湖南省湘潭市湘乡名民实验中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析

湖南省湘潭市湘乡名民实验中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数若，则的值为（

）A．

B．

C．或

D．或参考答案：C2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得：几何体为三棱柱，求出底面面积，周长及高，代入棱柱表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得：几何体为三棱柱，底面是斜边长为4，斜边上的高为的直角三角形，底面面积为：2，底面周长为：6+2，棱柱的高为4，故棱柱的表面积S=2×2+4×（6+2）=24+12，故选：A．3.已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是A.9

B.

10

C.

11

D.

18参考答案：B4.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（

）A． B． C． D．参考答案：C由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥，如图，正方体的边长为2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为，另两个侧面为直角三角形面积都为，可得这个几何体的表面积为，故选C.

5.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（

）

参考答案：C略6.=（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：C【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：===sin30°=．故选C7.从数字、、中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数不大于的概

率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D从数字、、中任取两个不同的数字构成一个两位数，有共种，则这个两位数不大于的有共种，因此概率，故选D．8.在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z2=（）A． B．2i C． D．.2+2i参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的几何意义、运算法则即可得出．【解答】解：在复平面内，复数z的对应点为（1，1），∴z=1+i．z2=（1+i）2=2i，故选：B．9.如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的直径为（）A．10 B． C．5 D．参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是四棱锥为长方体一部分，并求出长、宽、高，画出直观图，由长方体的性质求出外接球的直径即可．【解答】解：根据三视图知几何体是：四棱锥P﹣ABCD为长方体一部分，且长、宽、高为3、3、4，直观图如图所示：则四棱锥P﹣ABCD的外接球是此长方体的外接球，设外接球的半径是R，由长方体的性质可得，2R==，即该几何体外接球的直径是，故选B．【点评】本题考查由三视图求几何体外接球的直径，在三视图与直观图转化过程中，以一个长方体为载体是很好的方式，使得作图更直观，考查空间想象能力．10.函数y=ln(cosx),的图象是(

)[Z#X#X#AAK]参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若的展开式中第6项为常数项,则---

参考答案：

1512.已知向量、满足，，，向量与的夹角为

?

．参考答案：60°略13.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C—A1ABD的表面积是________．参考答案：14.已知定义域为R的函数是奇函数，则a+b=

．参考答案：3【考点】函数奇偶性的性质．【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据函数是定义域为R的奇函数，故f（0）=0且f（﹣1）=﹣f（1），求出a，b值后，检验是否满足题意，可得答案．【解答】解：∵定义域为R的函数是奇函数，∴f（0）==0，解得：b=1，且f（﹣1）=﹣f（1），即=﹣，解得：a=2，经检验，当a=2，b=1时，满足f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，为奇函数，故a+b=3，故答案为：3【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，方程思想，转化思想，难度中档．15.以抛物线y=x2的焦点为圆心，以焦点到准线的距离为半径的圆被双曲线﹣y2=1的渐近线截得的弦长为

．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，得到圆心坐标和半径，由双曲线方程求出其渐近线方程，再由点到直线距离求得圆心到渐近线的距离，利用勾股定理求得弦长．【解答】解：由y=x2，得x2=4y，∴F（0，1），则所求圆的方程为x2+（y﹣1）2=4，由双曲线﹣y2=1，得其渐近线方程为y=，不妨取y=，即x﹣2y=0，则F（0，1）到直线x﹣2y=0的距离为d=，∴弦长为．故答案为：．【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，考查了点到直线的距离公式，是中档题．16.若二项式的展开式中第5项的值是5，则

，此时

．

参考答案：答案：3，17.对于任意实数a（a≠0）和b，不等式||＋|||a|(||＋||)恒成立，则实数x的取值范围

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex（其中e为自然对数的底数，且e=2.71828…），g（x）=x+m（m，n∈R）．（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在上的最大值φ（n）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）T（x）=ex（x+1﹣），求导T′（x）=ex（x+1）；从而确定函数的最大值；（2）n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=ex﹣2x；求导m′=ex﹣2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m的取值范围；（3）由题意，p（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣x+，故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为p（x）＞0恒成立；从而化为最值问题．解答： 解：（Ⅰ）m=1﹣时，T（x）=ex（x+1﹣），n∈R，∴T′（x）=ex（x+1），①当n=0时，T′（x）=ex＞0，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；②当n＞0时，T′（x）=ex（x+）在（﹣，+∞）上为增函数，故T（x）在上为增函数，此时φ（n）=T（1）=e；

③当n＜0时，T′（x）=ex（x+），T（x）在（﹣∞，﹣）上为增函数，在（﹣，+∞）上为减函数，若0＜﹣＜1，即n＜﹣2时，故T（x）在上为增函数，在上为减函数，此时φ（n）=T（﹣）=（﹣1+m）=﹣?，若﹣≥1﹣2≤n＜0时，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；∴综上所述：φ（n）=；

（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣2x﹣m，∴F′（x）=ex﹣2，∴F（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增；

∴F（x）=ex﹣2x﹣m在上恰有两个相异实根，∴，解得2﹣2ln2＜m≤1，∴实数m的取值范围是{m|2﹣2ln2＜m≤1}；（Ⅲ）由题设：?x∈R，p（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣x+＞0，（*），∵p′（x）=ex﹣，∴p（x）在（﹣∞，ln）上单调递减；在（ln，+∞）上单调递增，∴（*）?p（x）min=p（ln）=﹣ln+=（n﹣nln+15）＞0，设h（x）=x﹣xln+15=x﹣x（lnx﹣ln2）+15，则h′（x）=1﹣ln﹣1=﹣ln，∴h（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减，而h（2e2）=15﹣2e2＞0，且h（15）=15（lne2﹣ln）＜0，故存在x0∈（2e2，15）使h（x0）=0，且x∈19.设向量，函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）求使不等式成立的的取值集合．参考答案：解：(1)

.

…………5′由，得，∴的单调递增区间为.

…………8′(2)由，得.

由，得，则，

即.∴使不等式成立的的取值集合为.……14′略20.（本题满分14分）已知数列满足（，.（1）求的通项公式；（2）若，且，求证：参考答案：【解】（1）由已知，得，即

,

数列是以为首项，为公差的等差数列．，…………4分又因为

，解得，21.已知函数．（Ⅰ）当x∈（0，1）时，求f（x）的单调性；（Ⅱ）若h（x）=（x2﹣x）?f（x），且方程h（x）=m有两个不相等的实数根x1，x2．求证：x1+x2＞1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求导，再构造函数，根据导数和函数的单调性的关系即可判断f（x）在（0，1）上的单调性，（Ⅱ）先求导，设h'（x0）=0，则x0∈（0，1），则h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由（Ⅰ）知，即可证明x1+x2＞1．【解答】解：（Ⅰ），设g（x）=x﹣1﹣lnx，则，∴当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，∴g（x）＞g（1）=0，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递增．

（Ⅱ）h（x）=x2lnx﹣ax2+ax（a＜0），∴h'（x）=2xlnx+x﹣2ax+a，∴h''（x）=2lnx﹣2a+3，∴h''（x）在（0，+∞）上单调递增，当x→0时，h''（x）＜0，h''（1）=3﹣2a＞0，∴必存在α∈（0，1），使得h''（x）=0，即2lnα﹣2a+3=0，∴h'（x）在（0，α）上单调递减，在（α，+∞）上单调递增，又h'（α）=a﹣2α＜0，h'（1）=1﹣a＞0，设h'（x0）=0，则x0∈（0，1），∴h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，不妨设x1＜x2，则