材料力学 第5章 扭转

第五章扭转1材料力学第5章扭转5.1扭转的概念及实例扭转试验2材料力学第5章扭转5.1扭转的概念及实例ABA'B'jgMeMe荷载特征：一对转向相反、位于垂直杆轴线的两平面内（横截面）的力偶；变形特征：杆件的任意两个横截面将绕杆轴线发生相对转动，而杆的轴线仍保持直线。——扭转角——剪切角3材料力学第5章扭转扭转的实例汽车的转向操纵杆传动轴钥匙拧毛巾等轴：以扭转变形为主的杆件。4材料力学第5章扭转5.2.1外力偶矩的计算输入功率：P(kW)Me每秒输入功：每秒Me

作功：注意单位对传动轴等扭转构件，通常已知输入功率P（kW）和转速n(rpm),要求扭矩，先要求出外力偶矩Me转速：n(转/分)5材料力学第5章扭转5.2.2扭矩和扭矩图1、扭矩的概念扭转变形的杆往往称之为扭转轴；扭转轴的内力称为扭矩2、扭矩的计算——截面法MeTMeMeT——扭矩，单位：N·m6材料力学第5章扭转5.2.2

扭矩和扭矩图3、扭矩正负号的规定确定扭矩方向的右手螺旋法则：大拇指指向截面的外法线方向，4个手指的指向为该截面上扭矩的正方向。外法线方向T>0外法线方向T<07材料力学第5章扭转5.2.2

扭矩和扭矩图4、扭矩图——扭转变形的内力图扭矩图的作图步骤：扭矩图的注意事项：①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；②画纵坐标，“正在上，负在下”；③标注正负号、值的大小及图形名称。①多力偶作用时要分段求解，一律先假定为正方向；②基线‖轴线，“正在上，负在下”，比例一致，封闭图形③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力值的大小，不带正负号；④阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。8材料力学第5章扭转例题：477.5N·m955N·m解：先计算外力偶矩用直接法作扭矩图Tmax=955N·mBCADMBeMCeMDeMAe637N·m例5-1：已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别为15、15、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。+－T图9材料力学第5章扭转一、薄壁圆管扭转时的应力1、实验将一薄壁圆管表面用纵向平行线和圆周线划分两端施以大小相等方向相反一对力偶矩观察到：#圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变#纵向平行线都倾斜了一个角度，变成螺旋线，仍保持相互平行Me5.3纯剪切10材料力学第5章扭转5.3纯剪切1、圆筒任意两横截面之间相对转动的角位移，称为扭转角，用

表示。2、纵线倾斜的角度，即圆筒表面上每个格子的直角的改变量，称为剪应变。用

表示。MeMe11材料力学第5章扭转5.3纯剪切取其中任意一个格子ABCD作为研究对象MeMeABCDA'B'C'D'变形后，ABCD由原来的矩形变成了平行四边形A'B'C'D'dxtABCD

C'D'所以，横截面上有剪应力的存在，而无正应力存在。12材料力学第5章扭转5.3纯剪切MeMe1、横截面之间相对转动了一个角度，横截面上只有剪应力，没有正应力；结论：2、剪应力的方向垂直于半径。13材料力学第5章扭转5.3纯剪切采用截面法将圆筒截开，横截面上有扭矩T由于壁很薄，可以假设剪应力沿壁厚均匀分布从中取出一块微面积dA，MeTTdA设壁厚为t，平均半径为R，则则微面积dA上的合力为：t——壁厚R——平均半径2、薄壁圆筒横截面剪应力的计算14材料力学第5章扭转5.3纯剪切t—壁厚R—平均半径注意：T1、薄壁圆管扭转时横截面上只有剪应力，没有正应力；2、剪应力沿壁厚均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致;3、注意此公式的前提是薄壁圆管的扭转剪应力公式。15材料力学第5章扭转xydydzabdzdxc在单元体左、右面（杆的横截面）上只有剪应力，如图建立坐标系，剪应力方向与y

轴平行。可知，两侧面的内力元素

xdydz大小相等，方向相反，将组成一个力偶。其矩为：由平衡方程二、剪应力互等定理(

xdydz)dx5.3纯剪切16材料力学第5章扭转5.3纯剪切xydydzabdzdxc要满足平衡方程，在单元体上下两个截面上必然也有力的存在，并且组成一个力偶。其矩为：(

ydxdz)dy由平衡条件，有：(

xdydz)dx＝(

ydxdz)dy

x

＝y17材料力学第5章扭转5.3纯剪切xydydzabdzdxc剪应力互等定理：单元体两个相互垂直的平面上，垂至于两平面交线的剪应力总是同时存在，且大小相等，都指相（或都背离）两平面的交线。纯剪应力状态：单元体平面上只有剪应力而无正应力，则称该单元体为纯剪应力状态。18材料力学第5章扭转5.3纯剪切当剪应力不超过材料的剪切弹性极限时，剪应力与剪应变之间成正比关系，这个关系称为剪切胡克定律。G称为剪切弹性模量，单位GPa三、剪切胡克定律在剪应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量

称为剪应变。时19材料力学第5章扭转思考题α剪应变为剪应变为0

指出下面图形的剪应变20材料力学第5章扭转5.4

圆轴扭转时的应力和变形t——壁厚R——平均半径前面推导得到：薄壁圆筒横截面剪应力与扭矩之间的关系：T剪应力沿壁厚均匀分布21材料力学第5章扭转5.4

圆轴扭转时的应力和变形1、整个横截面上只有剪应力，没有正应力;1、实验平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面（形状和大小都不改变）MeMe一、圆截面杆受扭时横截面上的应力结论：2、剪应力的方向垂直于半径。22材料力学第5章扭转MeMe5.4

圆轴扭转时的应力和变形dx2、剪应力的公式推导分别从几何、物理和静力平衡三方面推导aab1dxb几何方面3242'3'从受扭圆杆内任取长为dx的微段，a、b两个横截面相对转动了角度，横截面圆周上任一点1处的剪应变是abab23材料力学第5章扭转5.4

圆轴扭转时的应力和变形再从该微段中取出微元1234O1O2作为研究对象。aab1dxb3242'3'13242'3'Rρ在离轴线任意距离ρ处的剪应变为γρ，则：mm'dx24材料力学第5章扭转5.4

圆轴扭转时的应力和变形13242'3'Rρ离轴线任意距离ρ处的剪应变为:则说明：同一半径圆周上各点剪应变

均相同，且其值与成正比。mm'dx称为单位长度上的扭转角（扭率），在同一横截面上为常数。25材料力学第5章扭转5.4

圆轴扭转时的应力和变形由剪切胡克定律：同一圆周上各点剪应力

均相同，且其值与成正比，

垂直与半径。13242'3'Rρmdx物理方面26材料力学第5章扭转5.4

圆轴扭转时的应力和变形整个横截面上的内力元素

的合力必等于零，并组成一个力偶，这就是横截面上的扭矩。RoTdAdA静力平衡方面(极惯性矩)令:27材料力学第5章扭转5.4

圆轴扭转时的应力和变形离轴线任意距离ρ处的剪应变为：圆轴扭转时横截面上的剪应力计算公式:几何方面物理方面静力平衡方面(极惯性矩)圆截面杆受扭时横截面上的剪应力：28材料力学第5章扭转5.4

圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时横截面上的剪应力:T为横截面上的扭矩；为求应力的点到圆心的距离TττTττ剪应力垂直于半径，指向与T的转向一致；剪应力沿直径呈直线分布，横截面周边各点处剪应力达到最大值，圆心处剪应力为零。令Wt：扭转截面系数，单位m3注意：此公式及分布规律对于实心和空心圆截面杆均适用。29材料力学第5章扭转5.4

圆轴扭转时的应力和变形空心、实心圆轴扭转时横截面上的剪应力2、当内径与外径之比d/D≥0.9时，空心圆截面杆的剪应力计算可采用薄壁圆管的应力公式。薄壁圆管扭转时横截面上的剪应力圆截面杆受扭时横截面上的应力注意：1、扭转变形时横截面上只有剪应力，没有正应力。t——壁厚R——平均半径

——求应力点的半径

——极惯性矩30材料力学第5章扭转5.4

圆轴扭转时的应力和变形——抗扭刚度扭率：扭率（单位长度上的扭转角）描述了扭转变形的程度扭转角：单位：rad二、扭转变形当在杆两截面之间的扭矩T不变，且两截面间为等截面的：当在杆长L内扭率分段为常数时，用求和公式31材料力学第5章扭转5.4

圆轴扭转时的应力和变形例5-2传动轴AB传递的功率P=7.5kW，转速n=360rpm。轴的AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知D=30mm，d=20mm。计算AC段横截面边缘处的剪应力，以及CB段横截面外边缘和内边缘处的剪应力。32材料力学第5章扭转5.4

圆轴扭转时的应力和变形解：1、计算扭矩：2、计算极惯性矩：3、计算剪应力：计算扭矩先计算外力偶矩：33材料力学第5章扭转5.4

圆轴扭转时的应力和变形例5-3传动轴如图，作用在轴上的外力偶矩m1=1000N·m，m2=700N·m，m3=300N·m，轴的直径d=50mm，l1=l2=1.5m，材料的剪切弹性模量G=80GPa，求截面B相对于截面A的扭转角。34材料力学第5章扭转5.4

圆轴扭转时的应力和变形解：1、计算扭矩：2、计算相对扭转角：截面B相对于截面A的扭转角为：当扭矩不一样时，画出扭矩图：35材料力学第5章扭转5.5

圆轴扭转时的强度和刚度计算强度条件的应用:强度条件：对于等截面杆，扭转轴内最大剪应力发生在扭矩最大的截面的圆周上（1）校核强度:（2）设计截面:（3）确定荷载:先求许用扭矩，再由扭矩和荷载之间的关系确定荷载36材料力学第5章扭转5.5

圆轴扭转时的强度和刚度计算以度每米为单位时：以弧度每米为单位时：刚度条件：当在杆两截面之间的扭矩T不变，且两截面间为等截面的扭转角：37材料力学第5章扭转5.5

圆轴扭转时的强度和刚度计算刚度条件的应用：（3）确定荷载（1）校核刚度（2）设计截面38材料力学第5章扭转5.5

圆轴扭转时的强度和刚度计算例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。解：39材料力学第5章扭转5.5

圆轴扭转时的强度和刚度计算例：某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩m=1.5kN·m,传动轴用外径D=90mm、壁厚t=2.5mm，材料为45号钢，钢管做成。[]=60MPa。试求：

1、校核此轴的强度；

2、若采用实心圆轴，并使其与钢管的强度相同，设计其直径。40材料力学第5章扭转5.5

圆轴扭转时的强度和刚度计算解：1、计算抗扭截面模量：2、强度校核：3、要使强度相同，即满足最大剪应力相同：若两轴长度相等，材料相同，则两轴的重量之比：41材料力学第5章扭转5.5

圆轴扭转时的强度和刚度计算例：已知A轮输入功率为48kW，B、C、D轮输出功率分别为18、15、15kW，轴的转速为300r/min，G=80GPa，[τ]＝

60MPa，[θ]=0.85(度/m)。试设计该轴直径。BACDMBeMAeMDeMCe42材料力学第5章扭转5.5

圆轴扭转时的强度和刚度计算解：1、先计算外力偶矩:BACDMBeMAeMDeMCe2、采用截面法作出扭矩图:由扭矩图可知：危险截面是AC段中的任意一个截面。43材料力学第5章扭转5.5

圆轴扭转时的强度和刚度计算3、设计轴的直径:由强度条件:由刚度条件:为了同时满足强度和刚度条件，选定可见此传动轴的控制因素为刚度条件。44材料力学第5章扭转5.5

圆轴扭转时的强度和刚度计算例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的

倍？圆轴的扭转角是原来的

倍？81645材料力学第5章扭转5.5

圆轴扭转时的强度和刚度计算例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴的直径为d1

，由得：0.80.81.1920.80.51246材料力学第5章扭转5.6

扭转静不定问题ABC