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文档简介
湖南省湘潭市湘乡名民实验中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知函数若,则的值为(
)A.
B.
C.或
D.或参考答案:C2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.参考答案:A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积.【分析】由已知可得:几何体为三棱柱,求出底面面积,周长及高,代入棱柱表面积公式,可得答案.【解答】解:由已知可得:几何体为三棱柱,底面是斜边长为4,斜边上的高为的直角三角形,底面面积为:2,底面周长为:6+2,棱柱的高为4,故棱柱的表面积S=2×2+4×(6+2)=24+12,故选:A.3.已知函数是周期为2的周期函数,且当时,,则函数的零点个数是A.9
B.
10
C.
11
D.
18参考答案:B4.某几何体的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的表面积为(
)A. B. C. D.参考答案:C由三视图可知,该几何体为放在正方体的四棱锥,如图,正方体的边长为2,该三棱锥底面为正方形,两个侧面为等腰三角形,面积分别为,另两个侧面为直角三角形面积都为,可得这个几何体的表面积为,故选C.
5.如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为.则该几何体的俯视图可以是(
)
参考答案:C略6.=()A.﹣ B.﹣ C. D.参考答案:C【考点】两角和与差的正弦函数.【分析】将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°,然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后,合并约分后,再利用特殊角的三角函数值即可求出值.【解答】解:===sin30°=.故选C7.从数字、、中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数不大于的概
率为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D从数字、、中任取两个不同的数字构成一个两位数,有共种,则这个两位数不大于的有共种,因此概率,故选D.8.在复平面内,复数z的对应点为(1,1),则z2=()A. B.2i C. D..2+2i参考答案:B【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的几何意义、运算法则即可得出.【解答】解:在复平面内,复数z的对应点为(1,1),∴z=1+i.z2=(1+i)2=2i,故选:B.9.如图为某几何体的三视图,则该几何体的外接球的直径为()A.10 B. C.5 D.参考答案:B【考点】L!:由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图知几何体是四棱锥为长方体一部分,并求出长、宽、高,画出直观图,由长方体的性质求出外接球的直径即可.【解答】解:根据三视图知几何体是:四棱锥P﹣ABCD为长方体一部分,且长、宽、高为3、3、4,直观图如图所示:则四棱锥P﹣ABCD的外接球是此长方体的外接球,设外接球的半径是R,由长方体的性质可得,2R==,即该几何体外接球的直径是,故选B.【点评】本题考查由三视图求几何体外接球的直径,在三视图与直观图转化过程中,以一个长方体为载体是很好的方式,使得作图更直观,考查空间想象能力.10.函数y=ln(cosx),的图象是(
)[Z#X#X#AAK]参考答案:A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若的展开式中第6项为常数项,则---
参考答案:
1512.已知向量、满足,,,向量与的夹角为
?
.参考答案:60°略13.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6,AB=4,点D为棱BB1的中点,则四棱锥C—A1ABD的表面积是________.参考答案:14.已知定义域为R的函数是奇函数,则a+b=
.参考答案:3【考点】函数奇偶性的性质.【专题】方程思想;转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.【分析】根据函数是定义域为R的奇函数,故f(0)=0且f(﹣1)=﹣f(1),求出a,b值后,检验是否满足题意,可得答案.【解答】解:∵定义域为R的函数是奇函数,∴f(0)==0,解得:b=1,且f(﹣1)=﹣f(1),即=﹣,解得:a=2,经检验,当a=2,b=1时,满足f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,为奇函数,故a+b=3,故答案为:3【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,方程思想,转化思想,难度中档.15.以抛物线y=x2的焦点为圆心,以焦点到准线的距离为半径的圆被双曲线﹣y2=1的渐近线截得的弦长为
.参考答案:【考点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标,得到圆心坐标和半径,由双曲线方程求出其渐近线方程,再由点到直线距离求得圆心到渐近线的距离,利用勾股定理求得弦长.【解答】解:由y=x2,得x2=4y,∴F(0,1),则所求圆的方程为x2+(y﹣1)2=4,由双曲线﹣y2=1,得其渐近线方程为y=,不妨取y=,即x﹣2y=0,则F(0,1)到直线x﹣2y=0的距离为d=,∴弦长为.故答案为:.【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质,考查了点到直线的距离公式,是中档题.16.若二项式的展开式中第5项的值是5,则
,此时
.
参考答案:答案:3,17.对于任意实数a(a≠0)和b,不等式||+|||a|(||+||)恒成立,则实数x的取值范围
参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=ex(其中e为自然对数的底数,且e=2.71828…),g(x)=x+m(m,n∈R).(Ⅰ)若T(x)=f(x)g(x),m=1﹣,求T(x)在上的最大值φ(n)的表达式;(Ⅱ)若n=4时方程f(x)=g(x)在上恰有两个相异实根,求实数m的取值范围;(Ⅲ)若m=﹣,n∈N*,求使f(x)的图象恒在g(x)图象上方的最大正整数n.参考答案:考点:利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断.专题:导数的综合应用.分析:(1)T(x)=ex(x+1﹣),求导T′(x)=ex(x+1);从而确定函数的最大值;(2)n=4时,方程f(x)=g(x)可化为m=ex﹣2x;求导m′=ex﹣2,从而得到函数的单调性及取值,从而求m的取值范围;(3)由题意,p(x)=f(x)﹣g(x)=ex﹣x+,故f(x)的图象恒在g(x)图象上方可化为p(x)>0恒成立;从而化为最值问题.解答: 解:(Ⅰ)m=1﹣时,T(x)=ex(x+1﹣),n∈R,∴T′(x)=ex(x+1),①当n=0时,T′(x)=ex>0,T(x)在上为增函数,则此时φ(n)=T(1)=e;②当n>0时,T′(x)=ex(x+)在(﹣,+∞)上为增函数,故T(x)在上为增函数,此时φ(n)=T(1)=e;
③当n<0时,T′(x)=ex(x+),T(x)在(﹣∞,﹣)上为增函数,在(﹣,+∞)上为减函数,若0<﹣<1,即n<﹣2时,故T(x)在上为增函数,在上为减函数,此时φ(n)=T(﹣)=(﹣1+m)=﹣?,若﹣≥1﹣2≤n<0时,T(x)在上为增函数,则此时φ(n)=T(1)=e;∴综上所述:φ(n)=;
(Ⅱ)设F(x)=f(x)﹣g(x)=ex﹣2x﹣m,∴F′(x)=ex﹣2,∴F(x)在(0,ln2)上单调递减;在(ln2,+∞)上单调递增;
∴F(x)=ex﹣2x﹣m在上恰有两个相异实根,∴,解得2﹣2ln2<m≤1,∴实数m的取值范围是{m|2﹣2ln2<m≤1};(Ⅲ)由题设:?x∈R,p(x)=f(x)﹣g(x)=ex﹣x+>0,(*),∵p′(x)=ex﹣,∴p(x)在(﹣∞,ln)上单调递减;在(ln,+∞)上单调递增,∴(*)?p(x)min=p(ln)=﹣ln+=(n﹣nln+15)>0,设h(x)=x﹣xln+15=x﹣x(lnx﹣ln2)+15,则h′(x)=1﹣ln﹣1=﹣ln,∴h(x)在(0,2)上单调递增;在(2,+∞)上单调递减,而h(2e2)=15﹣2e2>0,且h(15)=15(lne2﹣ln)<0,故存在x0∈(2e2,15)使h(x0)=0,且x∈19.设向量,函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)求使不等式成立的的取值集合.参考答案:解:(1)
.
…………5′由,得,∴的单调递增区间为.
…………8′(2)由,得.
由,得,则,
即.∴使不等式成立的的取值集合为.……14′略20.(本题满分14分)已知数列满足(,.(1)求的通项公式;(2)若,且,求证:参考答案:【解】(1)由已知,得,即
,
数列是以为首项,为公差的等差数列.,…………4分又因为
,解得,21.已知函数.(Ⅰ)当x∈(0,1)时,求f(x)的单调性;(Ⅱ)若h(x)=(x2﹣x)?f(x),且方程h(x)=m有两个不相等的实数根x1,x2.求证:x1+x2>1.参考答案:【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)先求导,再构造函数,根据导数和函数的单调性的关系即可判断f(x)在(0,1)上的单调性,(Ⅱ)先求导,设h'(x0)=0,则x0∈(0,1),则h(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,由(Ⅰ)知,即可证明x1+x2>1.【解答】解:(Ⅰ),设g(x)=x﹣1﹣lnx,则,∴当x∈(0,1)时,g'(x)<0,∴g(x)>g(1)=0,∴f'(x)>0,∴f(x)在(0,1)上单调递增.
(Ⅱ)h(x)=x2lnx﹣ax2+ax(a<0),∴h'(x)=2xlnx+x﹣2ax+a,∴h''(x)=2lnx﹣2a+3,∴h''(x)在(0,+∞)上单调递增,当x→0时,h''(x)<0,h''(1)=3﹣2a>0,∴必存在α∈(0,1),使得h''(x)=0,即2lnα﹣2a+3=0,∴h'(x)在(0,α)上单调递减,在(α,+∞)上单调递增,又h'(α)=a﹣2α<0,h'(1)=1﹣a>0,设h'(x0)=0,则x0∈(0,1),∴h(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,不妨设x1<x2,则
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