2020-2021学年山东省济南市德润高级中学高一（下）期中数学试卷（解析版）

2020-2021学年山东省济南市德润高级中学高一（下）期中数学

试卷

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.复数（2+i）（|3+44-i）的虚部为（）

A.3B.-7zC.-3/D.-7

2.设向量之=（3,m），向量2），若向量；与向量E共线，则，〃的值为（）

33

A.—B.--C.6D.-6

22

3.设向量£（n,3），向量E=（O,3），若向量2之-3芯与向量垂直，则拉的值为（）

A.土冷B.士堂C.±72D.±73

4.己知△ABC是边长为a的正三角形，那么△ABC平面直观图△/!'B'C的面积为（）

5.如图，在△ABC中，点。在BC边上，ZADC=60°,CD=AD=2,BD=4,贝l]sinB的

值为（）

A.1B.且c.近D.叵

261414

6.已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的表面积为（）

A.16TtB.20irC.24nD.32n

7.用与球心距离为l的平面去截球，所得的截面面积为m则球的体积为（）

A.4B.必C,我兀D.322L

33r3

8.如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为（）

A.litem2B.8ncw2C.9nc/?z2D.11new2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知a,0是空间中两个不同的平面，m,"是空间中两条不同的直线，则给出的下列说

法中，正确的是（）

A.若，w_La,n±a,则机〃〃B.若加〃a,机〃0,贝！］a〃0

C.若&_1_0,m〃0,则，”_LaD.若&〃0,m±a,则根J_0

10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确

A.圆柱的侧面积为2TTR2

B.圆锥的侧面积为如R?

C.圆柱的侧面积与球面面积相等

D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2

11.如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（）

C.A尸与是异面直线D.BN与。E是异面直线

12.在棱长为1的正方体A8C£>-Ai8Cin中，下列结论正确的是（）

A.异面直线8Di与SC所成的角大小为90°

B.四面体。。8C的每个面都是直角三角形

C.二面角。-BC-Bi的大小为30°

D.正方体A8C。-A山的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为返匚

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.空间两个角a,p的两边分别对应平行，且a=60°,则0=.

14.在四边形ABC。中，瓦=(4,-2),菽=(7,4),标=(3,6),则四边形A8CD

的面积为.

15.在AABC中，AB=AC=5,BC=6,PA_L平面ABC,PA=8,贝ijP至ljBC的距离

为.

16.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B,望对岸的标记物C,测得NCA8

=45°,NCBA=75°,AB=120米，贝I]AB：BC=,这条河的宽

度为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知平面向量彳=(3,4),E=(%x),3=(4,y),且！〃1

(1)求b与c；

(2)若：=2:-台n='a+'c,求向量；、三的夹角的大小.

18.在①s1nA-s1nC/@iA-s41电,②2ccosC=acosB+6cosA这两个条件中任选一个，补

ba+c

充在下面问题中的横线上，并解答.

在△4BC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,.

(1)求角C：

(2)若c=乖,a+b=A/li-求△ABC的面积.

19.如图，矩形与梯形A8C。所在的平面互相垂直，ADLCD,AB//CD,AB^AD

=2,CD=4,“为CE的中点.

(I)求证：BM〃平面AOE尸；

(II)求证：BCL^BDE.

20.如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-ABiG中，F,M分别是

AC,4G的中点.求证:

(1)平面ABiFi〃平面CiBF；

(2)平面ABiFiJ_平面ACG4.

B

21.在四棱锥尸-4BCD中，底面A2CZ)是正方形，侧面PAO是正三角形，平面底

面ABCD.

(1)证明：平面PAD；

(2)求面PA。与面PQB所成的二面角的正切值.

22.如图，四边形ABCD中，ZADC=^,AO=AB=BC=«C£>,AE=EC,沿对角线

AC将△ACO翻折成△AC。，使得BD'=BC.

(1)证明：BEVCD,-,

(2)求直线BE与平面ABO所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题(共8小题).

1.复数(2+t)(13+4/1-/)的虚部为()

A.3B.-7/C.-3iD.-7

解:,:(2+z)(|3+4z|-i)=(2+Z)(5-0=11+3;,.•.其虚部为3.

故选：4

2.设向量；=(3,m)，向量E=G1,2)，若向量；与向量E共线，则〃?的值为()

33

A.—B.--C.6D.-6

22

解：安与E共线，

/.3X2-(-1)•/n=0,解得m=-6.

故选：D.

3.设向量Z=(n,3)，向量E=(0,3)，若向量27-支与向量eZ-E垂直，则〃的值为()

A.土乎B.土里C.±72D.±73

解：：向量Z=(n,3)，向量芯=(0,3)>若向量2之-3石与向量sZ-E垂直，

则（21-3京•（3；-0=6=-11；・%+3铲=6（层+9）-11X9+3X9=0,

则"=士«,

故选：D.

4.己知△ABC是边长为。的正三角形，那么△A8C平面直观图AA'B'C'的面积为（）

,2o27->,^32c

A.--a-B.--C.--a-D.

163216醇

解：正三角形ABC的边长为“，故面积为返层，而原图和直观图面积之间的关系S—

4S原图

=返

4'_

故直观图△△'B'C的面积为逅a2.

16

故选：A.

5.如图，在△A8C中，点。在8c边上，ZADC=60°,CD=AD=2,80=4,贝l]sinB的

值为（)

A.1B.近c.近D.叵

261414

解：ZADC=60°,CD=AD=2,

可得△AQC为等边三角形，可得AC=2,

/C=60°,

3c=4+2=6,

由余弦定理可得AB1=AC1+BC1-lAC'BC'cosC

=4+36-2・2・6•工=28,

2

即AC=2板,

由正弦定理可得sinB=铝乎匚=2义孚=叵，

福14

故选：D.

6.已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的表面积为（）

A.16nB.20TlC.24nD.32TT

解：正四棱锥P-A5CQ的外接球的球心在它的高尸Oi上，

记为。，PO=AO=R,尸。=3,001=3-/?,

在RtZV10]0中，R2=3+（3-R）2得R=2,

，球的表面积16ir

故选：A.

7.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为m则球的体积为（）

A8兀冗or>32兀

A.-RB.——Cr.对2兀D.-y-

解：截面面积为n=截面圆半径为1,又与球心距离为1n球的半径是正,

所以根据球的体积公式知v球=42宜上返2L,

33

故选：B.

8.如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为（）

B.8Tlem2C.971cm2D.1lnc/n2

解：S=2兀XIX(1+2)+兀Xl24yX4兀xl2=9n,

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知a,0是空间中两个不同的平面，机，〃是空间中两条不同的直线，则给出的下列说

法中，正确的是（）

A.若"z_La,〃_La,则m〃〃B.若m〃a,m〃0,则。〃0

C.若a，B，m〃0,则加，aD.若a〃由则"z_L0

解：对于A,若mJ_a,n±a,则〃〃7〃，故A正确；

对于8,若〃z〃a,m〃0,则a〃0或a与0相交，故B错误；

对于C,若a_L0,m〃0,则加〃a或mua或m与a相交，故C错误；

对于。，若加J_a,则"?垂直a内的所有直线，又a〃0,则加垂直0内的所有直线，则

m±p,故。正确.

故选：AD.

10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确

的是（）

A.圆柱的侧面积为2irR2

B.圆锥的侧面积为2TTR2

C.圆柱的侧面积与球面面积相等

D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2

解：A.圆柱的侧面积=2nRX2R=4nR2,因此A不正确；

B.圆锥的侧面积=,X2nR><｛（2R）2+区2=旄江叱，因此B不正确；

C.圆柱的侧面积=4nR2,因此与球面面积相等，可得C正确；

D.圆柱的体积=11/?2）<27?=2五口，圆锥的体积=1.x兀区2乂2/?=三二区3,球的体积=

Oo

号■R3,可得它们的体积之比为3：1：2,因此。正确.

故选：CD.

11.如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（）

A.AF与CN平行B.与AN是异面直线

C.AF与是异面直线D.BN与OE是异面直线

解：把正方体的平面展开图还原原正方体如图,

由正方体的结构特征可知，AF与CN异面垂直，故A错误；

3M与AN平行，故B错误；

BMu平面BCMF,FeTffiBCMF,4c平面BCMF,F《BM,

由异面直线定义可得，4尸与是异面直线，故C正确；

DEciFiBlADNE,Ne平面ADNE,平面AONE,N住DE,

由异面直线定义可得，BN与OE是异面直线，故£>正确.

故选：CD.

12.在棱长为1的正方体A8C£>-AIBIG口中，下列结论正确的是（）

A.异面直线与5c所成的角大小为90°

B.四面体QDBC的每个面都是直角三角形

C.二面角。i-BC-Bi的大小为30°

D.正方体ABCO-的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为退二

2

解：如图，在棱长为1的正方体ABCO-A/iGU中，

5CJ■平面BBiCC则GG_LB|C,又SCLBG,

GCrBG=C,平面BGO”则CiC_Lg,

即异面直线8。与SC所成的角大小为90°,故4正确；

；Q£>i_L底面A8CC,：.DDiLDB,DDil.DC,再由BC_L平面QQiGC,

可得8C，Z）C,BC±DtC,得四面体OQ8C的每个面都是直角三角形，故8正确；

由8CJ_平面。£>iGC,可得BC_LOiC,BC±CCi,即NOCG为

二面角A-BC-Bi的平面角，大小为45°,故C错误;

正方体ABCD的内切球的半径为&外接球的半径为返，

22

则正方体ABCD-A^CxD｝的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为返匚,

2

故。正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.空间两个角a,0的两边分别对应平行，且a=60°,则J=60°或120°

•••空间两个角a，0的两边对应平行，

.•.这两个角相等或互补，

♦.飞=60°,

.•邛=60°或120°.

故答案为：60°或120°.

14.在四边形A8C3中，7B=(%-2),正=(7,4),而=(3,6),则四边形ABC。

的面积为30.

解:AB~⑷-2),菽=(7,4),箴=(3,6),

•,•蔗•标=4X3-2X6=0,BC=AC-AB=⑶6)=标，DC=AC-AD=(*2)=

标，

A7B-LAE'前〃标,AB^DC'

...四边形A8CD为矩形，

,*,1ABl=V42+(-2)2=VsO,।ADl=V32+62=V45,

...四边形ABCD的面积为^5XJ届=30,

故答案为：30.

15.在△ABC中,AB=AC=5,8c=6,P4_L平面ABC,PA=8,则P到BC的距离为4、壮.

解：如下图所示：

设D为等腰三角形ABC底面上的中点，则PD长即为P点到BC的距离

又•••4。即为三角形的中线，也是三角形BC边上的高

：BC=6,AB=AC=5,易得2=4

在直角三角形PA。中，又•；PA=8

故答案为4>/5

16.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B,望对岸的标记物C,测得NCAB

=45°,NCBA=75°,AB=120米，则AB,BC=j^~_,这条河的宽度为（60+20\仃）

米.

解：在△ABC中，NC4B=45°,NCBA=75°,ZACB=60a,

由正弦定理得AB_sinC_sin600

BCsinAsin4502

120XV64V2

...ACAB.4c—研.sinB----—=60扬20遍,

sinBsinCsinC

~2~

作C£>_LAB,则C£>的长为河宽,

在RtZ^AOC中，NC48=45。，

：.CD=AC-sinZCAD=^-(60扬20捉)=60+20«.

故答案为：器，(60+2073)米.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知平面向量彳=(3,4),3=(9,x),3=(4,y),且Z〃E，-a-L

⑴求E与4

(2)若7=2彳-芯，n='a+'c,求向量7、三的夹角的大小.

解：(1)由得标-4X9=0,解得x=12；

由之_1_3得9><4+刊=0,

MH3636、

解得y=---=--=-3；

x12

所以芯=(9,12),c=⑷-3)；

⑵K=2；-b=-3,-4),

n=a+c=(7，1)；

所以*：=-3X7-4X1=-25,

1irl=。(-3)2+(-4)2=5，

lnl=V72+l2=5V2；

-25

所以cos<n，n>一返

5X5^22，

1mIXInI

所以向量；、：的夹角为筌.

18.在①sinA-sinC/11-山-311一电,②2ccosC=acosB+反osA这两个条件中任选一个，补

ba+c

充在下面问题中的横线上，并解答.

在aABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

(1)求角C；

(2)若。=遥，a+b=JYi，求△ABC的面积.

解：若选择①，sinA-sinC二sinA-sinB,

ba+c

(1)由正弦定理可得：—,整理可得：a2+b2-^=ab,

ba+c

2,,22讣I

由余弦定理可得cosC=且二^£_=/=4，

2ab2ab2

因为Ce(0,n),

所以C=^-.

TT__

(2)因为C=-^-,c=巡，a+b=7Tl>

o

222222

所以由余弦定理c=a+b-2abeosC,可得5=a+b-ab=(a+b)-3ab=11-3abf

解得ab=2,

所以S^ABC=X//?sinC=—X2义*^=爽^

22/22

若选择②，2ccosC=acosB+bcosA,

(1)由正弦定理可得：2sinCcosC=sirb4cosB+sinBcosA=sinC,

因为。为三角形内角，sinCWO,

所以可得COsC=y,

因为CW(0,71),

所以c=2.

九__

(2)因为C=w，c=娓,a+b=，H，

所以由余弦定理<?=。2+匕2-2abeosC,可得S—cr+b1-ab—(a+b)2-3ab=11-3ab,

解得ab=2,

snC=

所以5AAfic=X^'—X

2222

19.如图，矩形AOEF与梯形ABC。所在的平面互相垂直，ADLCD,AB//CD,AB=AD

=2,CD=4,M为CE的中点.

(I)求证：BM〃平面AQ£F；

(II)求证：3C_L平面BDE.

E

【解答】证明：(I)取。E中点N,连结MMAN.

在△EOC中，M,N分别为EC,的中点，…

所以MN〃C。，且MN《CD.

由已知A8〃C£>,AB^yCE-

所以MN〃A2,且MN=AB.

所以四边形ABMN为平行四边形.…

所以BM//AN.

又因为ANu平面ADEF,且BMC平面ADEF,

所以8M〃平面AOEF.•••

(II)在矩形AOEF中，ED1.AD.

又因为平面AOEFL平面ABCD,

且平面ADEFC\平面ABCD=AD,

所以E£>J_平面ABCD.

所以E£)_L8c.…

在直角梯形ABC。中，AB=AD=2,8=4,可得BC=2&.

在△BCD中，BD=BC=2V2>CD=4,

因为所以BC_LBD

因为BOn£>E=£>,所以BCJ_平面BOE.…

C

A

20.如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-481G中，F,Q分别是

AC,4G的中点.求证：

(1)平面ASA〃平面CiBF；

(2)平面A8|FiJ_平面ACCiA.

【解答】证明：(1)在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A由Ci中，

VF,尸1分别是AC,AiG的中点，

：.B\F\//BF,AF1/7C1F；

又：B|FinAFi=Q,CiFCBF=F,

平面ABIFI〃平面C\BF.

(2)在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱A8C4BiG中，

,.，AAi_1_平面A\B\C\,

••B\F\J_AAi；

又:房尸i_L4Q,AICIAA4I=AI,

・・・8]F」平面ACCA,

又BiQu平面AB\F\,

平面A8iFi_L平面ACCiAj.

21.在四棱锥P-ABC力中，底面ABC。是正方形，侧面PA。是正三角形，平面PAC底

面ABCD.

(1)证明：ABL平面PA。；