九年级数学上册【单元复习】第二十一章 一元二次方程（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）（考试版）

/【高效培优】2022—2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版）【单元复习】第二十一章一元二次方程（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）温馨提示：一分努力勤奋一份收获，必考重难点突破是培优最佳途径！知识精讲第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax+bx+c=0(a≠0).其中，ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x=,x=.（2）直接开平方法适用于解形如x=p或(mx+a)=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。21.2.2公式法知识点一公式法解一元二次方程（1）一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，如果b-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的过程。（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：（1）方程化为一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值；（2）确定公式中a,b,c的值，注意符号；（3）求出b-4ac的值；（4）若b-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b-4ac＜0，则方程无实数根。知识点二一元二次方程根的判别式式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b-4ac.一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，△＞0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，△=0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，△＜0，方程ax+bx+c=0(a≠0)无实数根；21.2．3因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。（2）因式分解法的详细步骤：1移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；2把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；3令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；4解一元一次方程即可得到原方程的解。知识点二用合适的方法解一元一次方程方法名称理论依据适用范围直接开平方法平方根的意义形如x=p或（mx+n）=p(p≥0)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法当ab=0，则a=0或b=0一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。21.2.4一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程x+px+q=0的两个根为x,x,则有x+x=-p,xx=q.若一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x,x,则有x+x=，,xx=22.3实际问题与一元二次方程知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。（2）设：是指设元，也就是设出未知数。（3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。（4）解：就是解方程，求出未知数的值。（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。（6）答：写出答案。知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型（1）数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.（2）增长率问题设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）=b。（3）利润问题利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率（4）图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。考点例析【考点1】一元二次方程【例1】（2022·全国·九年级期末）把一元二次方程(x-3)2＝5化为一般形式后，二次项系数为（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【分析】利用完全平方公式将一元二次方程化简为ax2+bx+c=0，再找出二次项的系数即可．【详解】解：∵（x-3）2=5化为一般形式为x2-6x+4=0，∴二次项系数为1，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程（x-3）2=5化为一般形式．【例2】（2022·全国·九年级期末）已知方程．当_____时，为一元二次方程．【答案】-1【分析】根据一元二次方程的定义得到且，解得即可．【详解】根据题意得，且，解得k=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，熟知定义是解题的关键．【考点2】解一元二次方程【例3】（2022·全国·九年级期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为0，根的判别式大于等于0；即可进行解答．【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴，解得：且．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根．【例4】（2022·江苏·九年级期末）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．【答案】【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，∵x12+x22=，∴（x1+x2）2-2x1x2=，∴4m2-m=，∴m1=-，m2=，∵Δ=16m2-8m＞0，∴m＞或m＜0时，∴m=不合题意，故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．【考点3】实际问题与一元二次方程【例5】（2022·全国·九年级期末）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）²=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）²=182C．50（1+2x）=182D．50+50（1+x）+50（1+2x）²=182【答案】B【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程．【详解】解：设二、三月份平均每月的增长率为x，则二月份生产零件个，三月份生产零件个，则得：．故答案为：B．【点睛】本题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．【例6】（2022·全国·九年级期末）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为_______．【答案】2m##2米【分析】设道路宽为x米，由平移法把草坪面积转化为矩形，根据矩形面积=540列方程求解即可．【详解】解：利用平移，原图可转化为下图，设道路宽为x米根据题意得：（32-x）(20-x)=540解得：x1=2，x2=50（不合题意，舍去）∴x=2，故答案为：2m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合得思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．举一反三一、选择题1．（2022·全国·九年级期中）把方程化成一般式，则正确的是（）A．， B．， C．， D．，2．（2022·全国·九年级期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围为(

)A． B． C． D．3．（2022·全国·九年级期末）某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（）A． B．C． D．二、填空题4．（2022·全国·九年级期末）若m是方程的一个根，则的值为______．5．（2022·江苏·九年级期末）若关于x的一元二次方程的一根为2，则另一个根为___________．6．（2022·全国·九年级期末）2019年元旦节期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两个同学都互相发一次，小明统计全组共互发了90次微信，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为____________．三、简答题7．（2022·江苏·九年级期末）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？8．（2022·江苏·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；(2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．9．（2022·全国·九年级期末）某校准备在一块长为米，宽为米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为米．(1)花园内的小路面积为______平方米用含的代数式表示．(2)若草坪面积为平方米时，求这时道路宽度的值．实战演练一、选择题（共6小题）1．（2022·全国·九年级期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·九年级期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的解，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（2022·江苏·九年级期末）若分式的值为0，则（

）A．x＝1或x＝3 B．x＝3 C．x＝1 D．x≠1且x≠24．（2020·全国·九年级期末）若关于x的一元二次方程k-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（

）A．k<1 B．k<1且k0 C．k1 D．k>15．（2022·全国·九年级期末）杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单．该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则可列方程为（

）A． B．C． D．6．（2022·全国·九年级期末）某品牌电动自行车经销商1月至3月统计，该品牌电动自行车1月销售150辆，3月销售216辆．设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意列方程得（

）A． B．C． D．二、填空题（共6小题）7．（2022·江苏·九年级期末）关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是_______．8．（2022·江苏·九年级期末）已知m是一元二次方程的根，则代数式的值为_________．9．（2022·江苏·九年级期末）若，为一元二次方程的两个实数根，则的值为______．10．（2022·江苏·九年级期末）已知、是一元二次方程的两实数根，则代数式_____．11．（2022·全国·九年级期末）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种农作物的产量两年内从300千克增加到363千克，则平均每年增产的百分率为____．12．（2022·全国·九年级期末）特殊时期，市疾控专家提醒广大市民，乘坐电梯切莫大意，务必做好个人防护措施．如图所示，某商场在厢式电梯地面铺设了醒目的隔离带，提醒顾客乘坐电梯时持足够的空间距离，减少接触．电梯地面部分为一个长为，宽为的矩形地面，已知无隔离带区域（空白部分）的面积为，若设隔离带的宽度均为，那么x满足的一元二次方程是________．二、简答题（共6小题）13．（2022·江苏·九年级期末）已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．14．（2022·全国·九年级期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)．15．（2022·全国·九年级期末）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？(2)m为何值时，该方程是关于x的