《概率论与数理统计》试题

#06-07-1《概率论与数理统计》试题A一、填空题(每题3分，共15分)设A,B相互独立，且P(AYB)=0.&P(A)=0.2，则P(B)=TOC\o"1-5"\h\z已知X〜N(2q2)，且P{2<X<4}=0.3，则P{X<0}=.设X与Y相互独立，且E(X)=2，E(Y)=3，D(X)=D(Y)=1,则E[(X-Y)2]=设X,XL,X是取自总体N(卩Q2)的样本，则统计量丄工(X_卩)212na2ii=1服从分布.设X〜B(2,p),Y〜B(3,p)，且P{X>1}=5，则P{Y>1}=.二、选择题(每题3分，共15分)一盒产品中有a只正品，b只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为【】(A)a_1；(B)—-1；(C)；(D)(aV.a+b-1(a+b)(a+b-1)a+b(a+b丿设随机变量X的概率密度为p(x)=JC1<X<3则方差D(X)=【】[0,其他11(A)2；(B)；(C)3；(D)3.然正确的是【】(A)P(A)=1_P然正确的是【】(A)P(A)=1_P(B)9(B)P(4|B)=0；(C)P(4|B)=1；(D)P^AB)=0.4.设f(x)=sinx是某个连续型随机变量X的概率密度函数，则X的取值范围是【】(A)0,5.设X〜N(b)(A)0,5.设X〜N(b)Id,/；a2)3kY=aX—b，其中a、b为常数，且a丰0，则Y〜【(】(A)N(ap-b,(C)NCp+b,a2a2+b2；a2a2)；(B)N(ap+b,(D)N(ap_b,a2a2_b2

a2a2).三、（本题满分8分）甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被命中，求它是乙命中的概率.四、（本题满分12分）设随机变量X的密度函数为f（x）=，求:ex+e-x（1）常数A；（2）P{0<X<-ln3}；（3）分布函数F（x）.2五、（本题满分10分）设随机变量X的概率密度为6x(1-6x(1-x),<0,0<x<1其他求Y=2X+1的概率密度.六、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求:（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）P&>X}.七、（本题满分10分）二维随机变量（X,Y）的概率密度为“、1Ae-(x+2y),f(x,y)=]0,x>0,y>0其他求:（1）系数A；（2）X，Y的边缘密度函数；（3）问X，Y是否独立。八、（本题满分10分）设总体X的密度函数为f(f(x,卩)彳x0+10,x>1x<1其中未知参数0>1，X,X,A,X为取自总体X的简单随机样本，求参12n数0的矩估计量和极大似然估计量.九、（本题满分10分）设总体X~NQ2）,其中且卩与b2都未知，(x，x，A,x1216-8<卩<+8，b2>(x，x，A,x1216算出x=兰x=503.7516ii=1S卡S卡叫-x)2=E，i=1试在置信水平1-a=0.95下，求卩的置信区间.(已知:t(15)=1.7531，t(16)=1.7459，t(15)=2.13150.050.050.025t(16)=2.1199).0.025

07-08-1《概率论与数理统计》试题A一．选择题(将正确的答案填在括号内，每小题4分，共20分)1．检查产品时，从一批产品中任取3件样品进行检查，则可能的结果是未发现次品，发现一件次品，发现两件次品，发现3件次品。设事件A表示“发现•件次品”G二。，口3)。用A0,A1,A2,A3表示事件“发现1件或2件次品”，下面表示真正确的是()(A)件或2件次品”，下面表示真正确的是()(A)A1A2；(B)Ai+A；2•设事件A与B互不相容,(C)A0(A]+A2)；(D)且p(aLo,pBL0A(A+A).312，则下面结论正确的是()()(A)A与B互不相容；(B)P(B|A)>0；(C)P(AB)=P(A)P(B)；(D)P(abLP(A).3.设随机变量X~N6,2),Y~N6,4),且X与Y相互独立，则()(A)2X—(A)2X—Y~N(0,1)；(B)22孑~N(0,1)；(C)2X—Y+1~N6,9)；4.设总体X~N(1,Q2)，(D)时-N3AQ2是未知参数，(X,X,A,X)是来自12n总体的一个样本，则下列结论正确的是()1.—S2=£(X—X)2~咒2(n—1)；n—1ii=1-工(X—X)2〜x2(n)；nii=1(C)(n(C)(n—1)S2Q21.=£(X—X)2~x2(n—1)；Q2ii=1(D)丄工Q2(X—X)2~x2(D)丄工Q2(X—X)2~x2(n)i5.i=1设总体X~N,Q2),X,A,X)是来自总体的一个样本2nQ2的无偏估计量是()(A)」迓(X—X)；(B)1区(X—X)；(C)-X2；(D)X2.n—1ininii=1i=1i=1二填空（将答案填在空格处，每小题4分，共20分）TOC\o"1-5"\h\z1.已知A,B两个事件满足条件P（AB）=P），且PCl）=p，则PB）=.1113个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为三，丁，，则543此密码被破译出的概率.3•设随机变量X的密度函数为f（x）=J2x，0<x<1,，用Y表示对X的[0,其他3次独立重复观察中事件|X<*|出现的次数，则P（Y=2）=.4.设两个随机变量X和Y相互独立，且同分布：P（X=-1）=P（Y=-1）=-，p（X=1）=P（Y=1）=-，则P（X=Y）=一.220,x<05•设随机变量X的分布函数为：f（x）=\Asinx,0<x<-'则21,x>-〔2A=.三•计算1．（8分）盒中放有10个乒乓球，其中有8个是新的。第一次比赛从中任取2个来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中取2个，求第二次取出的球都是新球的概率。（6分）设随机变量X和Y独立同分布，且X的分布律为：P（X二1）=-,P（X二2）=-33求Z=X+Y的分布律。（12分）设随机变量X的密度函数为：f（x）=Ce-lxCa<x<+8）（1）试确定常数C；（2）求P（x|<1）；（3）求Y=X2的密度函数。（20分）设二维连续型随机变量（X,Y）的联合概率密度为：

lxl<i,|y|<lxl<i,|y|<1其他f（x,y）=<40（1）求随机变量X和Y的边缘概率密度；（2）求EX,EY和DX,DY；（3）X和Y是否独立？求X和Y的相关系数R（X,Y），并说明X和Y是否相关？（4）求P（X+Y<1）。（6分）设总体X的分布律为P（X=x）=G-p）x-ip（x=1,2,A）,X,X,A,X是来自总体X的一个样本。求参数p的极大似然估计。12n（8分）食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为500g。每隔一定的时间，需要检验机器的工作情况。现抽得10罐，测得其重量（单位：g）”勺平均值为X=498，样本方差s2二6.52。假定罐头的重量X~N2），试问机器的工作是否正常（显著性水平a=0.02）?（u=2.33，tG）=2.82，tGo）=2.76）0.010.010.0108-09-1《概率论与数理统计》试题A一、填空题(每题3分，共15分)1、已知随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布，且随机变量TOC\o"1-5"\h\zZ=2X-2，则E(Z)=.2、设A、B是随机事件，二0.7,P(A-B)=0.3，贝yP(AB)=_3、设二维随机变量仗,Y)的分布列为1231111691823a卩TOC\o"1-5"\h\z若X与Y相互独立，则a、卩的值分别为。4、设D(X)=4,D(Y)=1,R(X,Y)=0.6，贝yD(X-Y)=5、设X,XL,X是取自总体N(卩Q2)的样本，则统计量丄£(X_卩)212nQ2i服从分布.二、选择题(每题3分，共15分)1、一盒产品中有«只正品，b只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为【】(A)a-1；(B)_a(a-D；(C)；(D)(_^丫.a+b一1(a+b)(a+b一1)a+b(a+b丿2、设事件A与B互不相容，且P0，PBL0，则下面结论正确的是【】()(A)A与B互不相容；(B)P(B|A)>0;(C)P(AB)=P(A)P(B)；(D)P(ABLP(A).3、设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从正态分布N(0,1)和NGj),则【】(A)P(X+Y<0)=-；(B)P(X+Y<1)=-；22

(D)p(X-Y<山2则必有【】(C)P(X-Y(D)p(X-Y<山2则必有【】24、如果X,Y满足D(X+Y)=D(X—Y),4、则随机变量Z=max(A)X与Y独立；(B)X与Y不相关；(C)DY二0；(D)DX=0

5、设相互独立的两个随机变量X与Y则随机变量Z=maxX0111P一一22(X,Y)的分布律为【~~】(A)PQ二0)=1,PQ=1)=1；(B)PQ=0)=1,P(Z=1)=0；22(C)pQ=o)=,pQ=i)=；(D)pQ=o)=,pQ=1)=。4444三、(本题满分8分)两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品(A)的概率.四、(本题满分10分)将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：(1)(X，Y)的联合概率分布；(2)P&>X}.五、(本题满分12分)设随机变量X~N(0,1),Y=X2+1，试求随机变量Y的密度函数.1六、(10分)设X的密度函数为f(x)=2e-1x1,xe(一8,+8)求X的数学期望E(X)和方差D(X)；求X与|X|的协方差和相关系数，并讨论X与|X|是否相关？七、(本题满分10分)二维随机变量(X,Y)的概率密度为…(Ae-(x+2y),x>0,y>0f(x,y)=1[0,其他求：(1)系数A；(2)X，Y的边缘密度函数;(3)问X，Y是否独立。八、(本题满分12分)设总体X-NI，Q2丿，其中卩是已知参数,b2>0是未知参数.(X,X,A,X)是从该总体中抽取的一个样12n本,.求未知参数b2的极大似然估计量&2;.判断&2是否为未知参数b2的无偏估、计.九、(本题满分8分)设总体X~Nb2丿，其中且卩与b2都未知，一8<卩<+8,b2>0.现从总体X中抽取容量n=16的样本观测值(x,x,A,x),算出x=兰x=503.75,121616ii=1s=兰(x—x)2=6.2022，试在置信水平l—a=0.95下，求卩的15ii=1置信区间.(已知：t(15)=1.7531,t(16)=1.7459,0.050.05t(15)=2.1315,t(16)=2.1199).0.0250.02506-07-1《概率论与数理统计》试题A参考答案1.0.75；2.0.2；1.0.75；2.0.2；3.3；4.1、(C)；2、(D)；3．19筈2(〃)；5.27（B）；4、（A）；5、（D）三、解：设A表示事件“甲命中目标”B表示事件“乙命中目标”则AYB表示“目标被命中”，且P(AUB)=P(A)+P(B)一P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.4-0.5x0.4=0.7所求概率为P（B/所求概率为P（B/AUB）=P[B(AUB)]P(AUB)=04〜0.57P(AUB)0.7四、解：(1)由J+8f(x)dx=1,+8Adx=AJ-g+8Adx=AJ-gex+e-xex+8—g1+(ex)2dx=A・arctanex冗+g=A=1-g22所以A=-21,n32（兀兀、一arctanexin32二=———兀0兀134丿exln3-exln3-dx

1+(ex)2/J2兀023dx—•J2ln3-兀0ex+e—x⑵。*<X<如"16(3)分布函数F(x)=Jxf(t)dt=—-Jx——dt——=—arctanex-g兀—get+e—t兀ey—1>=J2f(x>)dx-8X五、解：Fy(y)=P{Y<y}=P(2X+1<yey—1>=J2f(x>)dx-8X2y一1当计<0即y<1时，Fy(y)=0；当0<—<1即1<y<3时，F(y)=J丁6x(1-x)dx=^(y-1)2(4-y)；2Y04当—>1即y>3时，F(y)=J16x(1-x)dx=1；2Y0即

0,y<1F(y)=\^-(y-1)2(4—y),1<y<31,y>33所以fY(y)J4(y-1)(3-y)，1<y<3Y0,其他V,六、解：由题意知，X的可能取值为：0,1,2，3；Y的可能取值为：1,3.且址=°,y=珂2Jp{x=1,Y=1}=C13P{P{X=2,Y=1}=C232丿=aJ+8e=aJ+8e-xdxJ+8e-2ydy=A002所以A=2.(2)X的fe—x、0,f(x)=J+8f(X』d=<X缘密度函x>0.其他.于是，（1）（X，Y）的联合分布为13008130230308⑵川>X}=p{x=°,Y=3}=j.七、解：（1）由1=J+8J+8f(x,y)dxdy=卜卜Ae-(x+2y七、解：（1）-X-X001

\2e-2yy>0I0,其他Y的边缘密度函数：f(y)=l+xf\2e-2yy>0I0,其他Y—8(3)因f(x,y)=f(x)f(y)，所以X，Y是独立的.XY八、解：E(X)=J+*xf(x)dx=x-dx=_81x0+1P-1P令EX=X，即-f—=X，得参数0的矩估计量为P似然函数为L（卩）=Wf（x,似然函数为L（卩）=Wf（x,卩）=ii=10n、WxIi=1i丿i=10,>1(i=1,2,A,n)其他当x>1(i=1,2,A,n)时，L(P)>0，idlnL（0）ndF得参数0的极大似然估计值为InL(0)=nIn0-(0+dlnL（0）ndF得参数0的极大似然估计值为-£lnx=0ii=10=

£lnx九、解：由于正态总体NC,a2）中期望卩与方差b2都未知，所以所求置信区间为由a=0.05，由样(由a=0.05，由样(n-1)X+2tnJfX一StIX七-an=16，得一=0.025.2本观测值，查表，(n-1).丿得t(15)=2.1315．0.025x=£x=503.75,16ii=1s=£(x-x)2=6.2022.15ii=1所以，x-』t(n-1)=503.75-.■—x2.1315=500.445,na162x+丄t(n-1)=503.75+—x2.1315=507.055，<na#16因此所求置信区间为(500.445,507.055)07-08-1《概率论与数理统计》试题A参考答案一—・1・B；2D・；3・B；4.C；5・A.c}391二・1・P^B)=1-p；2.5；3・64；4・-;5・1.三・1・解：设用A表示：“第一次比赛取出的两个球中有i个新球”，ii=0,1,2；B表示：“第二次取出的两个球都是新球”则P(A)=C-=—；PB|A)=CL=280C24510C2451010P(A)=CC二16；PB|A)=C2=21C24511C2451010P(A)=CL二28；PB|A)=C2=15C24512C2451010则PB)—P(AP^BlA)+P(a)p^b\a)+P(a)p^b\a00112220252.解：Z=X+Y的可能取值为2，3，4，则P（Z二2）=P（X二1，Y二山3x扌二P(Z—3)—P(X—1,Y—2)+P(X—2,Y—1)—-x-+-x-—-33339P(Z—4)—P(X—2,Y—2)—-x-—-339所以Z—X+Y的分布律为：Z234144P———9993.解(1)J+sf(x—j+MCe-Ixdr—2Cj+Me-xdx—2C—1—g—s0得：C——f(x)—1e-xCs<x<+s)22)P(X|<1)—J1-e-Ixdx—J1e-xdx—1--(3)当y<0时,F(y2)当y>0时，F(y)=PG2<y)=PC\：'y<X<Jy)=fy_2e一Ldx=fye—xdxf(y)=Ff(y)=<e-■y0,y<04.解(1)当X<1时，f(x)=J+gf(x,y)dy=\^^-Xydy=2,X—g—142<2，x<1

、0,其他2，lyl<1[0,其他EX=f+gxf(x=nXdx=0—gX—12同理：EY=严f(y^y=0E(X2)=卜X2f(x=nx2dx=-—gX—123同理：EY2)=卜y2f(y^y=3—gY3DX=E(X2)—(EX)2=1—0=-33同理：DY=EY2)—(EY\=1由于f(x,yLf(xf(y),所以X和Y不独立。XYE(XY)=f+gf+gxyf(x,y^xdy=f1dyf则fxC)=XY—11—r(x,y)=^XY^EXJY=9—0QDX^DY—g—g所以X和Y相关。:Ixy-呼)dx(4)P(X+Y<1)=f(x,y^dy1ri)1_x+—x41ri)1_x+—x4I2J4J0dxf1xydy+f1dxj1-x-—i—io—ixydy卜79」965．解：似然函数为：ii=1lnL(p)=nlnp+i(1=1―一Ii=1'才x—ni4=1=01—Pii=1lnL(p)=nlnp+i(1=1―一Ii=1'才x—ni4=1=01—P”dln”dlnL^p)n

令T=P得参数p的极大似然估计为：p=X6.解：假设H:g=500,H:卩鼻5000_1选择统计量：T=~tOsi、i0沁—0.97统计量的样本值：T=498沁—0.97统计量的样本值：由于T=由于T=0.97<tG)''0.01=2.82，接受原假设H。所以在显著性水0平a=0.02下，可以认为自动装罐机工作正常。08~09-1学期《概率论与数理统计》试题A参考答案、填空题：1、填空题：1、2；2、0.4；3．4、2.6；5、X2(n)、选择题：1、C；2、D；3、B；4、B；5、C三、解：设Bi=“取出的零件由第i台加工”（i=1,2）小P（B1）P（AB1）+仏2）九陕3-0.9八1-0.98=0.9731，四、解：由题意知，X的可能取值为：0,1,2，3；Y1，3.且址=°,Y=珂2J，p{x=1,Y=11=C88五、解：随机变量X的密度函数为f(x)=Le-2Csvxv+s)2兀设随机变量y的分布函数为Fy(y),则有！.F(y)=P(Y<y}=ptx2+1<y)=P&2<y-1.如果y—1<0，即y<1，贝y有F(y)=0；TOC\o"1-5"\h\z.如果y了1，则有}『7F(y)=P&2<y—1}=Pt7-1<X<.7^1Y・2dx迄2f12dx2dx=e2k0

即F(y)Y2v即F(y)Y__Je2dxy>10所以，412*'y-10y>1y<1f(y)=<V2TJy-1

所以，412*'y-10y>1y<1f(y)=<V2TJy-1

[0六、解：①E(X)=J+gx-Ixdx=0y<1D(X)=E(X2)-[E(X)]2土x22e-肛-0=