2020-2021学年高一上第一月考试卷详解

三明一中2020~2021学年上学期第一次月考试卷高一数学

（总分150分，时间：120分钟）

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1.已知集合A昙{x|xW0}B昙-0,1,2*,贝心）

A.A:BB.B:AC.AUB昙BD.AnB>0

解析：选B

2.下列说法正确的是（）

A.N中最小的数是1B.若一。邨*,则adN*

C.若adN*,6GN*,则“+匕最小值是2

D.f+4=4x的实数解组成的集合中含有2个元素

解析：选CN是非负整数集，最小的非负整数是0,故A错误；当a=0时，一渡N*,

且。阵N*,故B错误：若aGN*,则a的最小值是1,又6GN*,Z?的最小值也是1,当a和b

都取最小值时，a+人取最小值2,故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的.故C正

确.

3.下列关于空集0的叙述：①060;②0€-0>;③0晟-0〉；正确的个数为（）

A.OB.1C.2D.3

【答案】B

【解析】解：0中没有任何中元素，000,故①错误；0O,故②正确；

V）*G0,故③错误；故正确的只有②；故选：B.直接根据0中没有任何中元素，。

是“♦的元素，且是-0♦的真子集即可判断.本题考查命题真假的判断，考查元素与集'、

空间和单元素集合关系等基础知识，是基础题.

4.己知"={2,3,45,6,7},M={3,4,5,7},4={2,4,5,6},则（）.

A.MP/V={4,6}B.M\JN=UC.（C“N）UM=UD.（CUM）C]N=N

【答案】B

5.下列命题为真命题的是

A.若ad>OEI,贝iJa>DB.若a>—2,则a团□>匚

C.若则a□D.若遇1,则a□

aaT

【答案】D

【分析】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，是基础题.分

别举例说明选项A,B,C错误；利用基本不等式的性质说明。正确.

【解答】

解：由a>□□,当0时，有a□,选项A南鼠

若a昙一1>一2,但一1日口□,选项8错误；

若3>3,不一定有a口，如3>一多当2>—3,选项C错误；

a□23

若遍正,则（前2（nf）2,即a口，选项。正确.故选：D.

6.设a€R,[JeR.则“a>，”是“|a|>|口|”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】本题考查充分条件，必要条件的判断，属于基础题.可以代入特殊值分别判断充分性和

必要性.

【解答]解：若a>□,取a答1,□聂-2,则|a||口|,则“a>口”是“间>|口|叼粉

条件；若|a|>|口,取a最一2,□茨1,则a口,则是'a>□"不必要条件；

则a€R,匚6R.“a>口"是"|a|>|口|"的既不充分也不必要条件，故选：D.

7.已知正实数x,y满足x+2y=2到厕x+y的最小值为（）

A.4B.J2C.工D.x/2+|

【答案】D

【分析】本题考查不等式的实际应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题.

把已知等式变形，可得上团1一昙1,再由xEly昙色国丫）・（£11_,展开后利用基本不等式

2yx2yx

求得最值.

解：由x>0,y>0,x02yM2xy,得「馥茨1,

2yx

贝ijxayM（x0y）-L112lE^y^3回在二工茨f团$7

2yx2y2x212yx2

当且仅当缰N即X昙*，y昙1国2时等号成立.

2yX22

故选D.

8.已知〃<0,关于浦勺一元二次不等式批2一（2+。卜+2>0的解集为（）

A.{x\x<~,或x>l}B.jx|^<x<l|

21f2

C.{x|x<l,或x>-，

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，先化简or2-（2+a）x+2>（W（ax-2）（x—

1）>0,再结合a0可解得答案

【解答】解：由3（：2-（2+。）》+2>0得侬-2★—1）>0,

又因为a0,故可得2x1,故选3

a

（11、

9.设w/?+,（x+y）—+—Na恒成立，则实数〃的最大值为（）

I》y）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】本题考查基本不等式求最值以及不等式的恒成立问题，属于基础题.

先求出x,y€R伍时，（xmy）（W）的最小值，即可得到。的最大值.

Xy

【解答】

解：因为x,yeRa时，（Xl2）y）（jl2）「）aa恒成立，

xy

所以Kx团y）（）团：）］m域-a,

xy

因为x,y6R*贝lj（x国y）（2团［）昙2团』圆一"2四阵昙4,

xyXyyjxy

”“当且仅当x晟y时取得，所以［（xEJy）（：l2：）］m施昙4

xy

所以a"4,即实数”的最大值为4.故选B.

10.已知AU-0,1,2,3*,且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有（）

A.11个B.12个C.15个D.16个

【答案】B

3

【分析】本题考查了子集的定义，解题的关键在于对“4中至少有一个奇数”的理解，进而

分“A中有1个奇数或2个奇数”两种情况讨论.

根据题意，分A中有1个奇数或2个奇数两种情况讨论，利用列举法即可求出答案.

【解答】

解：根据题意，A中至少有一个奇数，包含两种情况，A中有1个奇数或2个奇数，

若A中含1个奇数，有-3>，-0,l»，-1,2»,-0,3〉，-2,3>,-0,1,2♦，F,2,3»,共种

A中含2个奇数，有T,3*,-0,1,3*,-4,2,3*,-0,1,2,3*,共4种，

则这样的集合A共有8团4茨12种情

况.故选B.

11.下列命题中，真命题的是()

A.a团□昙0的充要条件是3茨1

B.a>1,□>1是aD>1的充分条件

C.命题“ExeR,使得x2圆xEll0”的否定是“*xeR都有x2Elxia1W0”

D.“x>1”是“x2团x-2>0”的充分不必要条件

【答案】BCD

【分析】本题主要考查命题d的真假的判定，以及充分、必要条件，含有一个量词的命题的

否定，属于基础题.逐个进行判断即可.

【解答】

解：A.a昙0,口昙0时，不能得a昙1，一由'昙1得a昙口，所以A错误；

□□

B.a>1,□>1,贝I]aO>1,正确；

C.命题“EX6R,使得x2团xEll0”的否定是''池6R都有x2团xEI1<0"，正确;

。.解x2|2x-2>0得x>1或x-2,所以“x>1”是“x2团x-2>0”的充分不必襄

件，正确.故选BCD.

12.对任意A,B<R,记AB"x|xeAUB,x0AEBh并称AB为集合A,8的寸

称差.例如，若A茨T,2,3>,B茨T,3,则AB昙-L,4*,下列命题中，为真命题是

()

A.若A,BSR且AB昙B,则A罢。

B.若A,BWR且AB昙0,则A昙B

C.若A,BWR且ABWA,则AWB

D.存在A,B<R,使得AB茨RARB

【答案】ABD

【分析】本题主要考查新定义，考查了交、并、补集的混合运算，属于较难

题.根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可.

【解答】解：对于A选项，因为AB昙B,所以B昙f|xeAUB,x0AnB>,所以AWBR8

中的元素不能出现在ACB中，因此A品。，即选项A正确；

对于B选项，因为AB昙0,所以0晨f|x€AUB,X0ACB>,即AUB与AnB是相的，

所以A装B,即选项8正确；

对于C选项，因为AB<A,所以f|x€AUB,x0AnB>WA,所以B<A,即选项C

错误；

对于。选项，设A薪x|x}2,B最x[x>],则AUB昙R,ACiB铁x|lx}2,

所以AB昙xW'l蜘笈2,XRA茨X|X42,RB较x|x"l{,}

(RA)U(RB层网x"l或x“2J(RAflGB能0,所以RARB晟刈x"l或x=2,)因

此AB昙RARB,即。正确.故选：ABD.

二、填空题(本大题共4小题，共20分)

13.已知集合4={0』},B={0,1,2,31，则AUB中的元素个数为.

解析：4

14.设集合A={1,-2,a2~l],8={1,a2~3a,0},若A=3,则实数a=.

cr-1=0,

解析：由集合相等的概念得、解得a=\.

(r—3a=-2,

答案：1

15.已知a>3,贝二团a的最小值是，此时a聂_____.

a—3

答案：7,5

16.给出下列三个论断：①a>口；②%③a0且口0.

a

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：.

【答案】若a>□,a。且匚0,则i_1或者若I1,a0且口0,则a>□.

aa□

【分析】本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质是解决本题的关键.难度不

大.根据不等式的关系，结合命题关系进行判断即可.

【解答】

解：若①a>U;③a0且口。，则0>a>□，则②1_1成立，即真命题为：若a>口

a

a0且口。，则1_1,若1_%a0且口0,则a>口成立j.即21；a0且口0,

a□a□a□

则a>1是真命题，

故答案为：若a>口，a0且口0,则i_】，或者若1_1,a0且口0,则a>口

a□a

三、解答题(17题10分，18-22题每题12分，共70分)

17.已知a,CGR0,求证：a2Q2团a2因于<a□(a回口④

【答案】证明：由均值不等式得a2C12因a2<2a2d,a2C]2团[2<2Wa,手团a2〈田.三式

本助畸2a2一】202a202口2<2a2OE2aD2团2a口昙2a(aEl□E1).

所以a2|J20a2aO2<al(a0ri01).

【解析】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查综合法，属于中档题.利

用均值不等式，利用综合法证明即可.

18.已知集合A晟f|x2-2x-3<0>,B昙r|xG

(1)求集合4(2)若全集U昙R,求(uA)UB.

【答案】解：(1)解不等式x2—2x—3W0,得x4-l或xW3,

集合A昙f慎2-2x-3W0>最f|xW-1或x<3>.

(2)集合A昙f|xW-l或xW3>,全集U装R,CuA昙x3*,

B晟(uA)UB晟f[x>-lA.

【解析】(1)解不等式xz—2x—3S0,能求出集合A.

(2)由集合A昱或x43♦.全集U昙R,求出CuA昙f:|-lx3*,再由B晟

-K|X<1>,能求出(UA)UB.

本题考查集合的求法，考查补集、并集的求法，考查一元二次不等式、补集、并集等基础知识,

考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

19.已知集合M晟f|lx6>,N茨f|4—mxm>.

(1)当m昙4时，求MC(RN)；(2)若MUN芸M,求实数巾的取值范围.

【答案】解：(1)当m昙4时，N装f|0x4),

所以RN晟・x|xW0本W4♦.又因为M晟咏|1x6>,所以Mn(RN)最・x|4"x何2)

由MUN装M,可得N<M.

①当4-m<m,即mW2时，N昙0,满足题意;

②当NG0,即m>2时，由NWM,可得｛:，解得2m<3.

综合①②，可得实数〃?的取值范围为(-8,3].

【解析】本题考查集合的交集、并集、补集的计算及包含关系，集合关系中参数的取值范围，属于

基础题.

(1)当m芸4时，求出N,然后利用补集、交集定义求解即可；

(2)若MUN茨M,可得NWM.则分集合N为空集和非空集两种情况讨论，求实数m的取

值范围.

20.本题12分)设函数f(x)>ax20(3a-l)x0a(aeR).

若“Ex€R,f(x)0”是假命题，实数a的取值范围为集合M,求M；

【答案】解：若“ExCR,f(x)0”是假命题，

可得/xGR,f(x)<0恒成立，即ax2团(3a—l)x国aW0当

a昙。时，一xWO,EPx<0,不恒成立；

当a0时，f(x)的图象开口向下，f(x)WO不恒成立；

当a>0,且AWO,即(3a-1)2—4a2W0,解得所以M<-^|i<a<l>.

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21.已知函数f(x)Mx213(3-a)x0202a121□,a,D6R.

(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为f|x-4或x>2*,求实数a,b的值；

(2)若关于x的不等式f(x)12日□的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围.

【答案】解：(1)由题可知，一4和2是方程x2团(3—a)x回2回2a团口悬0的两根，

(一4团2昙一(3—$，解得/果1.

|一4x2昙2团2a团.I.昙一12

(2)由f(x)1212口得，X?回(3—a)x!32a—100,

令h(x)昙x2团(3—a)x02a-lOM(x-2)[x-(a-5)],

h(2)茨0,h(x)0的解集中的3个整数只能是3,4,5