2020-2021学年度高一下数学期末全真模拟卷

2020-2021学年高一数学下学期期末考试全真模拟卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.复数z满足|z-3/|=2（/为虚数单位），则复数z-4模的取值范围是（）

A.[3,7]B.[0,5]C.[0,9]D.以上都不对

【答案】A

【解答】解：由|z-34=2,可知复数z对应点的轨迹为以8（0,3）为圆心，以2为半径的圆上,

如图：

则复数z-4模的最小值为|A8|-2=5-2=3,最大值为|A8|+2=5+2=7.

•••复数z-4模的取值范围是[3,7].

故选：A.

2.将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5：4：1,若用分层抽样的方法抽取容量为250的样

本，则应从丙层中抽取的个体数为（）

D.100

【答案】A

【解答】解：因为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5：4：1,

所以丙层所占的比例为一一=0.1,

5+4+1

所以应从丙层中抽取的个体数为0.1X250=25,

故选：4

3.排球比赛的规则是5局3胜制（5局比赛中，优先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在

某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为2,前2局中乙队以2：0领先，则最后乙

队获胜的概率是（

【答案】B

【解答】解：法一：根据题意，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜，有3种情况,

第三局乙队获胜，其概率为Pi=上，

3

第三局甲队获胜，第四局乙队获胜，其概率为。2=2义工=2,

339

第三、四局甲队获胜，第五局乙队获胜，其概率为P3=2X2XL=_£,

33327

则最后乙队获胜的概率P=PI+P2+P3=』+2+_L=29；

392727

法二：根据题意，前2局中乙队以2：0领先，

若最后甲队获胜，甲队需要连胜三局，则甲队获胜的概率P'=（2）3=_§_,

327

则最后乙队获胜的概率P=I-P'=i-

2727

故选：B.

4.在△A8C中，点P满足而=2衣，过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点/W,N,若高二人族,

AN=HAC（A,n>0）,则2入+口的最小值为（）

A.B.3C.型D.4

33

【答案】A

【解答】如图所示，BP=BA+AP-

PC=PA+BP.

又加=2五，

二-AB+AP=2（AC-AP）»

族=-语抻=在正僚而

又户、M./V三点共线，

•・•--1--十+”2_—±1，

3九3|1

当且仅当u=2入时取“=”，

，2入+U的最小值是反.

3

故选：A.

5.某公司生产了一批新产品10000件，现从这些产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值,

测量结果得如图频率分布直方图，估计该公司的这批新产品的这项质量指标值不低于95的件数为

【答案】D

【分析】由频率分布直方图求出该公司的这批新产品的这项质量指标值不低于95的频率，由此能求出该

公司的这批新产品的这项质量指标值不低于95的件数.

【解答】解：由频率分布直方图得：

该公司的这批新产品的这项质量指标值不低于95的频率为：

(0.033+0.024+0.008+0.002)X10=0.67,

•••该公司的这批新产品的这项质量指标值不低于95的件数为：

0.67X10000=6700.

故选：D.

6.如图，在△ABC中，AN=2NC.P是BN上一点,若点=£标+工正，则实数t的值为()

3

B

A.AB.2c.AD.3

6324

【答案】c

【解答】解：•.•屈=2前，

・・AC或AN，

AAP=tABAC=tABAN'且&P，N三点共线，

t」=l，解得

122

故选：c.

7.如图，三棱锥5rBe中，平面SAC_L平面ABC,过点8且与AC平行的平面a分别与棱SA、SC交于E,

F,若SA=SC=BA=BC=2,AC=2/2，则下列结论正确的序号为（）

①AC〃EF；

②若E,F分别为SA,SC的中点，则四棱锥B-AEFC的体积为返；

2

③若E,F分别为SA,SC的中点，则BF与SA所成角的余弦值为返；

3

@SC1.BE.

A.②③B.①②④C.①②③D.①②

【答案】C

【解答】①：AC〃平面BEF,平面SACC平面BEF=EF,ACu平面SAC,

：.AC//EF,即①正确；

②取AC的中点M,连接BM、SM,

"：BA=BC,：.BMLAM,

又平面SACJ_平面A8C,平面SACC平面A8C=AC,8/Wu平面A8C,

平面SAC,即点B到平面AEFC的距离为BM=圾.

；SA=5C=2,AC=2&,...△SAC为等腰直角三角形，

-''SAEFC—S&SAC~S&sEf——S>4*SC--SE'SF——.

222

VB-AEFC——BM'SAEFC——X,即②正确；

3322

B

③连接MF,

VM>F分别为AC、SC的中点，.•.FM〃S4FM=lsA=l,/8F/W即为BF与SA所成角.

2

在RtZ\BMF中，tanNBFM=刈l=返=加,

_FM1

/.cosZBFM=返，

3_

；.8F与SA所成角的余弦值为返，即③正确；

3

④连接EM,

由②知，8M_L平面SAC,ABM1SC,

若5C_LBE,VBMC\BE=B,BM、BEu平面BME,，SCJ_平面8/WE,

又EMu平面B/WE,：.SC±EM,这与SC〃EM相矛盾，即④错误.

,正确的有①②③，

故选：C.

8.如图，在△ABC中，AD1BC,垂足为D,BD：DC：AD=2：3：6,则/8AC的度数是（）

A.—B.—C.—D.—

3462

【答案】B

【分析】由题意和直角三角形中正切函数求出tan/BAD、tanZCAD,利用两角和的正切函数求出tanZBAD

的值，由/BAC的范围和特殊角的正切值求出ZBAC；

【解答】解：VBD：DC：AD=2：3:6,AD1.BC,

...tanNa4D=©5_=工tan/CAD=2?>=」，

AD3AD2

则tan/BAC=tan(ZBAD+ZCAD)1,

Hxi

又NBACe(0,TT),

贝!|/BAC=上;

4

故选：B.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.全对得5分，少选得3分，多选、错选不得

分.

9.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（）

A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”

D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

【答案】AB

【分析】根据互斥事件的定义可得.

【解答】解：”至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A正确；

“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，8正确；

“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确：

“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，。不正确.

故选：AB.

10.如图，在以下四个正方体中，直线A8与平面CDE垂直的是（）

【分析】对于4由/84)=三，CE//AD,得直线A8与平面CDE不垂直；对于8,由CE_L4B,DE1AB,

4

得直线AB_L平面CDE；对于C,由AB与CE所成角为乃，知直线A8与平面CDE不垂直；对于D,

3

推导出DE_L48,CErAB,从而A8_L平面COE.

【解答】解：对于A,VZB4D=—,CE〃/W,与CE不垂直，

4

：CEU平面CDE,.•.直线AB与平面CDE不垂直，故A错误；

对于B,'CCELAB,DE±AB,CECyDE=E,二直线AB_L平面8£,故8正确；

对于C,A8与CE所成角为三，.,.直线A8与平面CDE不垂直，故C错误；

3

对于D,如图，\'DE±BF,DELAF,BFDAF=F,平面ABF,

•.,48<=平面48尸，，。£_1_48,同理得CEJ_AB,

\'DEC\CE=E,.•.A8_L平面CDE,故D正确.

【知识点】直线与平面垂直

11.中国篮球职业联赛(CBA)中，某男能球运动员在最近儿次参加的比赛中的得分情况如表:

投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数

1005518

记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率

的方法，得到的下述结论中，正确的是()

A.P⑷=0.55B.P(B)=0.18

C.P(C)=0.27D.P(B+C)=0.55

【答案】ABC

【分析】利用古典概型概率计算公式直接求解.

【解答】解：记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件4投中三分球为事件8,没投中为事件C,

由古典概型得：

P(4)=至"=0.55,故A正确；

100

P(8)=一14_=0.18,故8正确；

100

P(C)=1-P(4)-P(S)=1-0.55-0.18=0.27,故C正确；

P(B+C)=P(8)+P(C)=0.18+0.27=0.45,故。错误.

故选：ABC.

12.RtZV»BC中，ZABC=90Q,AB=如,BC=L竺以下正确的是()

|PA||PBIIPCI

A.Z4PB=120°B.NBPC=120°C.2BP=PCD.AP=2PC

【答案】ABCD

【分析】根据平面向量的平行四边形法则判断A，8,构造相似三角形判断C,D.

【解答】解：在直线外,PB,PC上分别取点M,N,G,使得|而|=|由|=|同|=1，

以PM,PN为邻边作平行四边形P/MQ/V,则而+而=同，

W-+基l-+W—=d即而+而+而=0

|PA||PBIIPCI

PQ+PG=o.，P，G,。三点共线且PQ=1,

故△PMQ和△PNQ均为等边三角形，

：.ZAPB=ZBPC=ZAPC=120°,故4正确，B正确;

♦；AB=M，BC=1,ZABC=90°，：.AC=2,ZACB=60°，

在△ABC外部分别以BC、AC为边作等边三角形BCE和等边三角形ACD,

则8,C,。三点共线，A,P,E三点共线，

：.ZBCD=120Q,故NBCD=N8PC,

...更^^」，gppc=2BP,故C正确，

CPCD2

同理可得：△APCS/SACB,

...”2£=2,即AP=2PC,故。正确.

CPBC

故选：ABCD.

三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设复数z=l+2（其中，•为虚数单位），贝Hz|=.

i

【分析】根据复数的基本运算法则进行化简，再利用复数的模长公式即可求出结果.

【解答】解：z=l+g=l-2i,

1・⑶=yj12+(-2)2=泥，

故答案为：^5-

【知识点】复数的模

14.从m个男生和c个女生（10/m>nN6）中任选2个人当班长，假设事件A表示选出的2个人性别相

同，事件8表示选出的2个人性别不同，如果A的概率和B的概率相同，贝U（m,"）可能为.

【答案】（10,6）

c2+c2

【分析】由A的概率和8的概率相同，得至小-工㊀工=T-上由此能求出（m,n）可能取值.

Lm-hiLm-hi

【解答】解：从m个男生和n个女生（10\m>n》6）中任选2个人当班长，

假设事件4表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同，

A的概率和8的概率相同，

C：+C：clcl

「2广2

Um-inIm-Hi

整理，得Cm-n）占m+c,

则（m,n）可能为（10,6）,

故答案为：（10,6）.

【知识点】互斥事件的概率加法公式

15.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=3,D,E与M,N分别是A8,AC的三等分点，且希•施=-1，则

cos4=,AB-BC=.

【分析】可取边BC的中点为。，然后以点。为原点，以直线8C为x轴，建立平面直角坐标系，并设。c

=。，然后可得出A,B,C的坐标，进而根据定比分点坐标公式即可得出D,E,M,N的坐标,

从而得出向量而，施的坐标，从而根据DN・ME=-1即可求出然后即可求出向量

M,AC>标的坐标，从而可求出cosA和AB•BC的值.

【解答】解：取BC的中点为。，以点。为原点，直线BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设

OC=a,a>0,则:

A（0,9-a2）»B（-a,0）'c（o<°）',E（一冬，a）>

oooo

呜.吗耳N号,厚1），

，5iJ=（a,-也工），亚=（-a,-耳£），

OO

2

DN-ME=-a2+^y-=-l'解得。=房，

•••A（0,

.一■・一“9],36

,AB・AC.553

lABllACl=3X3"5瓦书啧X笈卷

【知识点】平面向量数量积的性质及其运算

16.已知长方体ABCD-4B1GD1，48=称，AD=2,AA]=2«，已知P是矩形ABCD内一动点，力]与平面

A8CD所成角为匹，设P点形成的轨迹长度为a,则tana=；当JP的长度最短时，三棱锥5-

3—

DPC的外接球的表面积为

【分析】因为以1与平面ABCD所成角0为工，所以可得AP=2,即P点的轨迹为以A为圆心，以2为半

3

径的圆与矩形ABCD的交点即征，由矩形的边长可得质的值，进而求出它的正切值，当QP的

长度最短时，而JP=JccJ+CP2，所以当CP最小时，GP最小，而当4P,Q三点共线时，

CP最小，求出CP的值，进而由余弦定理求出DP,求出三角形。CP的外接圆的半径，由。。1，面

CDP,所以三棱锥5-DCP的外接球的球心为过底面三角形DCP的外接圆的圆心的垂线与中截面

的交点，由外接球的半径，和高的一半，由勾股定理可得R的值，进而求出外接球的表面积.

【解答】解：在长方体的底面矩形A8CD内一动点P,连接AP,

因为%1与平面A8CD所成角。为？L,AA\=2北,所以tanO="l=2Za=«,所以AP

3APAP

=2,

所以P点的轨迹为以A为圆心，以2为半径的圆，与底面矩形8c的交点为E,D,

即P的轨迹为圆弧加，连接AE,

3,

在△A8E中，cos/EA8=坐=2=3,所以s\nZDAE=cosZEAB=旦，所以arcsinZD4E=2,

AE2444

所以a=DE=2・NDAE，可得a为钝角,

所以sina=sin(2arcsinZD4E)—2,—3M7.,.,.cosa=-A,

4488

所以tana=-35;

当CiP的长度最短时，而JP=JcC[2+cp2,所以当CP最小时，JP最小,

而当A,P,Q三点共线时，CP=AC-AP=36产2=_1•最小，

3_

连接DP,由于cos/DCP=^=J2------^=3,

A。J22+(^)25

所以在三角形CDP中，由余弦定理可得DP=VCD2-K：P2-2CD-CP-COSZDCF=

KT"噜

Via

而sin/OCP=^,设三角形CDP的外接圆的半径为r,则2r=一比_10V7o.

5sinZDCP三~2~,

-5

所以r=叵,

4

由DDi面CDP,所以三棱锥Di-DCP的外接球的球心为过底面三角形DCP的外接圆的圆心的

垂线与中截面的交点,

设外接球的半径为R，则R2=»+(DD］.)2=也+3=空,

2168

所以外接球的表面积S=4irR2=型也

2

四.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在某次数学考试中，小江的成绩在90分以上的概率是X,在［80,90］的概率是0.48,在［70,80)的概

率是0.11,在［60,70)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.计算：

(I)x的值；

(n)小江在此次数学考试中取得so分及以上的概率；

(III)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率.

【分析】(I)分别记小江的成绩在90分以上，［80,90),［70,80),［60,70),60分以下为事件A,

B,C,D,E,它们是互斥事件，由题意得P(4)+P(B)+P(C)+P(D)+P(.E)=1,由此能求

出X.

(H)小江的成绩在80分及以上的概率为P(A+B),P(A+B)=P(A)+P(B),由此能求

出结果.

(III)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率为P(无)-1-P(E).

【解答】解：(I)分别记小江的成绩在90分以上，［80,90),［70,80),［60,70),60分以下为事

件A,B,C,D,E,它们是互斥事件，

由条件得：P(A)=x,P(6)=0.48,P(C)=0.11,P(D)=0.09,P(E)=0.07,

由题意得P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(£)=1,

；.x=l-0.48-0.11-0.09-0.07=0.25.

(II)小江的成绩在80分及以上的概率为P(A+B),

P(A+B)=P(A)+P(B)=0.25+0.48=0.73.

(Ill)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率为：

P(E)=1-P(£)=1-0.07=0.93.

18.某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被

接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.

(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？

(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少

【分析】(1)设事件”电话响第k声时被接”为4(k6N),事件4彼此互斥，设“打进的电话在响5

声之前被接”为事件4根据互斥事件概率加法公式，能求出打进的电话在响5声之前被接的概

率.

(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件4“打进的电话在响5声之前被接”的对

立事件，记为I根据对立事件的概率公式，能求出打进的电话响4声而不被接的概率.

【解答】解：(1)设事件“电话响第A声时被接”为Ak(k€N),

那么事件4彼此互斥，

设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,

根据互斥事件概率加法公式，得：

P(A)=P(A1UA2UA3UA4)

=P(4i)+P"2)+P(A3)+P(4)

=0.1+0.2+03+035=0.95.

(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A,

“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为I

根据对立事件的概率公式，得P(仄)=1-P(A)=1-0.95=0.05.

19.某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全

部介于50至至0之间,将数据按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作

出频率分布直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中。的值；

(2)若从高一学生中随机抽取一人，估计这名学生数学竞赛成绩不低于80分的概率；

(3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计高一年级学生本次数学竞赛的平均分.

0.0351....r1

0.030*.....1\

/If

II

0.010.：I-'

o.oo5.;：!:.

05060708090100成绩(分)

【分析】(1)由频率分布直方图的性质，列出方程，能求出。的值.

(2)抽取的样本中，成绩不低于80分的学生所占的比例是0.3,由此能估计这名学生数学竞

赛成绩不低于80分的概率.

(3)利用频率分布直方图能估计高一年级学生本次数学竞赛的平均分.

【解答】解：(1)由题意可知(0.005+0.030+0.035+0+0.010)X10=l,

解得a=0.020.

(2)抽取的样本中，

成绩不低于80分的学生所占的比例是(a+0.010)X10=(0.020+0.010)X10=0.3,

所以若从高一学生中随机抽取一人，

估计这名学生数学竞赛成绩不低于80分的概率为0.3.

(3)因为(55X0.005+65X0.030+750.035+85X0.020+95X0.010)X10=75,

因此估计高一年级学生本次数学竞赛的平均分为75.

20.图1,平行四边形A8c。中，AC±BC,AC=BC=1,现将△ADC沿AC折起，得到三棱锥D-ABC(如图

2),且DA_L8C,点E为侧棱DC的中点.

D

(1)求证：AE_L平面OBC；

(2)求三棱锥。-AEB的体积；

(3)在/ACB的角平分线上是否存在点F,使得。F〃平面ABE?若存在，求DF的长；若不存在，请说明

理由.

【分析】(1)推导出AEJLCD,AC1BC,ADLBC,得至ljBC1平面ACD,又AE_L.BC,则AE_L平面8CD,由

此能证明平面ABE_L平面BCD.

(2)由14XBC=14ACE，由求出三棱锥O-AEB的体积.

(3)取AB中点。，连接CO并延长至点F,使CO=OF,连接AF,DF,BF,推导出射线C。是

ZACB的角平分线，推导出OE〃DF,从而DF〃平面ABE,推导出BC//AF,AF1AD,由此能

求出DF.

【解答】解：(1)证明：在平行四边形ABC。中，AD=BC=AC,

VE是侧棱DC的中点，，AE1.CD,

V4C1BC,AD1.BC,§.ACC\AD=A,8C_L平面ACD,

平面AS,：.AELBC,

vecncD=c,平面BCD,

•”Eu平面ABE,平面ABE_L平面BCD.

(2)'：VE-ABC=VB-ACE，BC_L平面ACD,；.8C是三棱锥C-ABD的高，

VBC=1,CD=A/2>AE=返，

2

•Fb恭AEx|xCE^yx*x/X亚=J，

乙乙乙乙乙

...三棱锥D-AEB的体积为：

―|XBCXSAACE=1X1X1=^

(3)取A8中点0,连接C。并延长至点F,使CO=OF,

连接AF,DF,BF,

；8C=AC,射线C。是NACB的角平分线，

•.•点E是CD中点，：.OE//DF,

：OEu平面A8E,DFC平面A8E,；.DF〃平面ABE,

"：AB,FC互相平行，.•.四边形ACBF是平行四边形，；.BC〃AF,

'：DA±BC,：.AF±AD,

\"AF=AD=1,：.DF=V2-

21.已知△ABC的内角A、B、C的对应边分别为a、b、c,在①3cosC(acos8+bcosA)=csinC；②asinA+B

2

=csinA；③(sinB-sinA)^sidC-sinBsinA.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当

时，且△ABC的外接圆半径为1,求△A8C的面积S的最大值.

【分析】选①或选②或选③，利用正弦定理求得C=?L,再利用正弦定理可求c的值，利用余弦定理可

3

求ab的最大值，即可根据三角形的面积公式求解.

【解答】解：若选①J^cosC(acosB+bcosA)=csinC,

则由正弦定理得，VScosC(sin4cosB+sinBcos>4)=sinCsinC,

即J^cosCsin(4+B)=sinCsinC,可得J^=tanC,

又Ce(0,n),可得C=—；

3

若选②，则由正弦定理知，sinAsin2/■=sinCsin4,

2

即cos—=sinC=2sin—cos—,可得sin-=A,

22222

又ce(o,it),可得Ce(o,2L),解得C=_2L,可得c=2L：

22263

若选③，则由正弦定理得，(b-a)』c2-ab,

化简得。2+62-c2—ab,

999

所以cosC=a+b-c=旦=_1,

2ab2ab2

由ce(0,n),可得c=±；

3

因为△ABC的外接圆半径R=