2020-2021学年高一年级下册期末考试数学试卷及答案解析

2020-2021学年高一下期末考试数学试卷

一.单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1.已知复数z满足iz=\-i,则，=（）

A.-1-iB.1-iC.-1+zD.1+i

2.点产是△45C所在平面上一点，若T4P=2"TB+1豺TC,则△A3P与AACP的面积之比是

（）

11

A.3B.2C."D.一

32

3.已知腰长为3,底边长2为的等腰三角形ABC,。为底边BC的中点，以A。为折痕，将

三角形A3。翻折，使则经过A,B,C,。的球的表面积为（）

A.10TTB.12irC.16TTD.20K

4.某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100

米跑合格的人数分别为30和35,两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试

是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四

种）抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（）

A.1AB.2人C.5人D.6A

5.某医院治疗一种疾病的治愈率为50%,下列说法正确的是（）

A.如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈

B.2位病人中一定有1位能治愈

C.每位病人治愈的可能性是50%

D.所有病人中一定有一半的人能治愈

6.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男

生”与事件“至少有1名女生”（）

A.是对立事件

B.都是不可能事件

C.是互斥事件但不是对立事件

D.不是互斥事件

7.如图，设正方体ABC。-A\B\C\D\的棱长为1,则直线B1C与平面481。所成的角是（）

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71D.arccos^-

c.一

4O

8.某人在5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,»10,11,9.已知这组数

据的平均数为10,则x+y的值为（）

A.10B.16C.15D.20

二.多选题（共4小题，每小题5分，共20分）

9.已知向量2）,02=（2,1）,若向量a=2送1+^262，则可使入1入2<0成立的

最可能是（）

A.（1,0）B.（0,1）C.（-1,0）D.（0,-1）

10.如图，矩形ABCO中，AB=2AD=2,£为边AB的中点.将△AOE沿直线DE翻折成

△4QE（点4不落在底面8CQE内），若M在线段AiC上（点M与4,C不重合），

则在△ADE翻转过程中，以下命题正确的是（）

A.存在某个位置，使OELAiC

B.存在点M,使得平面AiOC成立

C.存在点M,使得M8〃平面4OE成立

D.四棱锥Ai体积最大值为座

4

11.某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，己知甲得分的极差为

32,乙得分的平均值为24,则下列结论正确的是（）

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B.甲得分的方差是736

C.y=26

D.乙得分的方差小于甲得分的方差

12.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量

C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量

三.填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

13.复数z=(a+i)(1-i)(a6R),i是虚数单位.若a=2,则|z|=；若z=-l+3i,

则a—.

14.己知圆柱底面圆的半径为1,高为3,矩形A8C。为圆柱的轴截面，一只蚂蚊从A点出

发，从侧面爬行一圈半到达C点，则蚂蚁爬行的最短距离为.

15.已知样本7,8,9,x,y的平均数是9,且孙=110,则此样本的方差是.

16.如图，长方体ABC。-A1BC1。的体积为60,E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的

体积是.

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四.解答题(共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分)

17.己知.=i(4,bER),其中i是虚数单位.

b+2i

(I)求a,b的值；

(II)设zi,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，zi=a+6i,求zi・z2的值.

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18.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽

取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将

统计结果按如下方式分成八组：第一组［65,75),第二组［75,85),……第八组［135,145］,

如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.

(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；

(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该

组区间的中点值代表该组数据平均值);

(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝

对值小于10分的概率.

骊宓

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19.已知向量a=（5,-12）＞b=（-3,4）.

（1）求:与Z夹角6的余弦值；

（2）若向量2+仍与友-b垂直，求实数/的值.

20.为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需

要“的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情

况.现分别从A,B,C三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如表（单位:

厘米）:

A组10111213141516

B组12131415161718

C组13141516171819

假设所有植株的生长情况相互独立.从A,B,C三组各随机选1株，A组选出的植株记

为甲，B组选出的植株记为乙，C组选出的植株记为丙.

（I）求丙的高度小于15厘米的概率；

（II）求甲的高度大于乙的高度的概率；

（III）表格中所有数据的平均数记为视.从4,B,C三块试验田中分别再随机抽取1株

该种植物，它们的高度依次是14,16,15（单位：厘米）.这3个新数据与表格中的所

有数据构成的新样本的平均数记为囚，试比较卬和川的大小.（结论不要求证明）

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21.如图1,梯形A8CO中，AB//CD,过A,8分别作AELCO,BFLCD,垂足分别为E、

F.若AB=4E=2,8=5,DE=1,将梯形ABC。沿AE,8P折起，且平面AOEL平

面A8FE(如图2).

(I)证明：AFA.BD；

(11)若CF〃DE,在线段48上是否存在一点P,使得直线CP与平面AC。所成角的正

V6

弦值为一，若存在，求出4P的值，若不存在，说明理由.

18

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22.新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检

验血液样本相关指标是否为阳性，对于a份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份

检验，则需检验〃次.二是混合检验，将其中k份血液样本分别取样混合在一起，若检

验结果为阴性，那么这上份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，

为了明确这k份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k份血液检验的

次数总共为人1次.某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，

逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验.假设在接受

检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是

阴性的概率为P=孚.

(I)求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；

(II)若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.方案一、二、三中哪个最“优”？请

说明理由.

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2020-2021学年高一下期末考试数学试卷

参考答案与试题解析

单项选择题(共8小题，每小题5分，共40分)

1.已知复数z满足iz=l-i,则2=()

A.-1-/B.1-/C.-1+zD.1+i

【解答】解：■:iz=1-if-i，iz=~/•(1-i)9z--i-1.

z=-1+z.

故选：C.

2.点尸是△ABC所在平面上一点，若G二|北十4启则△A3P与尸的面积之比是

()

11

A.3B.2C.一D.一

32

【解答】解：点尸是△ABC所在平面上一点，过P作PE〃AC,PF//AB,

由4P=^AB+^AC=AE+AF,

故4E：EB=2：1=PC：PB,

所以△ABP与△ACP的面积之比为8P：PC=1：2,

故选：D.

3.已知腰长为3,底边长2为的等腰三角形ABC,D为底边BC的中点，以AZ)为折痕，将

三角形A3。翻折，使8E)J_C£>,则经过A,B,C,。的球的表面积为()

A.10nB.12nC.16nD.20n

【解答】解：如图所示，

由题意可得：DB,DC,OA两两相互垂直.

AD2=32-12=8.

设经过A,B,C,。的球的半径为R.

则4/?2=12+12+8=10.

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，球的表面积=10TT.

故选：A.

4.某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100

米跑合格的人数分别为30和35,两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试

是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四

种）抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（）

A.1AB.2人C.5AD.6A

【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为X,

则立定跳远合格100米跑不合格的人数为30-x,

则30-x+35+5=45,

得X—25,

即这两项成绩均合格的人数是25人，

则抽出来复测的同学中两项都合格的有9x=5,

故选：C.

5.某医院治疗一种疾病的治愈率为50%,下列说法正确的是（）

A.如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈

B.2位病人中一定有1位能治愈

C.每位病人治愈的可能性是50%

D.所有病人中一定有一半的人能治愈

【解答】解：某医院治疗一种疾病的治愈率为50%,

对于A,如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人治愈的概率为50%,故A错误；

对于8,2位病人中每个人治愈的可能性都是50%,或两人都能治愈，或有1位能治愈，

或都不能治愈，故8错误；

对于C,每位病人治愈的可能性是50%,故C正确；

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对于D,所有病人中每个人治愈的可能性都是50%,但所有病人中不一定有一半的人能

治愈，故。错误.

故选：C.

6.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男

生”与事件“至少有1名女生”（）

A.是对立事件

B.都是不可能事件

C.是互斥事件但不是对立事件

D.不是互斥事件

【解答】解：事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，

即两名学生正好一名男生，一名女生，

故两事件既不是对立事件也不是互斥事件，

故选：D.

7.如图，设正方体ABC。-A181C1D1的棱长为1,则直线BC与平面48101所成的角是（）

【解答】解：以。为坐标原点，建立空间坐标系如图：

则4(1,0,0),Di(0,0,1),B\(1,i,1),C(0,1,0).

则B：C=(-L0,-1),ADy=(-1,0,1),ABi=(0,1,1),

设平面ABiD的法向量为7=(x,y,z),则由卜=得〔二二二针，令z=l,

[n-AB^OU+z=U

则x—1fy~~1»即九=(1,—1,1).

则£B；C=(1,-1,1)(-1,0,-l)=-l-l=-2,而|=遍，|B；C|=&.

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TT

所以设直线BAC与平面AB\D\所成的角是0,则sinO=|cosG-O)|=¥40=

mi/。

最后=善所以cos"易

□|iy/3

即8n=arccos-^-.

8.某人在5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9.已知这组数

据的平均数为10,则x+y的值为（）

A.10B.16C.15D.20

【解答】解：因为x,y,10,11,9这组数据的平均数为10,

1

所以：-（x+y+10+11+9）=10=x+y=20；

故选：D.

二.多选题（共4小题，每小题5分，共20分）

1）,若向量；=乙1+入2，，则可使入1入2Vo成立的

9.已知向量4=(-1,2),e2—(2,

以可能是（）

A.(1,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)

【解答】解：e1=(-1,2),e2=(2,1),

••向=Ai?]+入2,2~(-入1,2A1)+(2入2,入2),

=（2入2-入1,2入1+入2）,

若使入I入2Vo成立，

a=（1,0）,则2入1+入2=0,满足题意,

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a=(0.1),则2入2-入1=0,不满足题意，

a=(-1,0),则2入i+入2=0,满足题意，

a=(0,-1),则2入2-入1=0,不满足题意，

故选：AC.

10.如图，矩形ABC。中，AB=2AD=2,E为边A8的中点.将△AOE沿直线OE翻折成

△4OE(点4不落在底面8C£>E内)，若M在线段4c上(点M与4,C不重合)，

则在翻转过程中，以下命题正确的是()

A.存在某个位置，使OEJ_4c

B.存在点M,使得平面4CC成立

C.存在点使得“8〃平面AiCE成立

V2

D.四棱锥4-BCDE体积最大值为一

4

【解答】解：对于A,假设存在某个位置，使DELA\C,取DE中点O,

连接AiO,CO,显然A\OVDE,

而AiOnAiC=A\,，。"平面A\OC,OCu平面A\OC,

J.DELOC,则CE=C。，但CE=®CD=2,不可能相等，

所以不可能有DELA\C,

所以A选项错误；

对于8,若存在点M,使得平面4OC成立，

因为CQu平面AiQC,所以BM_LOC,

又因为且所以

CD_L平面8cM,又因为CWu平面BCM,

那么COJ_CM,又因为4D<DC,直角边大于斜边，矛盾，

所以B选项错误；

对于C,取CD中点N,连接MN,BN,；M是AC的中点，

第13页共23页

：.MN//A\D,而MNC平面A\DE,£>Eu平面A\DE,〃平面A\DE,

由DN与EB平行且相等得DNBE是平行四边形，BN//DE,

同理得BN〃平面A\DE,而BNCMN=N,二平面BMN〃平面AiDE,

BMu平面BMN,〃平面A\DE,

所以选项C正确；

对于。，/\ADE是等腰直角三角形，A至IJDE的距离是y,

当平面AiOE_L平面BCDE时，A1到平面BCDE的距离最大为y,

1Q

又SBCDE=2X1-x1x1=2,

V以大=1x|x^y=42

W'

所以选项。正确.

第14页共23页

故选：CD.

11.某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为

32,乙得分的平均值为24,则下列结论正确的是()

A.尤=8

B.甲得分的方差是736

C.y=26

D.乙得分的方差小于甲得分的方差

【解答】解：•••甲得分的极差为32,

A30+X-6=32,解得x=8,故A正确;

•••乙得分的平均值为24,

1

A-(12+25+26+20+9+31)=24,

解得y=6,故C错误；

甲得分的平均数为：

1

-(6+14+28+38+34)=24,

5

二甲得分的方差是：

222222

5X=1[(6-24)+(14-24)+(28-24)+(38-24)+(34-24)]=147.2,故B

错误；

乙得分的方差是：

222222

S2=(12-24)+(25-24)+(26-24)+(26-24)+(31-24)]=125.2,

工乙得分的方差小于甲得分的方差，故。错误.

故选：AD.

12.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复

产指数折线图，下列说法正确的是()

第15页共23页

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量

C.第3天至第II天复工复产指数均超过80%

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量

【解答】解：由图可知，这11天的复工指数和复产指数有增有减，故A错；

由折线的变化程度可见这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故8错误；

第3天至第11天复工复产指数均超过80%,故C正确；

第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，。正确；

故选：CD.

三.填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

13.复数z=(a+i)(1-z)(aGR),i是虚数单位.若a=2,则|z|=_-/10_；若z=-1+3i,

则a--2.

【解答】解:若。=2,贝ijz=(2+/)(1-z)=3-i,

则|z[=,32+(-I)?=VTo；

又z=(a+z)(1-«)=(a+1)+(1-(/)i,

且z=-1+3。

.•・｛；+1=U，即a=-2.

(1—a=3

故答案为：VTo：-2.

14.已知圆柱底面圆的半径为1,高为3,矩形为圆柱的轴截面，一只蚂蚊从A点出

发，从侧面爬行一圈半到达C点，则蚂蚁爬行的最短距离为_3荷巨_.

【解答】解：由题意画出蚂蚁爬行的路径，如图所示：

第16页共23页

DG仄G

将圆柱的侧面展开，其中AB],B\A\,4历为底面圆周的一半，

则AD=B2c2=3,AB2=^X2nr=3兀，

则蚂蚁爬行的最短距离为线段4c2,

在矩形AB1C1D中，

2

AC2={AB：+B2c及=V9TT+9=371Tz+1,

所以蚂蚁爬行的最短距离为3析TT,

故答案为：37^不I.

15.已知样本7,8,9,x,y的平均数是9,且孙=110,则此样本的方差是2.

【解答】解：•.•样本7,8,9,x,y的平均数是9,且孙=110,

.(xy=110

•力+8+9+x+y=9x5'

解得工=10,y=ll或x=ll,y=10,

・・・此样本的方差为：

S2=1[(7-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(10-9)2+(11-9)2]=2.

故答案为：2.

16.如图，长方体ABC。-A1BC1D1的体积为60,E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的

体积是5.

【解答】解：在长方体ABC。-AIBICIDI中，设A8=a,AD^b,AAi=c,

第17页共23页

由题意可得，abc=60,

VE^jCCi的中点，

.T/_11,1_1,_c

••VE-BCD=32a^2c=12"c=5•

故答案为：5.

四.解答题(共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分)

17.已知=i(a,b€R),其中i是虚数单位.

b+2i

(I)求a,b的值；

(II)设zi,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,z\=a+bi,求zi・z2的值.

a+(l+i)2a+2i

【解答】解：(I)E#J」=i得=7=i,

b+2ib+2i

得a+2i=-2+初，

由两复数相等得：R=；2；

3=2

(0)由(I)知：Z1=-2+2/,

；Z1,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，

•.z2=2+2i,

z2

：.Zi-z2=(-2+20(2+21)=(2i)-2=-8.

18.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽

取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将

统计结果按如下方式分成八组：第一组［65,75),第二组［75,85),……第八组［135,145］,

如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.

(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；

(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该

组区间的中点值代表该组数据平均值)；

(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝

对值小于10分的概率.

第18页共23页

1-(0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004)X10=0.08.

完成频率分布直方图如下：

(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：

70X0.004X10+80X0.012X10+90X0.016X10+100X0.030X10+110X0.020X10+120X

0.006X10+130X0.008X10+140X0.004X10=102.

(3)样本成绩属于第六组的有0.006X10X50=3人，样本成绩属于第八组的有0.004X

10X50=2人，

从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，

基本事件总数〃=Cg=10,

他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m=废+的=4,

,他们的分差的绝对值小于10分的概率片w=白=1•

19.已知向量之=(5,-12),b=(-3,4).

第19页共23页

（i）求Q与b夹角e的余弦值;

（2）若向量展+仍与2—b垂直，求实数/的值.

【解答】解：(1)•总工=5x(—3)+(—12)x4=-63,|a|=13,\b\=5,

—>

口必63

/.COS0=

日H&~65f

—>

(2)*.*CL+tb=(5,-12)+t(-314)=(5——12+4t),

a-b=(5,-12)一(-3,4)=(8,-16)

TT—T

又a+tb与a-b垂直，

TTTT

/.(a+tb)•(a—/?)=0,

即8(5-3t)-16(-12+4r)=0,解得t=胃.

20.为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需

要“的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情

况.现分别从A,B,C三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如表（单位:

厘米）：

4组10111213141516

B组12131415161718

C组13141516171819

假设所有植株的生长情况相互独立.从A,B,C三组各随机选1株，4组选出的植株记

为甲，8组选出的植株记为乙，C组选出的植株记为丙.

（I）求丙的高度小于15厘米的概率；

（II）求甲的高度大于乙的高度的概率；

（HI）表格中所有数据的平均数记为网.从A,B,C三块试验田中分别再随机抽取1株

该种植物，它们的高度依次是14,16,15（单位：厘米）.这3个新数据与表格中的所

有数据构成的新样本的平均数记为囚，试比较卬和用的大小.（结论不要求证明）

【解答】解：（I）设事件4为“甲是4组的第，・株植物”，

事件Bi为“乙是B组第i株植物”，

事件G为“丙是C组第i株植物"，i=l,2,3,4,…，7,

第20页共23页

由题意得尸(Ai)=P(Bi)=P(Ci)=1.z=h2,3,4,7,

设事件。为“丙的高度小于15厘米”，由题意。=CiUC2,且。与C2互斥，

丙的高度小于15厘米的概率为：

112

P(£»=P(C1UC2)=号

(II)设事件E为“甲的高度大于乙的高度”，

・,•甲的高度大于乙的高度的概率为：

P(E)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6BI)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)

+P(A6B3)+P(A7B3)+尸(A7B4)

=10尸(AlBl)=10XyXy=

(Hl)所有数据的平均数W

(10+11+12+13+14+15+16+12+13+14+15+16+17+18+13+14+15+16+17+18+19)-14.67,

1

阳=24

(10+11+12+13+14+15+16+12+13+14+15+16+17+18+13+14+15+16+17+18+19+14+16+15)

«14.71.

|io<ni.

21.如图1,梯形ABCD中，AB//CD,过A,8分别作AE_LC£>,BFLCD,垂足分别为E、

F.若AB=4E=2,CD=5,DE=1,将梯形ABC£>沿AE,8尸折起，且平面/1£)£：1_平

面ABFE(如图2).

(I)证明：AFLBD；

(H)若C/〃OE,在线段A3上是否存在一点尸，使得直线CP与平面ACZ)所成角的正

V6

弦值为77,若存在，求出AP的值，若不存在，说明理由.

【解答】解：(1)证明：•..平面AOEL平面ABFE,OEu平面AQE,

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平面ADE平面ABFE=AE,DELAE,

.•.£>E_L平面A8FE,又AFu平面ABFE,：.DEYAF,

又正方形A8FE中，AF±BE,且BECDE=E,

OEu平面BDE,BEu平面BDE,

，AF_L平面BDE,

平面BQE,：.AF±BD.

(II)解：由(I)知，。E、EA.EF两两垂直，如图建立空间直角坐标系,

'.,CF//DE,CFX5!2®ABFE,

则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,2),D(0,0,1),

AD=(-2,0,1),AC=(-2,2,2),

设平面AC。的一个法向量£=(x,y,z),

'TT

rn.fAD-n=-2x+z=0.1夕日—一i八

则TT，取X=l,得n=(1,-1,2),

AC-