湖北省荆门市沙洋县综合实验中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

湖北省荆门市沙洋县综合实验中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列各组函数是同一函数的是（

）①与；

②与；③与；

④与。A.①②

B.①③

C.③④

D.①④参考答案：C2.（5分）函数y=sin（2x﹣）的图象与函数y=cos（x﹣）的图象（）A．有相同的对称轴但无相同的对称中心B．有相同的对称中心但无相同的对称轴C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴参考答案：D【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．解：由2x﹣=k，k∈Z，可解得函数y=sin（2x﹣）的对称轴为：x=+，k∈Z．由x﹣=kπ，k∈Z，可解得函数y=cos（x﹣）的对称轴为：x=kπ，k∈Z．故2个函数没有相同的对称轴．由2x﹣=kπ，k∈Z，可解得函数y=sin（2x﹣）的对称中心为：（，0），k∈Z．由x﹣=k，k∈Z，可解得函数y=cos（x﹣）的对称中心为：（kπ+，0），k∈Z．故2函数没有相同的对称中心．故选：D．【点评】：本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．3.函数的图象大致是

（

）参考答案：C4.已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0＜logm（ab）＜1，则m的取值范围是(

)A．m＞1B．1＜m＜8C．m＞8D．0＜m＜1或m＞8参考答案：C考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知可得b=2a，b2=a2b，联立可求a，b，代入已知不等式即可求解m的范围解答： 解：∵a，b，a+b成等差数列，∴2b=2a+b，即b=2a．①∵a，b，ab成等比数列，∴b2=a2b，即b=a2（a≠0，b≠0）．②由①②得a=2，b=4．∵0＜logm8＜1，∴m＞1．∵logm8＜1，即logm8＜logmm∴m＞8故选C点评：本题主要考查了等差数列及等比数列的性质及对数不等式的求解，属于知识的简单应用．5.已知某班学生的数学成绩x(单位:分)与物理成绩y(单位:分)具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算:，设其线性回归方程为:.若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（

）A.66 B.68 C.70 D.72参考答案：B【分析】由题意求出?，代入线性回归方程求得，再计算x=105时的值.【详解】由题意知，xi475=95，yi320=64，代入线性回归方程0.4x中，得64=0.4×95，解26；所以线性回归方程为0.4x+26，当x=105时，0.4×105+26=68，即该班某学生的数学成绩为105时，估计它的物理成绩为68.故选：B.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解及应用，还考查运算求解的能力，属于基础题.6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果=(

)A.4

B.5

C.6

D.7参考答案：B略7.已知是椭圆,上除顶点外的一点，是椭圆的左焦点，若则点到该椭圆左焦点的距离为A.

B.

C.

D.

参考答案：C8.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位m)的取值范围是 (A)[15,20] (B)[12,25] (C)[10,30] (D)[20,30]参考答案：C如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则，所以y=40-x，又xy≥300，，所以x(40-x)≥300即，解得10≤x≤309.设，且，则A. B. C. D.参考答案：D【分析】取特殊值排除A，B，C，根据函数的单调性即可得出正确答案.【详解】对A项，当时，，故A错误；对B项，取，时，，不满足，故B错误；对C项，取，时，，不满足，故C错误；对D项，函数在上单调递增，，则，故D正确;故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.10.下列叙述中：①在中，若，则；②若函数的导数为，为的极值的充要条件是；③函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到；④在同一直角坐标系中，函数的图象与函数的图象仅有三个公共点．其中正确叙述的个数为（）A．0B．1C．2D．3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.运行右面的程序框图，如果输入的的值在区间内，那么输出的的取值范围是

参考答案：12.函数的定义域为D，若对任意的、，当时，都有，则称函数在D上为“非减函数”．设函数在上为“非减函数”，且满足以下三个条件：（1）；（2）；（3）,则

、

．参考答案：1；13.下列命题：①偶函数的图像一定与轴相交；

②定义在上的奇函数必满足；③既不是奇函数又不是偶函数；④，则为的映射；⑤在上是减函数.其中真命题的序号是（把你认为正确的命题的序号都填上）

.参考答案：②14.已知由样本数据点集合求得的回归直线方程为，且.现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，那么，当时，的估计值为

.参考答案：3.8；将代入得.所以样本中心点为，由数据点(1.1,2.1)和(4.9,7.9)知：，，故去除这两个数据点后，样本中心点不变.设新的回归直线方程为，将样本中心点坐标代入得：，所以，当时，的估计值为.15.已知幂函数的图像经过点，则该函数的解析式为

.参考答案：【知识点】幂函数.

B8【答案解析】

解析：设，因为的图像经过点，所以，所以该函数的解析式为：.【思路点拨】待定系数法求该幂函数的解析式.16.已知正项等比数列{an}满足：＝＋2，若存在两项，使得，则的最小值为__________.参考答案：略17.的二项展开式中，的系数等于

．参考答案：15三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x2+x﹣a（a∈R）．（Ⅰ）若直线x=m（m＞0）与曲线y=f（x）和y=g（x）分别交于M，N两点．设曲线y=f（x）在点M处的切线为l1，y=g（x）在点N处的切线为l2．（ⅰ）当m=e时，若l1⊥l2，求a的值；（ⅱ）若l1∥l2，求a的最大值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内恰有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2．若λ＞0，且λlnx2﹣λ＞1﹣lnx1恒成立，求λ的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）（i）f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx，g′（x）=ax+1，当m=e时，f′（e）=1+lne=2，g′（e）=ae+1，由l1⊥l2，利用导数的几何意义得f′（e）g′（e）=2（ae+1）=﹣1，由此能求出a．（ii）f′（m）=1+lnm，g′（m）=am+1，由l1∥l2，得lnm=am在（0，+∞）上有解，从而a=，令F（x）=（x＞0），由=0，得x=e，利用导数性质求出F（x）max=F（e）=，由此能求出a的最大值．（Ⅱ）h（x）=xlnx﹣﹣x+a，（x＞0），h′（x）=lnx﹣ax，从而x1，x2是方程lnx﹣ax=0的两个根，进而a=，推导出＞，从而ln＜，令t=，则t∈（0，1），从而lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令φ（t）=lnt﹣，则φ′（t）==，由此根据λ2≥1和λ2＜1分类讨论，利用导数性质能求出λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）（i）∵函数f（x）=xlnx，∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx，∵g（x）=+x﹣a（a∈R），∴g′（x）=ax+1，当m=e时，f′（e）=1+lne=2，g′（e）=ae+1，∵l1⊥l2，∴f′（e）g′（e）=2（ae+1）=﹣1，解得a=﹣．（ii）∵函数f（x）=xlnx，∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx，∵g（x）=+x﹣a（a∈R），∴g′（x）=ax+1，∴f′（m）=1+lnm，g′（m）=am+1，∵l1∥l2，∴f′（m）=g′（m）在（0，+∞）上有解，∴lnm=am在（0，+∞）上有解，∵m＞0，∴a=，令F（x）=（x＞0），则=0，解得x=e，当x∈（0，e）时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）为减函数，∴F（x）max=F（e）=，∴a的最大值为．（Ⅱ）h（x）=xlnx﹣﹣x+a，（x＞0），h′（x）=lnx﹣ax，∵x1，x2为h（x）在其定义域内的两个不同的极值点，∴x1，x2是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，两式作差，并整理，得：a=，∵λ＞0，0＜x1＜x2，由λlnx2﹣λ＞1﹣lnx1，得1+λ＜lnx1+λlnx2，则1+λ＜a（x1+λx2），∴a＞，∴＞，∴ln＜，令t=，则t∈（0，1），由题意知：lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令φ（t）=lnt﹣，则φ′（t）==，①当λ2≥1时，即λ≥1时，?t∈（0，1），φ′（t）＞0，∴φ（t）在（0，1）上单调递增，又φ（1）=0，则φ（t）＜0在（0，1）上恒成立．②当λ2＜1，即0＜λ＜1时，t∈（0，λ2）时，φ′（t）＞0，φ（t）在（0，λ2）上是增函数；当t∈（λ2，1）时，φ′（t）＜0，φ（t）在（λ2，1）上是减函数．又φ（1）=0，∴φ（t）不恒小于0，不合题意．综上，λ的取值范围是[1，+∞）．19.已知等比数列{an}的首项为1，公比为q，它的前n项和为Sn；（1）若S3=3，S6=﹣21，求公比q；（2）若q＞0，且Tn=a1+a3+…+a2n﹣1，求．参考答案：【考点】数列的极限．【分析】（1）判断公比不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比q；（2）分别运用等比数列的求和公式，求得Sn，Tn，再对公比q讨论：0＜q＜1，q=1，q＞1，由极限公式，即可得到所求值．【解答】解：（1）S3=3，S6=﹣21，可得q≠1，则=3，=﹣21，两式相除可得1+q3=﹣7，解得q=﹣2；（2）Sn=，Tn=a1+a3+…+a2n﹣1=．当q＞1时，==0；当0＜q＜1时，==1+q；当q=1时，==1．20.（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．参考答案：考点： 与圆有关的比例线段．专题： 几何证明．分析： （1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果解答： （1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED

∵AB=2

求得：BD=4，AD=2

∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2

故答案为：（1）略（2）CD=2点评： 本题考查的知识点：证明切线的方法：连半径，证垂直．三角形相似的判定，勾股定理的应用．21.如图所示，等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记,用表示四棱锥P-ACFE的体积.（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）当x为何值时,取得最大值？(Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值参考答案：(Ⅰ)即;

(Ⅱ),时,

时,

时取得最大值.(Ⅲ)以E为空间坐标原点,