材料力学第六章 强度计算

主要内容第一章绪论第二章内力及内力图第四章应力和变形第三章

截面的几何参数第五章应力状态分析材料力学_1_1主要内容第六章强度计算第七章刚度计算第九章能量法和简单超静定问题第八章轴心压杆的稳定性计算第十章动荷载作用下的动应力计算材料力学_1_1§6-1材料拉压时的力学性质力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学性能一试件和实验条件常温、静载材料力学_1_1材料拉伸时的力学性质材料力学_1_1

材料拉伸时的力学性质二低碳钢的拉伸材料力学_1_1材料拉伸时的力学性质二低碳钢的拉伸（含碳量0.3%以下）明显的四个阶段1、弹性阶段ob比例极限弹性极限2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）屈服极限3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）强度极限4、局部径缩阶段ef材料力学_1_1材料拉伸时的力学性质二低碳钢的拉伸（含碳量0.3%以下）两个塑性指标断后伸长率断面收缩率为塑性材料为脆性材料低碳钢的为塑性材料材料力学_1_1材料拉伸时的力学性质三卸载定律及冷作硬化1、弹性范围内卸载、再加载2、过弹性范围卸载、再加载

即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，这就是卸载定律。d点卸载后，弹性应变消失，遗留下塑性应变。d点的应变包括两部分。d点卸载后，短期内再加载，应力应变关系沿卸载时的斜直线变化。

材料的应力应变关系服从胡克定律，即比例极限增高，伸长率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。材料力学_1_1材料拉伸时的力学性质四其它材料拉伸时的力学性质对于没有明显屈服阶段的塑性材料国标规定：可以将产生0.2%塑性应变时的应力作为屈服指标。并用σp0.2来表示。材料力学_1_1

材料拉伸时的力学性质四其它材料拉伸时的力学性质

对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。σbt—拉伸强度极限（约为140MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。材料力学_1_1

材料压缩时的力学性质一试件和实验条件常温、静载材料力学_1_1材料压缩时的力学性质二塑性材料（低碳钢）的压缩屈服极限比例极限弹性极限

拉压在屈服阶段以前完全相同。E---弹性摸量材料力学_1_1材料压缩时的力学性质三脆性材料（铸铁）的压缩脆性材料的抗拉与抗压性质完全不同

对于脆性材料（铸铁），压缩时的应力应变曲线为微弯的曲线，试件压断前。出现明显的屈服现象（鼓形），并沿着与轴线45—55度的斜面压断。σbc—压缩强度极限（约为800MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）压缩的唯一强度指标。远大于拉伸时的强度极限材料力学_1_1

其他材料拉伸时力学性能

塑性材料

共同点：延伸率

较大

脆性材料

割线弹性模量衡量指标:

强度极限

b名义屈服极限

0.2：对应

s=0.2%时应力材料力学_1_1

两种材料力学性能的比较强度方面塑性材料:屈服前抗拉和抗压性能基本相同，有屈服现象脆性材料:抗压强度高于抗拉强度，无屈服现象变形方面塑性材料:延伸率

和截面收缩率

较大，塑性好脆性材料:

和

较小，塑性差材料力学_1_1一、材料的破坏形式

无数实验证明，材料的破坏主要有两种形式：a．脆性断裂——材料破坏时无明显的塑性变形，断口粗糙。脆性断裂是由拉应力所引起的。例如：铸铁试件在简单拉伸时沿横截面被拉断；铸铁试件受扭时沿方向破裂破裂面就是最大拉应力作用面。6.2

材料的破坏和强度理论材料力学_1_1b．塑性流动（剪切型）——材料有显著的塑性变形（即屈服现象），最大剪应力作用面间相互平行滑移使构件丧失了正常工作的能力。塑性流动主要是由剪应力所引起的。例如：低碳钢试件在简单拉伸时与轴线成方向上出现滑移线就属这类形式。按破坏方向可分为断裂破坏（沿法向）和剪切破坏（沿切向）材料力学_1_1

长期以来，人们根据对材料破坏现象的分析，提出过各种各样的假说，认为材料的某一类型的破坏是由某种因素引起的，这种假说就称为强度理论。比如铸铁，其拉伸试样是沿横截面断裂的，扭转圆试样则沿斜截面断裂，两者都是在无明显变形的情况下发生脆性断裂而破坏的。又如低碳试样受拉伸和压缩时，通常会有显著的塑性变形，当构件变形过大时，就失去了正常工作和承载能力。二、强度理论

材料力学_1_1

对于低碳钢这类塑性材料，其拉伸和压缩试样都会发生显著的塑性变形，有时并会发生屈服现象，构件也因之而失去正常工作能力，变得失效。由是观之，材料破坏按其物理本质而言，可分为脆断破坏和屈服失效两种类型。同一种材料在不同的应力（受力）状态下，可能发生不同类型的破坏。如有槽和无槽低碳钢圆试样；圆柱形大理石试样有侧压和无侧压下受压破坏。材料力学_1_1四种常用的强度理论（一）关于脆性断裂的强度理论1．第一强度理论（最大拉应力理论）

这一理论认为最大拉应力是引起材料脆性断裂破坏的主要因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态，只要最大拉应力达到材料在单向拉伸时断裂破坏的极限应力，就会发生脆性断裂破坏。

实践证明，该理论适合脆性材料在单向、二向或三向受拉的情况。此理论不足之处是没有考虑其它二个主应力对材料破坏的影响。材料力学_1_12．第二强度理论（最大伸长线应变理论）

这一理论认为最大伸长线应变是引起材料脆性断裂破坏的主要因素，即材料在复杂应力状态下，当最大伸长线应变ε1达到单向拉伸断裂时的最大拉应变时，材料就发生断裂破坏。材料力学_1_1

该理论能很好地解释石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时沿横向（裂纹呈竖向）发生断裂破坏的现象。铸铁在，且的情况下，试验结果也与该理论的计算结果相近。材料力学_1_1

按照此理论，铸铁在二向拉伸时应比单向拉伸时更安全，这与试验结果不符。同样此理论也不能解释三向均匀受压时，材料不易破坏这一现象。材料力学_1_1（二）关于塑性流动的强度理论1．第三强度理论（最大剪应力理论）

这一理论认为最大剪应力是引起材料塑性流动破坏的主要因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态，只要构件危险点处的最大剪应力达到材料在单向拉伸屈服时的极限剪应力就会发生塑性流动破坏。

这一理论能较好的解释塑性材料出现的塑性流动现象。在工程中被广泛使用。但此理论忽略了中间生应力的影响，且对三向均匀受拉时，塑性材料也会发生脆性断裂破坏的事实无法解释。材料力学_1_12．第四强度理论（形状改变比能理论）

这一理论认为形状改变比能是引起材料塑性流动破坏的主要因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态。只要构件危险点处的形状改变比能，达到材料在单向拉伸屈服时的形状改变比能，就会发生塑性流动破坏。

这一理论较全面地考虑了各个主应力对强度的影响。试验结果也与该理论的计算结果基本相符，它比第三强度理论更接近实际情况。材料力学_1_1三、强度理论的选用

1．相当应力

四个强度理论可用如下统一的形式表达：

式（11-5）中的称为相当应力。四个强度理论的相当应力分别为：材料力学_1_12．强度理论的选用

对于强度理论的选用，须视材料，应力状态而异，一般说，脆性材料（如铸铁、石料、混凝土等）在通常情况下以断裂的形式破坏，所以宜采用第一和第二强度理论。塑性材料（如低碳钢、铜、铝等）在通常情况下以流动的形式破坏，所以宜采用第三和第四强度理论。

必须指出，即使是同一材料，在不同的应力状态下也可以有不同的破坏形式。如铸铁在单向受拉时以断裂的形式破坏。而在三向受压的应力状态下，脆性材料也会发生塑性流动破坏。又如低碳钢这类塑性材料，在三向拉伸应力状态下会发生脆性断裂破坏。材料力学_1_1§6-3构件的强度条件安全系数和许用应力要使构件有足够的强度工作应力应小于材料破坏时的极限应力工作应力

为了保证构件的正常工作和安全，必须使构件有必要的强度储备。即工作应力应小于材料破坏时的极限应力的若干分之一。n—安全系数是大于1的数，其值由设计规范规定。把极限应力除以安全系数称作许用应力。极限应力塑性材料脆性材料塑性材料的许用应力ns塑性材料的安全系数脆性材料的许用应力nb脆性材料的安全系数材料力学_1_1§6-4轴向拉伸或压缩时的强度计算轴向拉压杆内的最大正应力:强度条件：式中： 称为最大工作应力 称为材料的许用应力材料力学_1_1 根据上述强度条件，可以进行三种类型的强度计算：一、校核杆的强度 已知Nmax、A、[σ]，验算构件是否满足强度条件二、设计截面 已知Nmax、[σ],根据强度条件，求A三、确定许可载荷 已知A、[σ]，根据强度条件,求Nmax材料力学_1_1例1：一直径d=14mm的圆杆，许用应力[σ]=170MPa，受轴向拉力P=2.5kN作用，试校核此杆是否满足强度条件。解：满足强度条件。材料力学_1_1

例2：图示三角形托架,其杆AB是由两根等边角钢组成。已知P=75kN,[σ]=160MPa,试选择等边角钢的型号。材料力学_1_1解：材料力学_1_1

例2：图示起重机，钢丝绳AB的直径d=24mm，[σ]=40MPa，试求该起重机容许吊起的最大荷载P。CL2TU8材料力学_1_1解：材料力学_1_16.5圆轴扭转时的强度计算

圆轴扭转时的强度计算最大剪应力：圆截面边缘各点处—抗扭截面模量

多个力偶作用:

各段扭矩值不同，轴的最大剪应力发生在最大扭矩所在截面的圆周上各点处

材料力学_1_1强度条件强度计算对圆轴进行强度校核；已知材料、圆截面尺寸时，确定圆轴所能随的最大容许荷载[T]≤[Wp][

]；已知荷载、材料时确定圆轴直径。[

]–扭转时材料容许剪应力塑性材料：[

]=(0.5~0.6)[

]

脆性材料：[

]=(0.8~1.0)[

]

材料力学_1_16.6

梁的强度计算

最大正应力危险截面:最大弯矩所在截面Mmax危险点：距中性轴最远边缘点ymax令Iz/ymax=Wz,则

max=Mmax/WzWz—抗弯截面模量矩形截面:Wz=bh2/6,Wy=hb2/6圆形截面:Wz=Wy=D3/32正方形截面:Wz=Wy=a3/6材料力学_1_1

正应力强度条件[

]—材料的容许应力

矩形和工字形截面梁正应力

max=M/WzWz=Iz/(h/2)

特点：

max+=

max-

T形截面梁的正应力

max+

=M/W1W1

=Iz/

y1

max-

=M/W2W2

=Iz/

y2

特点：

max+

max-材料力学_1_1

正应力强度计算校核强度:截面设计:确定许可荷载:材料力学_1_1

梁的剪应力强度校核剪应力计算公式

剪应力强度条件[

]

—材料弯曲时容许剪应力Qmax—梁内最大剪力Sz*—面积A对中性轴静矩Iz—截面惯性矩b—截面宽度或腹板厚度材料力学_1_1设计梁时必须同时满足正应力和剪应力的强度条件。对细长梁，弯曲正应力强度条件是主要的，一般按正应力强度条件设计，不需要校核剪应力强度，只有在个别特殊情况下才需要校核剪应力强度。材料力学_1_1

弯曲强度计算的步骤

画出梁的剪力图和弯矩图,确定|Q|max和|M|max及其所在截面的位置，即确定危险截面。注意两者不一定在同一截面；根据截面上的应力分布规律，判断危险截面上的危险点的位置，分别计算危险点的应力，即

max和

max（二者不一定在同一截面，更不在同一点）；对

max和

max分别采用正应力强度条件和剪应力强度条件进行强度计算，即满足

max

,

max

材料力学_1_1

采用合理截面形状原则：当面积A一定时,尽可能增大截面的高度,并将较多的材料布置在远离中性轴的地方,以得到较大的抗弯截面模量(附图);

可以用比值Wz/A说明,比值越大越合理.

直径为h圆形截面:Wz/A=(h3/32)/(h2/4)=0.125h

高为h宽为b矩形截面:Wz/A=(bh2/6)/bh=0.167h

高为h槽形及工字形截面:Wz/A=(0.27~0.31)h可见,工字形、槽形截面比矩形合理,圆形截面最差。材料力学_1_1

合理安排梁的支座和荷载目的:减小梁的最大弯矩外伸梁和简支梁的比较:材料力学_1_1

采用变截面梁目的:节省材料和减轻自重理想情况:变截面梁各横截面上最大正应力相等等强度梁:W(x)=M(x)/[

]=Px/[

]=bh2(x)/6材料力学_1_1

例题3

图示简支工字钢梁，材料许用应力为。试按强度选择工字钢型号。材料力学_1_1

解：1）绘制Q、M图，选择危险截面C，D2）按第一强度理论初步选定截面型号：由得选用28a号工字钢，W=5083）按其它强度理论进行校核：

I）第三强度理论：材料力学_1_1I）第三强度理论：满足。II）腹板与翼缘交界处的强度校核：正应力剪应力材料力学_1_1

求得分别为：179.5,0,-68.0Mpa。按第三强度理论：按第四强度理论：均远大于许用应力。应加大截面选28b号工字钢。仿造上述方法计算后可知，满足强度要求。材料力学_1_1

组合变形的强度计算方法叠加法计算条件：弹性、小变形分析步骤

将杆件组合变形分解为基本变形;计算每一种基本变形情况下产生的应力和变形;将同一点应力叠加,得到杆件在组合变形下任一点的应力和变形。注：应力的叠加是指一点处同类应力的叠加。6.7组合变形强度计算材料力学_1_1最大正应力和强度条件危险点确定:危险截面边缘的角点处强度条件最大正应力令：Iz/ymax=Wz，Iy/zmax=Wy

强度条件为：或：Mmax=Pl6.7组合变形强度计算材料力学_1_1

强度计算1.校核强度：如[

+]

[

-]