2019北京陈经纶中学初三（上）期中数学试卷含答案

2019北京陈经纶中学初三（上）期中

数学

一.选择题（共8小题）

1.下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

AScTTDOO

2.把抛物线y=/向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）

A.y=(x+lp+2B.y=(x-1)'+2

C.y=(x+l)2-2D.y=-2

3.如图，四边形ABCD内接于OO,E为CD延长线上一点，如果NADE=120。，那么NB等于（)

4.二次函数y=ov2+6x+c的图象如图所示，则下列结论正确是（）

A.<7>0,b>0,c>0B.a<0,bVO,c<0

C.a<0fb>0,c<0D.a>0,bVO,c>0

5.半径为7的圆，其圆心在坐标原点，则下列各点在圆外的是（）

A.(3,4)B.(4,4)C.(4,5)D.(4,6)

6.如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE,则下列角中不是旋转角的为（)

A.ZBOFB.ZAODC.ZCOED.ZCOF

7.《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道

长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，8为O。的直径，弦A8LOC于E，石。=1寸，

A5=10寸，求直径CO的长.”则8=

A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸

8.如图，Rt^ABC中，AC=BC=2,正方形CDEF顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的

长度为x,ZXABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是()

D.(D)

填空题(共8小题)

9.请写出一个开口向上，且对称轴为直线x=3的二次函数解析式.

10.点M(1,-2)关于原点对称点的坐标是.

11.如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35。，得到VA'8'C,43'交AC于点。，若NA'OC=90°,则/

A=0

12.颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为

中国四大名园.该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是米2.

13.如图，抛物线y=o?与直线y=的两个交点坐标分别为A(—2,4),则关于x的方程

ax2-bx-c=0的解为

14.如图，PA、PB是。。的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C,若NAPB=60。，PC=6,则AC的长为

在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题:

尺规作图：过圆外一点作圆的切线.

已知：尸为。。外一点.

求作：经过点尸的。。的切线.

小敏的作法如下:

如图,

(1)连接0P,作线段0P的垂直平分线MN交0P于点C；

(2)以点C为圆心，C。的长为半径作圆，交。。于A,B两点;

(3)作直线PA,PB.所以直线PA,PB就是所求作的切线.

老师认为小敏的作法正确.

请回答：连接0A,08后，可证NO4P=NOBP=90。，其依据是；由此可证明直线PA,PB都是。。的切

线，其依据是,

16.如图，在平面直角坐标系中，将正方形0LBC绕点。逆时针旋转45°后得到正方形OAgG，依此方式，绕点

。连续旋转2019次得到正方形。1201952019c2019,如果点A的坐标为(1,0),那么点8刈9的坐标为

三.解答题(共12小题)

17.已知：二次函数图象如图所示，求这个二次函数的表达式.

18.已知二次函数>=炉-6x+8.

(1)将-6x+8化成y=a(x-〃)2+k的形式;

(2)画出这个二次函数的图象；

(3)当0白*时・，y的取值范围是.

109-

8

7

6

5

4

3

2

1

_12345678910X

19.如图，A,。是半圆上的两点，。为圆心，8c是直径，ZD=35°,求NOAC的度数.

20.如图，在平面直角坐标系中，AAOB的三个顶点坐标分别为A(1,0),O(0,0),B(2,2).以点。为旋

转中心，将△AOS逆时针旋转90。，得到△AIOBI.

(1)画出△A。©；

(2)直接写出点4和点⑤的坐标;

(3)求线段的长度.

21.一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片，文物学家希望能把此件文物进行复原，因此把残片抽象成了

一个弓形，如图所示，经过测量得到弓形高CD=g米，ZCAD=300,请你帮助文物学家完成下面两项工作:

（1）作出此文物轮廓圆心0的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）求出弓形所在圆的半径.

22.如图，在等边△ABC中，点。是A3边上一点，连接CO,将线段CO绕点。按顺时针方向旋转60。后得到

CE,连接AE.求证:AE//3C.

23.如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中曲线是抛物线的一部分，要裁出一个等边三角形，使其一个顶点与抛

物线的顶点重合，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长（结果精确到0］，73«1.732）•

24.如图，割线ABC与。。相交于8、C两点，。为。。上一点，E为弧8C的中点，0E交BC于F,OE交AC于

G,ZADG=ZAGD.

(1)求证明：A。是。。的切线；

(2)若NA=60。，。。的半径为4,求的长.

25.吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y=-——的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究

x-4x+5

过程补充完整

(1)该函数的自变量x的取值范围是

(2)列表：

X-2-10123456

_5_5_

m-1-5n-1

y~2~2~~n

表中m=,n=.

(3)描点、连线

在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点(其中x为横坐标，y

①______

②______

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线产--/+1的对称轴是直线x=\.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点。(〃，、)，E(3,”)在抛物线上，若yi<”，请直接写出”的取值范围;

(3)设点M(p,q)为抛物线上一个动点，当-l<p<2时，点M关于)，轴的对称点都在直线产履-4的上

方，求々的取值范围.

27.已知：在△ABC中，N8AC=90。，AB=AC.

(1)如图1,将线段AC绕点A逆时针旋转60。得到A。，连结C£>、BD,/8AC的平分线交3。于点E,连结

CE.

①求证：/AED=NCED；

②用等式表示线段AE、CE、8。之间的数量关系(直接写出结果)；

(2)在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60。得到AQ,连结C。、BD,/BAC的平分线交8。的延长线于

点、E,连结CE.请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、之间的数量关系，并证明.

28.定义：把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆

如图，抛物线丫=炉-复-3与》轴交于点4B,与y轴交于点。，以A8为直径，在x轴上方作半圆交y轴于点

C,半圆的圆心记为M,此时这个半圆与这条抛物线x轴下方部分组成的图形就称为“蛋圆

(1)直接写出点4,B,C的坐标及“蛋圆”弦CD的长；

A,B,C,CD=；

(2)如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

①求经过点C的“蛋圆”切线的解析式；

②求经过点D“蛋圆”切线的解析式；

(3)由(2)求得过点。的“蛋圆”切线与x轴交点记为E,点F是“蛋圆”上一动点，试问是否存在SASE=SACDF,

若存在请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)点尸是“蛋圆”外一点，且满足NBPC=60。，当8户最大时，请直接写出点P的坐标.

备用图

参考答案

选择题(共8小题)

1.下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()

AScTTDOO

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可判断.

【详解】A既不是轴对称图形也不是中心对称图形；

B是中心对称图形，但不是轴对称图形；

C是轴对称图形，但不是中心对称图形；

D既是轴对称图形，又是中心对称图形，

故选D.

【点睛】此题主要考察轴对称图形与中心对称图形的定义，熟知其定义是解题的关键.

2.把抛物线y=/向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为()

A.y=(jr+1)~+2B.y=(x-1)"+2

C.y=(x+l)2-2D.y=(x-l)2-2

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.

【详解】解：把抛物线y=d向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：.=(X+1)2-2.

故选：C.

【点睛】此题考查了抛物线的平移，属于基本题型，熟知抛物线的平移规律是解答的关键.

3.如图，四边形ABCD内接于。0,E为CD延长线上一点，如果NADE=120。，那么NB等于()

A.130°B.120°C.80°D.60°

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：..•四边形ABCD内接于。O,.••NB=/ADE=120。.故选B.

考点：圆内接四边形的性质.

4.二次函数），=加+历汁<:的图象如图所示，则下列结论正确是（)

A.a>0,b>0,c>0B.a<0,b<0,c<0

C.<2<0,h>0,c<0D.i?>0,b<0,c>0

【答案】D

【解析】

【分析】首先根据二次函数图象的开口方向确定“VO,再根据对称轴在y轴右，可确定。与6异号，然后再根据二

次函数与y轴的交点可以确定c>0.

【详解】解：；抛物线开口向上，

Aa>0,

•.•对称轴在y轴右侧，

；.a与b异号，

.♦.bVO,

•••抛物线与y轴交于正半轴，

/.c>0,

故选D.

【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a知），

①二次项系数a决定抛物线开口方向和大小.

当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口.

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.

当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右.（简称：左同右

异）

③.常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）.

5.半径为7的圆，其圆心在坐标原点，则下列各点在圆外的是（）

A.（3,4）B.（4,4）C.（4,5）D.（4,6）

【答案】D

【解析】

【分析】本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离"，则”>，•时，点在圆外；当"=「时，点在圆上，当

时，点在圆内.

【详解】A、d=5<r,所以在圆内;

B、d=4y/2<r,所以在圆内；

C、d=而<r,所以在圆内；

D、d=2y/\3>r,所以在圆外.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，确定点与圆心的距离与半径的大小关系是解题的关键.

6.如图，把菱形ABOC绕点0顺时针旋转得到菱形DFOE,则下列角中不是旋转角的为()

A.ZBOFB.ZAODC.ZCOED.ZCOF

【答案】D

【解析】

【详解】分析：两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案.

详解：A.OB旋转后的对应边为OF,故/3O/可以作为旋转角，故本选项错误；

B.OA旋转后的对应边为0£>,故NAOO可以作为旋转角，故本选项错误；

C.OC旋转后的对应边为OE,故NCOE可以作为旋转角，故本选项错误；

D.OC旋转后的对应边为OE不是。凡故NCO尸不可以作为旋转角，故本选项正确；

故选D.

点睛：考查旋转的性质，对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角.

7.《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道

长一尺，问径几何？“用数学语言可表述为：“如图，CO为。。的直径，弦。于E，石。=1寸，

AB=10寸，求直径CO的长则8=

A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸

【答案】C

【解析】

【分析】连接AO,根据垂径定理及勾股定理即可求出半径，即可求出CD的长.

【详解】如图，连接AO,设AO=OD=r,

故OE=r-1,

VAB=10,；.AE=5,

由AO2=AE2+OE2,即r2=52+(r-1)2,

解得E3,故CD=2r=26

故选C

【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是根据勾股定理进行求解.

8.如图，Rt^ABC中，AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的

长度为x,AABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是()

B

口・V.U.

A.(A)B,(B)C.(C)D.(D)

【答案】B

【解析】

【详解】解：当OVxWl时，y=x2,

当1<XW2时，ED交AB于M,EF交AB于N,如图，

；RtZ\ABC中，AC=BC=2,

.•.△ADM为等腰直角三角形，

，DM=2-x,

EM=x-(2-x)=2x-2,

2

SAENM=7(2x-2)2=2(x-1),

/.y=x2-2(x-1)2=-x2+4x-2=-(x-2)2+2,

x2,(O<x<l)

-(x-2)~+2,(l〈x42)

故选B.

【点睛】本题考查通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能

力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.

填空题(共8小题)

9.请写出一个开口向上，且对称轴为直线x=3的二次函数解析式.

【答案】y=r-6x+6(答案不唯一).

【解析】

【分析】因为开口向上，所以“>0；根据对称轴为x=3,可知顶点的横坐标为3,纵坐标可任意选择一个数，由顶

点式写出二次函数解析式.

【详解】依题意取。=1,顶点坐标(3,-3),

由顶点式得y=(x-3)2-3.

即y—x1-6x+6.

故答案为：、=/-6*+6(答案不唯一).

【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式

y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(/?，左)，对称轴是x=。>0时，开口向上，。<0时，开口向下.

10.点M(1,-2)关于原点对称点的坐标是.

【答案】(-1,2)

【解析】

【分析】根据关于原点的对称点，横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数，可得答案.

【详解】解：平面直角坐标系内，点M(1,-2)关于原点对称点的坐标是(-1,2),

故答案为：(-1,2).

【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-

y),即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数.

11.如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35。，得到VAB'C,A3'交AC于点。，若NA'OC=90°，则/

A=。

【答案】55

【解析】

【分析】根据旋转的性质可得NAC4'=35。，NA=NA，再由直角三角形两锐角互余，即可求解.

【详解】解：•••把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35。，得到VA'3'C

ZAC4'=35°,ZA=ZA',

•••ZA'£)C=90。，

二ZA'=55°

/.ZA=55°.

故答案为：55

【点睛】本题主要考查了图形的旋转，直角三角形两锐角的关系，熟练掌握旋转的性质，直角三角形两锐角互余是

解题的关键.

12.颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为

中国四大名园.该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是米2.

【答案】：673

【解析】

【分析】首先根据题意画出图形，易得AOBC是等边三角形，继而可得正六边形的边长，由S除娜=6S,、OBC求得结果即

可.

【详解】解：如图所示：

连接OB,OC,过点O作OH_LBC于H

"/六边形ABCDEF是正六边形

.,.ZBOC=-x360°=60°

6

VOB=OC

/.△OBC是等边三角形

BC=OB=OC

1

.♦.BH=—BC=1

2

AOH=73

S正六边彩=6SAOBC=6x—x2x=6y/3

故答案为：673.

【点睛】本题主要考查了圆和正多边形，数形结合，求出一个等边三角形面积义6即为所得

13.如图，抛物线y=^2与直线y=Zzx+c的两个交点坐标分别为4（-2,4）,则关于x的方程

【解析】

y=ax2[x.=-2[x-\

【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组《的解为《，V2,,于是易

y^bx+c〔X=4[%=]

得关于x的方程ax2-bx-c=0的解.

【详解】解：•••抛物线y="2与直线丁=陵+。的两个交点坐标分别为A（—2,4）,8（1,1）,

-2%2=1

方程组《.,的解为《

y=bx+cX=4。2=1'

即关于X的方程/_反i=0的解为玉=-2,x2=l.

故答案为X1二-2,X2=l.

【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数丫=a乂2+6*+。（a#））的顶点坐标是（-上h■:A-℃CIC—。h~）,对称轴直线

2a4。

b

X=--.也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题.

2a

14.如图，PA、PB是。。的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C,若NAPB=60。，PC=6,则AC的长为

【答案】2+

【解析】

【分析】如图，设CP交。。于点D,连接AD.由切线的性质易证aAOP是含30度角的直角三角形，所以由三角

形的性质求得半径=2：然后在等边AAOD中得到AD=OA=2；最后通过解直角4ACD来求AC的长度.

【详解】解：如图，设CP交。0于点D,连接AD.设0O的半径为r.

•；PA、PB是。O的切线，NAPB=60。，

1

/.OA1AP,ZAPO=-ZAPB=30°.

2

...OP=2OA,ZAOP=60°,

.•.PC=2OA+OC=3r=6,则r=2,

VZAOD=60°,AO=DO,

.•.△AOD是等边三角形，则AD=OA=2,

又；CD是直径，

；./CAD=90。，

ZACD=30°,

AC=AD,cot30°=2y/3，

故答案为2出.

15.阅读下面材料：

在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：

尺规作图：过圆外一点作圆的切线.

已知：尸为。。外一点.

求作：经过点P的。。的切线.

小敏的作法如下：

如图，

(1)连接0P,作线段0P的垂直平分线MN交0P于点C；

(2)以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交。。于A,8两点；

(3)作直线PA,PB.所以直线PA,PB就是所求作的切线.

老师认为小敏的作法正确.

请回答：连接040B后，可证NOAP=NO8P=90。，其依据是；由此可证明直线PA,P8都是。。的切

线，其依据是.

【答案】①.直径所对的圆周角是直角②.经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线.

【解析】

【分析】分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案.

【详解】解：连接0408后，可证尸=/08尸=90。，其依据是：直径所对的圆周角是直角;

由此可证明直线PA,PB都是。。的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线.

故答案为直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线.

【点睛】此题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟知圆周角定理以及切线的判定方法.

16.如图，在平面直角坐标系中，将正方形0A3C绕点。逆时针旋转45°后得到正方形O44G，依此方式，绕点

。连续旋转2019次得到正方形。4201982019c2019,如果点A的坐标为（1,0）,那么点不。"的坐标为.

【答案】（―J5,o）

【解析】

【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针

旋转45。后得到正方形OAIBIG,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45。，可得对应点B的坐标，根据规律发现是

8次一循环，可得结论.

T

【详解】：四边形OABC是正方形，且OA=1,连接0B,

由勾股定理得：0B=&,

由旋转得：OB=OBI=OB2=OB3=..=72>

•.,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45。后得到正方形OAiBC”

相当于将线段0B绕点O逆时针旋转45。,依次得到NAOB=NBOB产NBQB2=...=45。，

BI（0,^）,B2（T,1）,B3（-0,O）,…，

发现是8次一循环，所以2019+8=252...3,

••.点B2019的坐标为（-④',0）

【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连接线段的夹角等于旋转

角，也考查了坐标与图形的变化、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法.

三.解答题（共12小题）

17.已知：二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式.

［答案］y——x~—x—1.

33

【解析】

【分析】根据函数图象知，该函数经过点（3,0）（-1,0）且对称轴为x=l.所以利用待定系数法可求得该二

次函数的解析式.

【详解】根据函数图象知，对称轴为x=l,

由抛物线的对称性，函数图象与x轴的交点是（3,0）,另一个交点为（-1,0）,

设二次函数解析式为y=“（x+1）（x-3）（#0）,

将（0,-1）代入，解得：a=-,

3

，二次函数解析式为（x+1）（x-3）,

i2

即二次函数解析式为丁=3/一]》一1.

【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据抛物线与x轴的两交点，设交点式.

18.已知二次函数y=/-6x+8.

（1）将y=/-6x+8化成（x-力）的形式；

（2）画出这个二次函数的图象；

（3）当0三彩4时，y的取值范围是.

y小

io9-

8

7

6

5

4

3

2

1

[I1_11I11।[1]I>

-4-3-2-lf_12345678910x

-2-

-3-

-4-

【答案】（1）y=（x-3）2-1；（2）详见解析；（3）-1WQ8.

【解析】

【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，把一般式转化

为顶点式；

（2）确定其对称轴、顶点坐标及与坐标轴的交点坐标后即可确定函数的图象；

（3）分别令x=0和4求得函数值后即可确定y的取值范围.

【详解】（1），=/-6x+8

=（x2-6x+9）-9+8

=（x-3）2-1；

（2）由（1）题得：对称轴为x=3,顶点坐标为（3,-1）,开口向上，

XL0123456JL

yL830-1038L

描点，连线，故图象为:

(4)•.•当x=0时，y=8；当尤=4时，y=0,

又•.•当x=3时，y有最小值-1,

.•.当0勺彳4时，y的取值范围是-1英8,

故答案为-1W)W8.

【点睛】本题考查的是二次函数的性质以及利用顶点式求抛物线的对称轴、顶点坐标的方法，灵活运用配方法把一

般式化为顶点式是解题的关键.

19.如图，A,。是半圆上的两点，。为圆心，BC是直径，/。=35。，求NOAC的度数.

【答案】ZOAC=55°.

【解析】

【分析】首先根据圆周角定理得到NB的度数，再求出/ACB的度数，结合三角形内角和或者等腰三角形的性质即

可求出/OAC的度数.

【详解】解法一：

；.NB=ND=35。,

是直径，

ZBAC=90°.

ZACB=900-N48C=55°,

：OA=OC,

.../OAC=NOCA=55°.

解法二：

解：；/。=35。，

ZAOC=2ZD=70°,

\'OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

,/ZOAC+ZOCA+ZAOC=180°,

：.ZOAC=55°.

【点睛】本题考查同弧所对圆周角和圆心角的关系.利用直径所对的圆周角是直角这一条件是解题的关键.

20.如图，在平面直角坐标系中，^AOB的三个顶点坐标分别为A(1,0),O(0,0),B(2,2).以点。为旋

转中心，将△AOB逆时针旋转90。，得到△4081.

(1)画出△AOS；

(2)直接写出点4和点Bi的坐标；

(3)求线段0助的长度.

>'n

~3r

।-I----1-|----r----1-----1-----1

十

卜十一2

—

—I

十

卜

十1

I-----r-+-2--+-+-T

ill।I।

J-<L.一---一人—」

【答案】⑴作图见解析；(2)Ai(0,1),点8(-2,2).(3)2g

【解析】

【分析】(1)按要求作图.

(2)由(1)得出坐标.

(3)由图观察得到，再根据勾股定理得到长度.

【详解】解：(1)画出△AOBi,如图.

(2)点4(0,1),点囱(-2,2).

(3)OB\=OB=yj22+22"\/2-

【点睛】本题主要考查的是绘图、识图、勾股定理等知识点，熟练掌握方法是本题的解题关键.

21.一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片，文物学家希望能把此件文物进行复原，因此把残片抽象成了

一个弓形，如图所示，经过测量得到弓形高CD=(米，NCAD=30。，请你帮助文物学家完成下面两项工作：

(1)作出此文物轮廓圆心O的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

(2)求出弓形所在圆的半径.

2

【答案】(1)作图见解析；(2)

【解析】

【分析】(1)作AC的垂直平分线交CD的延长线于点O,点O即为所求作的点；

(2)在Rtz^ACD中，ZCAD=30°,所以NC=60°,因此△AOC为等边三角形，在Rt^ACD中求出AC的长即可求

出圆的半径长.

【详解】解：(1)作图如下：

答：点。即为所求作的点.

(2)解：连接AO

在RtaACD中，ZCAD=30°

2

二AC=—，ZACD=60°

5

VAO=CO

2

AO=CO=AC=—

5

答：此弓形所在圆的半径为|.

【点睛】本题考查基本几何作图；垂径定理及勾股定理，掌握相关定理灵活应用是本题的解题关键.

22.如图，在等边AABC中，点。是AB边上一点，连接C。，将线段CO绕点。按顺时针方向旋转60。后得到

CE,连接4E.求证:AE//BC.

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据等边三角形的性质得出AC=BC,/B=NACB=60°，根据旋转的性质得出

CD=CE,N£)C£=60°,根据SAS推出初四三AACE,根据全等得出NB=NE4C=60°,根据平行线的判

定定理即可证得答案.

等边AABC中，...AC=3C,NB=ZACB=60°,

•••线段CO绕点C按顺时针方向旋转60。后得到CE,

:.CD=CE,ZDCE=60。，

/.ZDCE^ZACB,

即N1+N2=N2+N3,,

Z1=Z3,

在反?8与A4CE中，

BC=AC

<N1=N3

CD=CE

ABCDMAACE(SAS)

NB=N£4C=60°,

/.ZEAC^ZACB

：.AE//BC

【点睛】本题考查了平行线的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质，利用全等三角形的证明是解题的关键.

23.如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中的曲线是抛物线的一部分，要裁出一个等边三角形，使其一个顶点与抛

物线的顶点重合，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长(结果精确到0一1,73«1.732)•

6dm

/6dm\

【答案】5.2dm.

【解析】

【分析】以抛物线的顶点0为坐标原点，过点O作直线AB的平行线和垂线分别作为x轴和y轴，建立平面直角坐

标系，设抛物线解析式为y=ax2(a#)),利用已知数据求出a的值，再利用等边三角形的性质计算即可.

【详解】解：以抛物线的顶点0为坐标原点，过点O作直线AB的平行线和垂线分别作为x轴和y轴，建立平面直

设抛物线解析式为y=ax2(a/0),

2

D(3,-6)在抛物线上代入得：a=——,

•.'△ABO是等边三角形，

.\OH=73BH,

设B(x,

x=-1x2,

•*.Xl=0(舍)，X2=3^",

2

AB=36=5.2(dm),

答：等边三角形的边长为5.2dm

【点睛】本题考查二次函数的应用及等边三角形的性质，数形结合思想解题是本题的解题关键.

24.如图，割线ABC与。。相交于8、C两点，。为。。上一点，E为弧8c的中点，0E交BC于F,OE交AC于

G,ZADG=ZAGD.

(1)求证明：AO是。。的切线；

(2)若NA=60。，。。的半径为4,求EO的长.

【答案】(1)见解析；(2)DE=4B

【解析】

【分析】(1)要证AD是。。的切线，只要连接OD,再证NADO=90。即可；

(2)作OHLED于H,根据垂径定理得到DE=2DH,根据等边三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】(1)证明：连接OD.

・・・E为BC中点，

AOE1BC,

VOD=OE,

.♦・ZODE=ZOED,

JZAGD+NOED=ZEGF+ZOED=90°,

VZAGD=ZADG,

AZADG+ZODE=90°,即OD_LAD,

・・・AD是。O的切线；

(2)作OH_LED于H,

DE=2DH,

ZADG=ZAGD,

AAG=AD,

ZA=60°,

.,.ZADG=60°,

・・・NODE=30。，

VOD=4,

・・.DH=»OD=25

・・・DE=2DH=46.

【点睛】本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂

直即可，还考查了垂径定理，直角三角形的性质.

25.吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y=-笆三的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究

过程补充完整

（1）该函数的自变量X的取值范围是

（2）列表：

X-2-10123456

_5

m-1-5n-1

y一万~2~2-17

表中m=,

（3）描点、连线

在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y

为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象：

（4）观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：

①;

②.

【答案】（1）一切实数（2）（3）见解析（4）该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x=2

22

对称

【解析】

【分析】（1）分式的分母不等于零;

(2)把自变量的值代入即可求解；

(3)根据题意描点、连线即可；

(4)观察图象即可得出该函数的其他性质.

【详解】(1)由丫=--~知，X2-4X+5/),所以变量x的取值范围是一切实数.

x—4x+5

故答案为一切实数；

公、5155

(2)m=—(5+4+5——ETTN

(4)观察所画出函数图象，有如下性质：①该函数有最小值没有最大值；②该函数图象关于直线x=2对称.

故答案为该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x=2对称

【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键.

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+2/nx-nr+\的对称轴是直线x=\.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点。(«,yi),E(3,J2)在抛物线上，若力<以，请直接写出〃的取值范围；

(3)设点M(p,q)为抛物线上的一个动点，当-l<p<2时，点M关于)，轴的对称点都在直线尸质-4的上

方，求左的取值范围.

【答案】(1)抛物线的解析式为产-F+2x.(2)当"V-1或〃>3时，

(3).•二的取值范围是-2WK1.

【解析】

【详解】试题分析：(1)由抛物线的对称轴方程可求得机=1,从而可求得抛物线的表达式；

(2)将43代入抛物线的解析式，可求得”=3,将尸3代入抛物线的解析式可求得为=-1,及=3,由抛物线的开口

向下，可知当"<-1或〃>3时，y\<yz-,

(3)先根据题意画出点"关于y轴对称点M的轨迹，然后根据点“关于y轴的对称点都在直线y=kx-4的上方，

求出最大与最小两个关于k的方程，即可求得上的取值范围.

解：(1)..,抛物线的对称轴是x=l,

••——1.

2a-2

••/77—15

.*•y—x~+2x.

(2)将x=3代入抛物线的解析式得3=-32+2X3=-3,

将y=-3代入得：-/+2x=-3,

解得：XI=T/2=3.

当n<-\或n>3时,%勺2.

(3)由题意得抛物线,=一/+2%(-l<x<2)

关于丫轴对称的抛物线为y=_2x(—2<x<1)

当x=1时，y=—3,

当直线y=收一4经过点(1,一3)时，

可得％=1;

当x=-2时，y=0,

当直线y="―4经过点(-2,0)时,

可得左=—2.

综上所述，k的取值范围是一2«4«1.

点睛：本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的增减性、二次函数与一次函数的图象关系.本题的

难点在第三问中，而利用数形结合是解题的关键.

27.已知:在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.

（1）如图1,将线段AC绕点A逆时针旋转60。得到A。，连结C。、BD,/8AC的平分线交于点E,连结

CE.

①求证：/AED=/CED；

②用等式表示线段4E、CE、8力之间的数量关系（直接写出结果）；

（2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60。得到AD,连结CD、BD,/BAC的平分线交8。的延长线于

点E,连结CE.请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）①证明见解析；@BD^2CE+AE,理由见解析；（2）补图见解析，2CE-AE=BD,证明见解析.

【解析】

【分析】⑴①由旋转的性质可得AC=AD,/DAC=60。,由“SAS”可证4ABE丝ACE,可得/3=/4=15。,由三角形外角的

性质可得结论;②过点A作AHLBD于点H,由等腰三角形的性质和直角三角形性质可得

BD=2BH=2（BE+EH）=2BE+AE=2EC+AE;

⑵以A为顶点,AE为一边作/EAF=6（T,AF交DB延长线于点F,通过证明ACAE丝4DAF和4BAE丝z^CAE,可得

CE=DF,BE=CE,即可得2CE-AE=BD.

【详解】证明：（1）

图1

①•••将线段AC绕点A逆时针旋转60。得到AD,

：.AC=AD,ZDAC=60°

/BAD=NBAC+NCAD=150°,且AB=AC^AD

；./3=/5=15°

VZBAC=90°,AB=AC,AE平分NBAC

.♦.N1=N2=45°,/ABC=/ACB=45°

又・・,AE=AE,

A/XABE^^ACE(SAS)

・・・N3=N4=15。

・・・N6=N7=30。

・・・ZDEC=Z6+Z7=60°

,?ZAED=Z3+Z1=6O°

・・・ZAED=ZCED

②BD=2CE+AE

理由如下：

过点A作于点”,

：.BE=CE,

VZAED=60°fAHLBD

：.AE=2EH

*：AB=ADfAHLBD

:.BD=2BH=2(BE+EH)=2BE+AE=2EC+AE

(2)补全图形如图，

E

2CE-AE=BD

理由如下：

如图2,以A为顶点，4E为一边作NE4F=60。，AE交。3延长线于点F.

VZBAC=90°,AB=ACtAE平分NBA。

・・・ZBAE=NCAE=45。,ZABC=ZACB=45°.

・・♦将线段4c绕点A逆时针旋转60。得到AD,

：.AC=AD,ZDAC=60°

：.ZDAE=ZDAC-ZCAE=\5Q,AB=AD

:・/ABD=NADB,ZBAD=30°

：.NABD=NADB=75°

：.ZAED=ZADB-ZDAE=60°

・.,/EAF=60。

又・・・NEAF=60。，

・•・ZF=60°

・・・△8£尸是等边三角形.

：.AE=AF=EF.

u

：AC=ADfZCAE=ZDAF=45°fAE=AFf

：./\CAE^/\DAF(SAS).

:・CE=DF.

*：AB=AC,ZBAE=ZCAE=45°fAE=AE,

AABAEVACAE(SAS).

：.BE=CE,

：.BE=CE,

•:DF+BE-EF=BD,

：.2CE-AE=BD

【点睛】本题考查旋转中三角形的性质，主要在于掌握三角形的全等与相似.

28.定义：把一个半圆与抛物线的