2020-2021学年江西省宜春市天立高级中学高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年江西省宜春市天立高级中学高一（下）期末数学

试卷

—.选择题（共12小题）.

1.直线x+ay+2=0与直线ar+y+2a2=0平行，则实数a的值为（）

A.1或-1B.0或-1C.-1D.1

2.给出下列四个命题：

①若121=1日，则a=b；

②若4,B,C,。是不共线的四点，则族=玩是四边形ABCO为平行四边形的充要条

件；

③若；=E，b=c>则；=3

④的充要条件是心尸,且！IIb-

其中正确命题的序号是（）

A.①②B.③④C.②③D.②④

3.点、P（cos。，sin。）到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为（）

4.直线/：y=k（x+2）上存在两个不同点到原点距离等于1,则k的取值范围是（）

A.（-2,2）B.（-«,如）C.（-1,1）D.（-噂,零）

5.已知mQ0且若勺，存1,log"b>l,某班的儿位学生根据以上条件，得出了以下4

个结论：

①人>1且b>a；②aVI且a<b；③bVl且b<a；④〃VI且6V1.

其中不可能成立的结论共有（）个.

A.1B.2C.3D.4

6.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SQL底面ABCD,则下列结论中错误的是（)

A.AC_LSB

B.平面SC£>_L平面SAD

C.SA和SC与平面SBD所成的角相等

D.异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与5A所成的角相等

7.如图，已知△OAB,若点C满足标=2忌，OC=XOA+IJ.OB（X,|1€10，则+4

=()

8.一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为F，那么这个四棱锥体积为（）

A.—B.C.—D.

3333

9.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成.因

各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看作

所有棱长均为4C”的正四棱锥.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似

地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，蛋黄的半径为（）

A.V6+V2B.V6-V2c.V3+1D.V3-1

10.若X-,则二二的取值范围为)

YJx-2

A•冷争

B.(-8,平］U哼Q）

C.(-8,3)D.[蒋,f]

11.在△ABC中，若bcos〉=1+COS2L,则△ABC的形状是()

ccosBl+cos2B

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

12.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3

余2),五五数之剩三(除以5余3),问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，

同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列

[an],则该数列共有()

A.132项B.133项C.134项D.135项

二.填空题(共4小题)

13.已知点A(2,-1,3),B(3,1,2),则|AB|=.

y〉x+2

14.已知实数x,y满足，1,则2=弓)5的最小值为.

y>2-.

15.已知向量Z=(2,7),(x,3),且；与芯的夹角为锐角，则实数x的取值范围

为.

16.已知数列｛m｝是以名为首项，以，上为公差的等差数列，则数列｛1+tan斯+itan斯｝前2021

34

项和为.

三.解答题(共6小题)

17.已知直线/i：(2+m)x+(1-2m)y+4-3zn=0.

(1)求证：无论“为何实数，直线/i恒过一定点M；

(2)若直线/2过点M,且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线/2的

方程.

an

18.已知数列｛斯｝中，0=1,a\=——-

n+1+3an

(1)求证：数列｛工｝是等差数列；

an

(2)求数列｛小｝的通项公式；

2n

(3)设数列｛小｝满足：bn-...,求｛“"｝的前"项和7；.

an

19.在①a=J"§csinA-acosc,②(2a-b)sin/l+(2b-a)sinB=2csinC这两个条件中任

选一个，补充在下列问题中，并解答.

已知△ABC的角A,B,C对边分别为a,b,c,c=J§且.

(1)求NC；

(2)求△ABC周长的最大值.

20.已知△ABC的顶点B(-1,-3),边AB上的高CE所在直线的方程为4x+3y-7=0,

8c边上中线AO所在的直线方程为x-3y-3=0.

(1)求直线AB的方程；

(2)求点C的坐标.

21.如图，在四边形48CD中，△3CO是等腰直角三角形，ZBCD=90°,ZADB=90°,

sin/ABD=返，BD=2,AC与3。交于点E.

5

(1)求sinNACZ)；

(2)求△A8E的面积.

22.在如图所示的圆柱。|。2中，AB为圆Oi的直径，C,。是篇的两个三等分点，EA,FC,

GB都是圆柱0。2的母线.

(1)求证：尸0i〃平面AQE；

(2)设3c=1,已知直线4F与平面ACB所成的角为30°,求二面角A-FB-C的余

弦值.

参考答案

一.选择题（共12小题）

1.直线x+ay+2=0与直线如+），+2a2=0平行，则实数。的值为（）

A.1或-1B.0或-1C.-1D.1

解：因为直线x+ay+2=0与直线ax+y+2a2=0平行,

IXl-a*a=0

所以解得4=

a,2a2-lX2卢0

故选：C.

2.给出下列四个命题：

①若q=£i，则;=E；

②若A,B,C,。是不共线的四点，则族=玩是四边形A8CZ）为平行四边形的充要条

件；

③若新芯，E=Z则泰力

④Z=E的充要条件是1』=后旦ZIIb-

其中正确命题的序号是（）

A.①②B.③④C.②③D.②④

解：①若1n=1%，但两向量方向不一定相同，则Z=E不一定成立，故错误：

②若A,B,C,。是不共线的四点，则标=^QAB=£»C且AB〃£>C0四边形ABC。为

平行四边形，

即族=庆是四边形ABCO为平行四边形的充要条件，故正确；

③若Q—b，b=c,则a=c,故正确；

④的必要不充分条件是11=句且Z//b-故错误.

故选：C.

3.点尸（cos6,sin0）到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为（）

A.噜,争ff

解：记d为点P（cos0,sin0）到直线3x+4y-12=0的距离，

11Q

BP：J=~|3cos0+4sin0-12|=—|5sin（0+（p）-12|,其中tan（p=—；

554

当e变化时，d的最大值为¥，d的最小值为工,

55

故选：C.

4.直线/：y=k（x+2）上存在两个不同点到原点距离等于1,则k的取值范围是（）

A.（-2,2）B.（-«,«）C.（-1,1）D.（-返,返）

33

解：因为直线/：y=k（x+2）上存在两个不同点到原点距离等于1,

故直线/与圆/+炉=1有两个交点，

则圆心（0,0）到直线/的距离0=俨/<1,

Vl+k?

解得*<k<冬，

33

所以人的取值范围是（乎，乎）.

故选：D.

5.已知如匕>0且aWl,bWl,log疝>1,某班的几位学生根据以上条件，得出了以下4

个结论：

①b>l且b>a；②。VI且a<b；③b<l且b<a；④aVl且方<1.

其中不可能成立的结论共有（）个.

A.1B.2C.3D.4

解：,：白,。>0且,logab>l=\ogaa9

OV〃V1时，b<a,

a>1时，b>a,

故②错误，

故选：A.

6.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形,底面ABCD,则下列结论中错误的是（）

H

A.AC1SB

B.平面SCO_L平面SAO

C.SA和SC与平面SBD所成的角相等

D.异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角相等

解：四棱锥S-A5CD的底面为正方形，底面ABCC,

对于A,由题意得AC_LBE>,AC±SD,

•:BDCSD=D,BD、S£>u平面SB。，；.ACJ_平面SB。,

：SBu平面SBQ,；.AC，SB,故A正确;

对于8,由题意知A。_LCD,SD1CD,

ADHSD=D,AD,S£>u平面AS。，C£)_L平面AS。,

：CDu平面SCO,.•.平面SCD_L平面SA£),故B正确;

对于C,以。为原点，D4为x轴，QC为y轴，QS为z轴,建立空间直角坐标系,

设AB=1,DS=t,则S(0,0,f),A(1,0,0),C(0,1,0),8(1,1,0),。

(0,0,0),

而=(1,1,0),而=(0，。，力SA=(1，0，-f)，SC=(0，1，f)，

设平面SB。的法向量1=(x,y,z),

nilfn-DB=x+y=0_,ZB-

则<一一，取x=l,得n=(1,-1,0),

n*DS=tz=0

设SA和SC与平面SB。所成的角分别为a,0,

则sina=--—j-7,

InI，ISAIV2*Vl+t2

ff-scj__1.；

sinp=InI'ISCIV2^1+t2,

和SC与平面SB。所成的角相等，故C正确；

对于。，由。得标=(0,1,0),品=(0,1,r),而=(0,1，°)，或=(1，

0,-t),

AB■SC_1

cos<AB,"sc>IAB!•ISCIVl+t2

CD-SA

cos<CD,SA>==0,

ICDI-1SAI

.♦.异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角不相等，故D错误.

故选：D.

WER)，则+七

7.如图，已知△045,若点C满足正二2混，QC=XQA+JJL0B(X,

()

'•,0C=0A+AC=0A+l-AB=0A+4<0B-0A)=4oA+|-OB'

oooo

._l„_2

A一3’

.•.”=3+7

入U22

故选：D.

8.一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为J5,那么这个四棱锥体积为()

A.—B.-^5.C.—D.

3333

解：一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为

正四棱锥S-ABCD中，侧面ASBC的斜高SE=«,

设A8=m则SE=荷_伶)2=J^_=M，

解得。=2,

过SO_L平面A3CD,垂足为0,连结OE,

则。喂=1，SO=J-华)2=如,

•••这个四棱锥体积为：

11L24rJ?

v=fxSOXX亚x2，=学.

故选：B.

9.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成.因

各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看作

所有棱长均为4c,"的正四棱锥.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似

地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，蛋黄的半径为()

A.y[^+\[2B.C.A/^+1D.I/3_1

解：由粽子的形状是所有棱长均为4c机的正四棱锥，

得每个侧面三角形的面积为《X4X4X退

22

二粽子的表面积为4X4«+4X4=(16'*16)cm2；

球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥的五个面都相切，

正四棱锥的高为人="-(2。2=,设球的半径为r,

.•.四棱锥的体积丫(16J3+16)r=lx16X2^2'解得r=a-小九

故选：B.

D

BC

10.若xWl-y2=o,则扁的取值范围为（）

A.［除争B.（-CO,一冬U号,3）

C.（-8,-工］uB，=）D.［」，—1

2JL2l22j

解：方程xWl-y2=o是以原点为圆心,以1为半径的左半圆.

则：设％=c7上乡，如图所示：

x-2X-2

则：直线与圆相交，必须满足的条件为：&话或&《V，

即:任s,三］UD1,+0°）.

11.在△ABC中，若bcos。=l+cos2u,则△ABC的形状是（）

ccosBl+cos2B

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

解.山已知1+cos2c_2cos2c_cos2c_bcosC

l+cos2B2COS2BCOS2BCCOSB,

所以£2型_=上或滔£=o

cosBccosB

即C=90。或滔上=上，

cosBc

由正弦定理，得sinCcosC=sinBcos8,

即sin2C=sin2B,

因为B、C均为△ABC的内角，

所以2c=2B或2C+28=180°,

所以B=C1或B+C=90°,

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.

故选：D.

12.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3

余2）,五五数之剩三（除以5余3）,问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，

同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列

{a,,},则该数列共有（）

A.132项B.133项C.134项D.135项

解：被3除余2且被5除余3的数构成首项为8,公差为15的等差数列，记为{%},

则%=8+15（n-1）=15〃-7,

9

令%=15〃-7W2020,解得“W135J

15

.•.将1到2020这2020个自然数中满足被3除余2且被5除余3的数按照从小到大的顺

序排成一列，

构成一个数列，则该数列的项数是135.

故选：

二.填空题（共4小题）

13.己知点A（2,-1,3）,B（3,1,2）,则总用=_痣_.

解：AB=（1，2,-1）,

.•・|A3|=|旋|12+22+（-1）2=V6•

故答案为：

y>x+2

14.己知实数x,y满足<亳咛(1,贝Uz=弓)"丫的最小值为.1

-256—

y>2~2

y>x+2

解：实数X,y满足J方号41表示的平面区域如图所示，

y>2-f

由产蛇=4解得c（%o）

[2y=4-x

当直线机=2r-y过点C时,

在y轴上截距最小，此时机取得最大值8.

则2=(1)”，的最小值为：会=心.

22b256

15.已知向量之=(2,7),三=(x,3),且之与4的夹角为锐角,则实数X的取值范围为

,।、21.6.

{x\x>-A—,

解：・・・彳，1的夹角为锐角，

**-a-b>0«且；与三不共线,

f2x+21>0解得x>号且x昔,

I6-7x卉0

...X的取值范围为{x|X〉得且x声?}.

故答案为：以日>号且乂喈}.

16.已知数列｛m｝是以?-为首项，以下■为公差的等差数列，则数列｛l+tana“+itana“｝前2021

项和为-2-2、月.

解：由题设可得：斯=乌+（«-1）X三=整吗"L,

3412

tanan+1-tanan

l+taM“+itan〃〃=（tanm+i-tana“）4-tan（Q”+I-。〃）=兀=tano〃+i-tan〃〃,

tarry

设数列｛l+tana“+itan斯｝前〃项和为S〃,

贝(J$2021=(tant?2-tantzi)+(tan〃3-tan〃2)+・••+(tand?2022-tant72O2i)

=tan6Z2O22-tancn

.tan6067n.tan4K

1212

7JTK

=tan(505ir+----)-tan——

123

77Tr-

=tan三-V3

=tan(/n-5兀、-爽r~

5兀r

=-tan1T-如

/兀TTl

=-tan(—H---)~\/3

64v0

7T兀

tarry+tan-^

H兀

F

=-2-2a.

故答案为：-2-273.

三.解答题（共6小题）

17.已知直线/i：(2+而x+(1-2m)y+4-3〃z=0.

（1）求证：无论相为何实数，直线人恒过一定点M;

（2）若直线/2过点M,且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线/2的

方程.

【解答】(1)证明：/i：(2+m)x+(1-2m)y+4-3〃?=0=机(x-2y-3)+(2x+y+4)

=0.

fx-2y-3=0fx=-lK|jM(_1(_2)

2x+y+4=0(y=-2

所以无论m为何实数，直线人恒过一定点W(-1,-2).

(2)解：由题知直线/2的斜率上<0,设直线京y+2=k(x+1),

令x=0,y—k-2.^y=0,x--1.

k

S=^-|k-2|-|-|-l|=y|2-^-k+2|=y|4^-k|>

乙K乙K乙K

4、、

・・・ZV0,・・・->0,-k>0.

k

・•.-1-k>2^(-1)(-k)=4,当且仅当?=-k即k=-2时取等

.,.)计2=-2(x+1)BP2x+y+4=0.

an

18.已知数列｛〃〃｝中，0=1,a+i=——-----

w1+3an

求证：数列｛一工｝是等差数列；

(1)

an

(2)求数列｛〃｝的通项公式；

2n

(3)设数列｛。设满足:bn-...,求｛〃"｝的前〃项和7；.

an

解：(1)证明：ai=l,a\=一,

n+1+3an

可得」一=」二+3,

an+lan

可得数列｛工｝是首项为1，公差为3的等差数列；

an

(2)由(1)可得工=1+3(n-1)=3〃-2,

an

则Cl=_

n3n-2

2n、

(3)bn=—=(3H-2)・2〃，

an

前〃项和〃=l・2+4・22+…+(3n-2)・23

2〃=l・22+4・23+…+(3n-2)・2叫

两式相减可得-4=2+3(22+…+2〃)-(3/?-2)・2〃+i

^.4(1-2^).

2+3(3n-2)加，

1-2

化简可得力,=10+(3”-5)・2"+i.

19.在①“二J^csinA-acosc，②(2a-b)sin>4+(2b-a)sinB=2csinC这两个条件中任

选一个，补充在下列问题中，并解答.

已知△ABC的角A,B,C对边分别为a,b,c,且.

(1)求/C；

(2)求aABC周长的最大值.

解：(1)选①，,.,a=McsinA-acosc，

sinA=V3sinCsinA-sinAcosC>

VsiM^O,

\/3sinC-cosC=1-Wsin(c-

bN

又0<C<n,

,,7TJT.7T

故n即rC/；

选②，(2a-b)sinA+(.2b-a)sinB=2csinC,

2221

:.(2。-b)Q+(2Z?-a)h=2cf即a+b-c=ab,

2-221

•_a+b-c1

,,rnc：C=----------=-r,

2ab2

V0<C<n,

.兀

“可

-7T

(2)由(1)可知，C>k，

3

在△ABC中,由余弦定理得a2+b2-297cosc=3,即a2+b2-cib=3,

，(a+b)2-3=3ab4义警

/.a+b<2V3-当且仅当那个时取等号，

，a+b+c<3«，即△ABC周长的最大值为

20.已知AABC的顶点B(-1,-3),边4B上的高CE所在直线的方程为4x+3y-7=0,

BC边上中线AD所在的直线方程为x-3y-3=0.

(1)求直线AB的方程；

(2)求点C的坐标.

解：(1)VCE1AB,且直线CE的斜率-为44.，

直线A8的斜率为巨，

4

直线AB的方程为y+3=[(x+l)，即3x-4y-9=0.

(2)设。(a,b),贝l」C(2“+1,2Z?+3),

.[a-3b一3二0

，j4(2a+l)+3(2b+3)-7=C，

解得卜二°,

Ib="l

：.D(0,-1),C(1,1).

21.如图，在四边形ABC。中，△BCD是等腰直角三角形，ZBCD=90°ZADB=90°,

sin/ABD=返，BD=2,AC与BD交于点E.

5

(1)求sin/AC。；

(2)求AABE的面积.

设NA3O=e,则sin8=W>,cosS=J]_sin28=乙：'tan0=~,

552

所以AO=8Dtane=l,所以48=旄，

所以AD=75-4=1，

BC=CD=^-BD=/2-

所以NADC=NADB+NBDC=90°+45°=135°.

2C2

由余弦定理：cosZADC=^l^~^-=^-,

2-AD-CD2

所以1+2-AC：=%,

2X1XV22

解得AC=泥，

作所以