以将e^x放缩成一次函数：e^x≥x+1(x≤0)，e^x>x(x>0)，e^x≥e^x(任意x)也可以将e^x放缩成二次函数：e^x≥1+x+x^2/2(任意x)，e^x≥1+x+x^2+x^3/3!(任意x)最后，e^x还可以放缩成类反比例函数：e^x≤x/(1-x)(0<x<1)，e^x≥1/(1-x)(x>1)第三组：指对放缩ex-lnx≥2(任意x)第四组：三角函数放缩sinx<x<tanx(x>0)，sinx≥x-x^2(任意x)，1-x^2≤cosx≤1-sin^2x(任意x)第五组：以直线y=x-1为切线的函数y=lnx，y=ex-1-1，y=x^2-x，y=1-1/x，y=xlnx几个经典函数模型经典模型一：y=lnx/x或y=xlnx【例1】讨论函数f(x)=lnx-ax的零点个数。(1)当a>1/e时，f(x)无零点。证明：f'(x)=1/x-a，令其等于0得x=1/a，此时f(x)取得最小值f(1/a)=ln(1/a)-a<0。因为e^(ln(1/a)-a)=1/a*e^(-a)<1，所以f(x)在x>0时均小于0，因此无零点。(2)当a=1/e时，f(x)有一个零点x=e。证明：f'(x)=1/x-1/e，令其等于0得x=e，此时f(x)=0。(3)当0<a<1/e时，f(x)有两个零点。证明：先证明f(1)<0。因为f(1)=ln(1)-a=-a<0，所以f(x)在x=1处取得负值。又因为f(x)在x=0处趋于无穷大，所以f(x)在x=0附近有一个零点。又因为f(x)在x=e处取得最小值，所以f(x)在(0,e)和(e,+∞)两个区间内各有一个零点。(4)当a≤0时，f(x)有一个零点x=1。证明：f(1)=ln(1)-a=-a<0，所以f(x)在x=1处取得正值。又因为f(x)在x=0处趋于无穷大，所以f(x)在x=0附近有一个零点。又因为f(x)在x=e处取得最小值，所以f(x)在(e,+∞)区间内没有零点。因此，f(x)只有一个零点x=1。讨论函数f(x)=lnx-a/x的零点个数。（1）a>0时，有一个零点。f'(x)=1/x+a/x^2>0，f(x)单调递增。当x趋近于0时，f(x)趋近于负无穷，当x趋近于正无穷时，f(x)趋近于正无穷，因此在(0,正无穷)上有一个零点。（2）a=0时，无零点。f(x)=lnx恒成立。（3）a<0时，有两个零点。f(x)在(0,-a)上单调递增，在(-a,正无穷)上单调递减。且f(-a)=0，因此在(0,-a)和(-a,正无穷)上各有一个零点。给定函数$f(x)=\lnx-\frac{1}{2x}$，其中$x>0$。1.$f(x)$单调递增。2.当$a=0$时，$f(x)$有一个零点$x=1$。3.当$a<0$时，$f(x)$无零点。4.当$a=-1$时，$f(x)$有一个零点。5.当$-1<a<0$时，$f(x)$有两个零点。变式：1.讨论$f(x)=\lnx-a\