2020-2021学年高二数学下学期期末测试卷（沪教版）02卷（全解全析）

2020-2021学年下学期期末原创卷(沪教版)02卷

高二数学•全解全析

1.1

【分析】

把2+i代入方程，化简得2m+〃+3+(4+机»=0,利用复数相等定义得解.

【详解】

Q2+i是关于%的实系数方程£+〃a+〃=o的一个根，

(2+z)2+/〃(2+i)+〃=0,二2m+〃+3+(4+m)i=O

2m+n+3=Q[m=-4

VV

[4+/w=0，[n=5

m+n-1

故答案为：1

【点睛】

求解与复数概念相关问题的技巧：

复数的分类、复数的相等、复数的模及共规复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关

概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即。+次(。，he/?)的形式，再根据题意求解.

2.±1

【分析】

利用两直线平行的公式：可以建立等量关系，从而求出结果.

【详解】

解：z2,所以lxl—a2=0,解得：a=±\,检验，当。=±1时，4与4不重合，满足题意.

故答案为：±1.

【点睛】

本题考查两条直线平行的直线方程的系数关系，属于基础题.

□3.------1

169

【分析】

根据双曲线的定义，可判定尸点的轨迹为双曲线，按照双曲线的概念即可求出轨迹方程.

【详解】

解：B41Tp611=8,所以P点的轨迹是以AB两点为焦点，以8为实轴长的双曲线.即2。=8,2c=10,

所以a=4,b=3,所以双曲线的方程为工-二=1.

169

22

故答案为：———=1.

169

【点睛】

本题考查定义法求双曲线的标准方程，熟记定义是解题的关键，本题属于基础题.

4.arccos-----

10

【分析】

连接用AgC,可得直线AC与4。所成的角为NgC4,利用余弦定理求cosNgC4即可.

【详解】

解:如图，连接4AB

由长方体的结构特点可知B<//A。，

则直线AC与4。所成的角为/々CA（或其补角）,

因为81A=V22+1=\/5,B[C=A/1+1=V2,AC=V22+1=小>

町2+4。2_做22+5-5_V10

在A4CA中,cosN4c4=

2BC,•AC2石xa-10

VIo

ZBJCA=arccos-----

10

B

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，关键是要通过平移找到异面直线所成的角的平面角，是基础题.

5.4

【解析】

【分析】

求出抛物线的焦点坐标，然后求解对称轴垂直的弦长.

【详解】

抛物线y2=4x的焦点(1,0),

可得：y2=4,解得y=±2.

可得：对称轴垂直的弦长为：4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力.

6.(5,4-3)

【分析】

推导出D4=5,DC=4,Z)r>|=3,从而8(5,4,0),0,(0,0,3),由此能求出“的坐标.

【详解】

解：以长方体A5CD-A与G"的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角

坐标系，

・•・西的坐标为为,4,3),

DA=5,DC=4,DD\=3,

B(5,4,0),D](0,0,3),

a分的坐标为(5,4,-3).

故答案为：(5,4-3).

【点睛】

本题考查向量的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5

乙9-

【分析】

利用组合知识，先得到从编号为1，2,…，9的9个球中随机摸出两个球的基本事件总数，若两数之和为

奇数，则一奇一偶，再得到两个球编号之和为奇数其基本事件数，代入古典概型的概率公式求解.

【详解】

从编号为1，2,…，9的9个球中随机摸出两个球的基本事件总数为：Cl=36,

若两数之和为奇数，则一奇一偶，

所以两个球编号之和为奇数的基本事件数为：C；・C：=20,

205

所以两个球编号之和为奇数的概率是

故答案为：—

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率以及组合问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.

8.15

【分析】

求得X?的系数，由此求得生的值.

【详解】

依题意可知。3是V的系数，所以。3=仁+仁+仁=1+4+10=15.

故答案为：15

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式有关计算，属于基础题.

q近

9.——a

2

【分析】

根据勾股定理可以计算出DB「BC,这样得到AOC。是直角三角形，利用等体积法求出点A到B©D的距

离.

【详解】

解：如图所示,

在三棱锥用-ACD中，是三棱锥用一AC。的高，AB=AD=BBi=a,

在△4C。中，耳。=及a,DC=a,4。=Ga,所以gCD是直角三角形

==X

'1'^Bj-ACD^A-ByCD'SAfl|CDX61=CT>设点A到B]CD的距禺为4/

,1121拒2/

..-x-ci•a=­x—ci,d>

3232

,母a

d=-----

2

故A到平面AB。的距离为叵

2

故答案为：@

2

【点睛】

本题考查了点到线的距离，利用等体积法求出点到面的距离.是解题的关键.

10.1+72

【分析】

把直线和圆的参数方程都化为普通方程，由直线与圆相切可得d=r,故可求出。的值.

【详解】

x=l+cos。

解：将圆的参数方程〈.八（。为参数）

y=sm，

化为普通方程是（工-1）2+/=1；

将直线的参数方程《x=a-t。为参数)

{y=t

化为普通方程是x+>=a；

由于直线与圆相切，则可草图如右：

所以圆心C(1,O)到直线的距离是4=r,

即牛%:

解得11一。|=V2,

则。="$/^+1,或a=l-\/^；

故答案为：1±&

【点睛】

本题考查参数方程的应用问题，应先把参数方程化为普通方程，再利用直线与圆的位置关系进行解答，属

于基础题.

11.V2

【分析】

如图所示，过点£作£M_LA6,垂足为由于E是母线的中点，圆锥的底面半径和高均为2,可

得OM=EM=1.0E=8.在平面CED内建立直角坐标系.设抛物线的方程为V=2px(p>0),F为

抛物线的焦点.可得C(0,2),代入解出即可.

【详解】

解：如图所示，过点£作EMLA3,垂足为用.

是母线的中点，圆锥的底面半径和高均为2,

;.OM=EM=l.

:.OE=>/2.

在平面CEO内建立直角坐标系.

设抛物线的方程为丁=2px(p>0),F为抛物线的焦点.

因为C(0,2),

(fj、

：.4=2鬲,解得〃=行.F3,0.即点F为OE的中点,

k27

•••该抛物线的焦点到其准线的距离为夜，

故答案为：y/2.

【点睛】

本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能

力，属于中档题.

12.12

【分析】

首先可以判断A、P、8三点共线，设A5的中点为分别过A、M、8作直线3x+4y—25=0的垂

线A£、MG、BF，根据点到直线的距离公式可得AE=8*+?-25|,8/=正言二网，即

।对二?二2'+13泡土?2二251=2MG,再判断M的轨迹，从而求出用G的最值，从而得解;

【详解】

解：设圆的圆心为C,因为丽=力而（丸6/?）,所以A、P、3三点共线，

设AB的中点为分别过A、M、8作直线版+4)」25=0的垂线AE、MG、BF，则

AE」3三±4M二25],即=13三,4/二25|,mMG^AE+BF,所以

55

13七+4y,-25113x,+4y2-25|_

।-Z.1VL\J,

55

因为“是AB的中点，所以"PLMC,所以M在以PC为直径的圆上，且PC=2,即半径为1,圆心

为坐标原点。，点。到3x+4y-25=0的距离d=J—!—=5,

732+52

所以(MG)心=5+1=6

所以13吐？二25|+国二户25|的最大值为］2

本题考查点到直线的距离公式的应用，直线与圆的综合应用，属于中档题.

13.C

【分析】

按照选2台甲型1台乙型，或是1台甲型2台乙型，分别计算组合数.

【详解】

由题意可知可以选2台甲型1台乙型，有C：C；=30种方法，

或是1台甲型2台乙型，有C：C；=40种方法，

综上可知，共有30+40=70种方法.

故选：C

【点睛】

本题考查组合的应用，分步，分类计算原理，重点考查分类讨论的思想，计算能力，属于基础题型.

14.C

【解析】

【分析】

通过“垂直于同一直线的两条直线的位置关系不确定"可判断A是否正确；通过"底面各边相等，侧面都是矩

形的四棱柱底面不一定是正方形"可判断B是否正确；通过"两条异面直线的公垂线是唯一的，所以经过空间

任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条”可判断C是否正确；通过“经过球面上任意两点的大圆有

无数个”可判断D是否正确。

【详解】

A项：垂直于同一直线的两条直线不一定互相平行，故A错；

B项：底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故B错；

C项：两条异面直线的公垂线是唯一的，所以经过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，

故C正确；

D项：过球面上任意两点的大圆有无数个，故D错，故选C项。

【点睛】

本题考查了命题真假的判定以及解析儿何的相关性质，考查了推理能力，考查了数形结合思想，属于基础

题，在进行解析几何的相关性质的判断时，可以根据图像来判断。

15.B

【分析】

试题分析：如图,

p

c

B

几何体是四棱锥，一个侧面PBC_L底面ABCD,

底面ABCD是正方形，且边长为20,

那么利用体积公式可知V=-x20x20x20=^^cm3,

33

故选B.

考点：本题主要考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用.培养同学们的空间想象能力

和基本的运算能力.

点评：解决该试题的关键是由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数

据计算其体积.

16.C

【解析】

【分析】

本题由题意可知，首先可以根据a、b中一个是124,得出另一个是：5X124-125-124-121-127=123,

由此能求出样本方差，从而能求出该样本的标准差。

【详解】

从一批苹果中抽出5只苹果，它们的质量分别为125、a、121、b、127(单位：克人

该样本的中位数和平均值均为124,

所以a,b中一个是224,

另一个是：5X124-125-124-121-127=123,

所以样本方差/=^(12+O2+^+12+^)=4,

所以该样本的标准差s是2,故选：Co

【点睛】

本题考查样本的标准差的求法，考查平均数、中位数、方差、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题，本题主要是能够读懂题目，能从题目所给条件中找出a、b的值。

17.(1)S=(2x2+2x3+2x3)x2=32,

V=2x2x3=12

'尺

(2)Z.EBF=arctan-----

10

【解析】

试题分析：⑴根据题意可得：在RtAM。中，高例=JAQ2_A02=3

S=(2x2+2x3+2x3)x2=32

V=2x2x3=12

⑵过E作AO，垂足为尸，连结6/，则石下平面A8CO,

.BEu平面ABCD，EFYBF

在RtABEF中，ZEBF就是BE与平面A3CD所成的角

•;EF±AAA4,±AZ),EF||A4,,

又E是4。的中点，所是AA4Q的中位线，

13

EF=-AA.=-

22

在RtMFB中所=y]AF2+AB2=712+22=

•・tan/£姓=』+石=述

210

./C-DC3A/5

…AEBF=arctan-----

10

考点：线面角，棱柱的体积

点评：解决的关键是对于几何体体积公式以及空间中线面角的求解的表示，属于基础题.

18.(1)5；(2)5VL

【分析】

(1)先根据体积求高，再根据母线与高的关系求结果；

(2)先确定△OLB的面积最大值何时取得，再根据勾股定理求A3长度.

【详解】

（1）因为圆锥的底面半径为4,体积是164，所以16%=，〃•乃・42，〃=3

3

因此母线长为炉不=5；

125

(2)△的面积S=-QAO8sin/AOB=—sinZ4O8

22

37L

因为ZAOBe（0,2arcsin-],所以当ZAOB=-时、△OAB的面积取最大值，此时A8=5近

【点睛】

本题考查圆锥的体积以及截面积，考查基本分析求解能力，属基础题.

、11、13

19.(1)一；(2)—

1236

【分析】

（1）先根据方程组有解得a匕关系，再确定a,b取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果;

（2）先求方程组解，再根据解的情况得a,。关系，进而确定a力取法种数，最后根据古典概型概率公式

求结果.

【详解】

ax+by=3ab

（1）因为方程组《c-c有解，所以，w02a工人

x+2y=212

a—2a=3311

而b=2a有，汽,,,这三种情况，所以所求概率为1-——

b=2)=4。=66x612

6—2b

ax+by=3

(2)/2af2a_b*0

x+2y=22a-3

2a-b

因为xO>0且%>0,所以2。一。？0,二^>0,-^>0

2a-b2a-h

a-1（a>213n

因此c，｛,c，即有3+5x2=13种情况，所以所求概率为——=，

b>3b<36x636

【点睛】

本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.

20.(1)210-0；(2)C案(2x严，C器(2x严；(3);皿

【分析】

(1)根据二项展开式3+勿"直接得二项式系数之和为2"，利用赋值法求二项展开式中的系数之和；

(2)根据二项展开式通项公式得系数，再列方程组解得系数最大的项；

(3)先根据二项式定理将“展开成整数与小数，再根据左奇偶性分类讨论元素个数，最后根据符号数列

合并通项.

【详解】

(1)=(1-xy°.•.二项展开式中的二项式系数之和为，°，

令尤=1得二项展开式中的系数之和为(1-1严=0；

200rr

(2)Q(l+2x)5=(1+2x)Tr+i=C嬴-2x

设二项展开式中的系数最大的项数为r+l,r£[0,2001/wN

'C^-2r>C^-2r+lfr+l>2(200-r)

.-.133<r<134,,-.r=133,134

0co•才"蓊2"12(201-r)>r

因此二项展开式中的系数最大的项为C器(2x)”3,C案(2x)”4

2?

(3)d,=—x4%|=—x4”任Z

k55

<A11A

dk=-x(5-l/=-X(5-C'.5-'+L+C*-X5X(-1)*-)+-(-1)

o

=2[5A-'-C；,5i-2+L+C*-'x(-l/-']+-(-l)A

所以当女为偶数时，集合*14<x<4+”xeZ｝的元素个数为

=215*-C+V+L+C3x(-1)*]-2[5*T—C[5k-2+L+x(-1尸]-i

=-1[(5-l)t+1+1]--1[(5-1)A-1]-1=-4*

当上为奇数时，集合*14<x<4+”xeZ｝的元素个数为

AA

=2[5-C；+I5-'+L+C3X(—1为一2[5*T-C；5=+L+C*-'x(-l/-'j+l

=-1[(5-l)/：+l-l]-y[(5-l)*+1]