2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷（沪教版）02卷（全解全析）

2020-2021学年下学期期末原创卷(沪教版)02卷

高一数学•全解全析

I

1.—

4

【分析】

由正弦型函数的周期公式可求得正实数。的值.

【详解】

由2^=4万得，a——.

2a4

故答案为：

4

2.偶

【分析】

根据奇偶性的定义判断即可；

【详解】

解：因为y=/(x)=xsinx+x%os2x,定义域为R,

f(-x)=-xsin(-x)+(-x)2cos(-2x)=xsinx+x2cos2x=/(x),所以丫=/(力=八山工+/852》为偶函数,

故答案为：偶函数

3.1

【分析】

根据复数与共辆复数的关系即可求解.

【详解】

—1—1—1

因为区|=卜2|=23卜1,所以Z[Z]=忆「=1则Z|=—,同理有Z?=—,Z3=~

Z]z2z]

ZjZ?Z3-------1--------1—

IZ3Z2Z]/

由Z,+Z遥3+ZsZ]

4+Z2+Z3Z}+z2+Z3

Z|+Z2+z

Z3Z?Z|Z3+Z2+ZIZ|+Z2+z?3

Z1+Z2+Z34+Z2+Z34+Z2+Z3区+Z2+Z3I

故答案为：1

4.②③④

【分析】

利用复数的四则运算以及复数模的运算逐一判断即可.

【详解】

①，若取a=l+i,/3=\-i,止匕时修+尸？=2i-2i=0,①不正确；

②，设2=》+eR）,|z21=|x2-y2+2xyz|=-y2）'+4x2y2=x2+y2>

|zf=（jx2+y2）=/+/,故卜2卜目2,②正确；

③，设Z］=玉+yz•（玉，ywE）,z2=x2+y2i（x2,y2eR）,

则4=不一兆%eR）,z2=x2-y2i（x2,y2eR）,

所以Zl-z2+z1-z2=（%j一卯）（w+巾）+（玉+卯）（12—归）

=2（内々+y%），所以zi,Z2+Z］『2是实数.

④，设％=玉+卯（石,％wR）,z2=x2+y2i（x2,y2&R）,

由复数的几何意义可得函=（3，X），瓦=（%，%）

且砺_L而，即砺•砺=Z/Z2=（）

22

忆+=zj+z,+2Z1•z2=zj+z2.

2

|zj—z,|'=zj+z；-2Z1-z2=zj+z2,

所以［Z］+Z2（=2］一zj,Hp|z1+z2|=|z,-z2|,④正确.

故答案为：②③④

D.-----

4

【分析】

利用复数的乘法运算以及共辄复数可得复数z在复平面上对应的点，进而求出面积.

【详解】

设2=%+算（%,了WR）,

则x2—y2+2xyi=x—yi,

2xy=-y

f1

而zoO,所以满足复数z=Z在复平面上对应的点为顶点

Z

故答案为：巫

4

6.④

【分析】

由向量意义、向量数量积及运算法则逐一判断.

【详解】

因为两个非零向量£、各垂直时，a-b=0»故①不正确；

当aw0，时，a.。.c、=0，但不能得出。=c，故包）不正确；

向量（a-b）c与£共线，a（6c）与公共线，故③不正确；

可弛.力平.矶=0・矶矶£河=0,故④正确.

故答案为:④

7.①③④

【分析】

根据向量积的分配律，可判定①正确；由向量的垂直的条件，可判定②错误；根据向量的三角形法则，可

判定③正确；根据向量的运算法则，可判定④正确.

【详解】

根据向量积的分配律，可得①正确；

因为［(另•c)•Q—(c•a)•司•c=(尻c)•(q•c)一(c•a)•(万・c)=0,

所以不与G垂直，所以②错误；

因为2万不共线，所以兄|麻-4组成三角形三边，所以同一代＜|£—耳成立，所以③正确;

由(3a+2b)(3a-2垃=9片—4不=9—4怀，所以④正确.

故答案为：①③④.

V13

【分析】

—.—.3

本题首先可以根据AB和AC的夹角为60°得出A6・AC=万，然后根据。为BC中点得出

AO=^(AB+AC),最后根据而2=；(而+啊2即可得出结果.

【详解】

因为而和林的夹角为60。，所以福?恁由第gcos600=l仓内|=j,

因为0为8c中点，所以血=g(而+/)，

则桁=1(而+硝2=~(AB+AC+2^BAC]=-(1+9+3)=—,

)4V>4

…4,V13

故答案为：—

2

9.奇函数

【分析】

根据奇偶性的定义判断即可；

【详解】

解：函数的定义域为xeR关于原点对称

f(-x)=Jl+sinx-J1-sinx=-/(x),所以此函数为奇函数;

故答案为：奇函数

10.arccos——或二r・

143

【分析】

777JTTT

利用面积公式可得以8=——或B=—，当8=一时由余弦定理可得6,根据三角形的三边长可得答案

333

【详解】

由已知得S=—«csinS=-x8xl2sin5=2473,

ARC22

所以sin6=Y3,因为0＜3（乃，所以8=2或5=二，

233

JT1

当3=一时，由余弦定理得〃=/+，一2讹以）53=64+144—2x8xl2x—=112,

32

所以。=4^/7，得c=12＞。=4\万＞a=8，即角C最大，由余弦定理得

「h2+a2-c2112+64-144=^~，所以C=arccos，^；

cosC=--------------=-----------------

2ab2ab1414

27r

当3时，B最大.

3

arccos也或21

故答案为:

14-3~

【点睛】

本题考查解三角形问题，关键点是熟练掌握面积公式、余弦定理，考查了学生的计算能力.

7T

11.—

3

【分析】

先将已知式整理得—咐222再利用余弦定理求结

（a+3（/+〃-c2=0,ma+b-c=ah，cos/C,

合范围即得结果.

【详解】

■2得，33CCQCC3

由立3a+>‘-c=2(〃+匕-)=(+/?)2-

a+b-c

a3+b3=(a+^)c2,

...(々+人)(々2+〃2-ab)=(々+〃)02,

+/?)[^a~+b2—c2—cib^=0,而a+Z;>0,

t^a2+b2-c2-ab=0^B|Ja2-\-kr-c1=ah»

cosZC=a+b~c=—=1,而口的。中，NCw（O,乃），故NC=X.

2ab2ab23

TT

故答案为：一.

3

12.源

3

【分析】

由已知及余弦定理可求。的值，再由正弦定理计算可得.

【详解】

解：由余弦定理可得：a2^b2+c2-2bccosA^l3>可得：”板,

a+b+c_a+b+c-2R-a-

-

由正弦定理可得：sinA+sinB+sinC«+A+_L-一sin4-sin60°一3，

2R2R2R

故答案为：2叵.

3

13.B

【分析】

设2=%+耳（匕丁€/?）,利用复数模的运算可得Z2—Z+；=；—X,再由即可求解.

【详解】

设2=%+歹（%,了CR）,

II1221

VZ=->x-+y-=一

1124

21

z-z+-Z——+/=--%

42-2

11

——<x<—,

22

当X=-《时，Z2-Z+!有最大值1.

24

故选：B

14.B

【分析】

ITTSTT

首先根据sinx=—可得：x=24"+V(ZeZ)或x=2七r+'(ZeZ),再判断即可得到答案.

266

【详解】

I7154

由sinx=—可得：x=2女乃+—(Z£Z)或x=2左〃+—(&cZ),

266

7t1

即x=2左乃+—(ZGZ)能推出sinx=—,

62

171

但sinx=—推不出x=2Z»+—(AGZ)

26

1jr

飞也彳=一"是"犬=24%+一伏€2)"的必要不充分条件

26

故选：B

【点睛】

本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.

15.D

【分析】

由已知/4ZutanAXanb，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角

函数的性质再进行化简即可判断.

【详解】

a2:b2=tanA:tan8，

sinA

，一-sin2AtanAc；RsinAcosB

由正弦定理可得，0三=-JUnLg.一

sin"BtanB=smB=sin8cosA

cosB

sinAsinB^O，

sinAcosB

/.----=----,

sinBcosA

sinAcosA=sin3cos3即sin2A=sin25,A,5£(0,;r),A+3£((),〃)，

2A=23或2A+23=%,

IT

.1A=B或A+B=一,即三角形为等腰或直角三角形，

2

故选D.

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点.

16.D

【分析】

去绝对值号转化为分段函数，即可求出值域.

【详解】

,,f0,sinx>0

因为y=sinx—|sinx|八，

[2sinx,sinx<0

由正弦函数的值域可知一2<y<0,

故选：D

【点睛】

本题主要考查了正弦函数的值域，考查了分段函数值域的求法，属于中档题.

17.(1)函数的最小正周期为T=8；(2)函数g(x)的最大值为由.

2

【分析】

JTVJTJTV-

(1)由已知中函数/(x)=sin(上一一)-2cos2—+1,利用倍角公式，和差角公式，可得函数的解析式

468

化为正弦型函数，进而求出AM的最小正周期；

(2)由(1)中所得函数/W的解析式，由y=g(x)与y=/(x)的图象关于1=1对称，根据函数图象对

称变换法则可得y=g(x)的解析式，从而求出函数的最值；

【详解】

解：(1)/'(X)=sin—xcos--cos—xsin--cos—x

46464

=—sin—x--cos—x=\/3sin(—x-—)

242443

T=—=8

故/(x)的最小正周期£

4

(2)在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),

它关于X=1的对称点为(2-x,g(x)).

由题设条件y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=l对称，

.•.点(2-x,g(x))在y=/(x)的图象上，

从而g(x)=/(2-x)=Gsin[?(2-x)—(]=道sin[]-(x-

e।「八41一554F5TV7万]一，.(兀5万、「11'1一1/\G6

因为XE0,—，所以工工+丁£—,--，所以sin+w-—,—，所以g(x)w---

3J46|_6oJ1467L22J22

故g(x)=—

0\/max2

18.(1)AB=2Hsing,AD=&Rsin(?-■|)(2)当6=7时，面积最大为(血―1)农？

【分析】

⑴由题目已知可求出O£J_AB且NA0E=N80E=m，在直角三角形中，结合三角函数值可求出

AB=2Rsin?；由题目已知可求出NMOE=NNOE=工，进而可知OF=Hsin目，结合OE=Hcos2

2422

即可求出A。的长度.

⑵由⑴可求出面积的表达式，结合二倍角公式以及辅助角公式可求S=0R2sin[e+1]-R2,结合

八(c7T

6>e0,-即可求出面积的最大值.

I4

【详解】

n

⑴解：因为E为45的中点，OA=OB=R,所以。石，AB且乙4。£=/6。£=—,

2

nn

所以AB=2AE=2AO・sinNAOE=2Rsin—,OE=AO-cosZAOE=Reos-,

22

因为AB〃MN,所以OELMN,即NMOE=NNOE=%,则。/=。/=AE=Rsin',

42

所以A£)=OE—OF—/?cos--/?sin—=V27?sin

22

(2)由⑴知，矩形ABC。的面积S=A3-A£>=2Hsing•收Hsin[f—g]

2142J

=/?22sincos-2sin2=R2^sin^-2--~=五R?sin^+^-/?2,

由题意知，,所以当6=5时，S111ax=&R2-R2=(&T)R2.

【点睛】

本题考查了三角函数值的定义的应用，考查了辅助角公式，考查了二倍角公式，考查了正弦型函数最值的

求解.

19.（1）证明见解析；（2）,5J.

【分析】

（1）分析得出=/+〃=],利用复数的除法化简复数M,可证得结论成立；

（2）分析得出一计算得出卜+21+2卜8/-12。+5,利用二次函数的基本性质可求得

,+2^+2]的取值范围.

【详解】

（1）由题意可得，=/+。2=[,

z+1a+1+bi（。+1+万）（。一1一姐（a2-^-2bi+b22bi

所以,U===~~r-"~~，

z-1a-l+bi（4z-l+/?z）（6r-l-/?z）+b~（6Z-1）~+b~

z+1

则历之），因此，U=——是纯虚数；

IIZ-1

（2）・.,2+2乞+2=。+6+2（。一切）+2=（3。+2）—初，

3

所以，|z+2z+2|2=（3«+2）2+/?2=9a2+12t7+4+/?2=8«2+12a+5=8Q+一+

4Ir

因为4+从=1，贝Uh?=1-储NO，解得一iWaWl,：同。1，则一

所以，|z+2N+2「=8a+—e—,25，因此，|z+2z+21G•

11I4；212J11L2）

【点睛】

关键点点睛：本题考查复数模的取值范围的求解，解题的关键在于将复数的模转化为关于"的二次函数的

值域来求解，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域的求解.

___13-

20.OM^-a+-b

77

【分析】

直接运用向量的共线关系建立方程组求解：

【详解】

___uuu*uuruinnrir

由4M,D二点共线，DM=?!DA»可得OM=2OA+（1—几）。。=4。+（1—4）—b

2

uuuruumuunirr

由C,M,B三点共线，而7=〃而，可得OM=〃OC+(1-〃)=+

4=二

4

,,.解得:

］一

----4=］1一〃

I2*

uuur1r3r

:.OM^-a+-b

77

【点睛】

思路点睛:本题考查平面向量基本定理,要合理三点共线的充要条件:若点A,B,C共线则OA=AOB+^iOC

（九〃为实数），则2+〃=1,考查学生的转化与划归能力，属于基础题.

21.（1）c=V6+V2（2）见解析（3）见解析

【分析】

（1）先根据正弦定理得再根据余弦定理求AB的长；

（2）先根据余弦定理得再根据正弦定理放缩证明结果；

（3）先根据正弦定理讨论三角形解的个数，再根据余弦定理求C.

【详解】

万

（1）由正弦定理得b=2Rsin8=2x2x、一=20