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高等数学（高等数学（下）》第七章无穷级数-练习题一参考答案gqz#（共6页）2.将lnx展开为x=2处的泰勒级数.（方法：泰勒级数展开式定义一-求函数展开式的直接法）解：令f(x)=lnx,f〃(x)-x-2;f(x)=2!x-3;f(4)(x)=-3!x-4;…,f(n)(x)=(-1)n-1(n-1)!x-nf(2)=ln2,f"(2)=21f"(2)=-—22f⑵+f"(2)(x-2)+^-^(x-2)22!2!f""(2)=二…,f(n)(2)=(-1)n-1(n一1)!23+4(x-2)3+…+f(n)(2)2nf(n+1)(E)3!n!(x-2)n+(x-2)n+1(n+1)!122ln2+•(x-2)-—2k=12!23(x-2)2+厶(x—2)3+.…+3!(-1)-1^12(x-2)(一1)nn!-E-(n+1)n!(n+1)!(x-2)n+1(-1)k-1(k-1)!k!(x-2)k(一1)nn!-E-(n+1)(x-2)n+1(n+1)!ln2+i(-1)k-1-—(x-2)k+(-1)nE-(n+1)n+1(x-2)n+1Ee(0,x)余项R(x)(-1)nE-(n+1)n+1Ee(0,x)•••|r(x)l=-(n+1)•|x-2〔"+1(n+1)Eln+1•lx-21(n+1)|x(n+1)1T0,ntgn+1•lnx=f(x)=ln2+i(-1)k-11g(x-2)k+…=ln2+乙(-1)k-13.将x2-3x-4展开成（x-2）的幕级数.-—(x-2)k方法：求函数展开式的间接法）解：f(x)=(x+1)(x-4)x-4x+15(x-2)-2(x-2)+31-1+101-151+1g,八=(-1)nxn;1+xn=01g=xn;1-xn=01x—21—2为(x—2)n2nn-0x—21+3x—2()n3=L(—1)n(x一2)n3nf(x)(x—2)1015(一1)(x一2)n3n1(—1)n+2n+13n+14.利用间接展开法求y=cos2x的麦克劳林展式.（方法：求函数展开式的间接法）解：1+cos2x11y=cos2x==—+—cos2x222¥x2ncosx=(一1)n-0(2n)!n=0农(2x)2ncos2x=乙(一1)n-(2n)!n=(¥22n乙(一1)n-x2n(2n)!n=(111yy=cos2x=—+—cos2x=—

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