2022-2023学年人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数 单元复习题含解析

第第页2022-2023学年人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数单元复习题（含解析）人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数单元复习题

一、选择题

1．的值等于（）

A．B．C．1D．2

2．如图，已知是的直径，内接于，若，，则的值为（）

A．B．C．D．

3．淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（）

A．南偏西方向B．南偏东方向

C．北偏西方向D．北偏东方向

4．以下是某数学兴趣小组开展的课外探究活动，探究目的：测量小河两岸的距离，探究过程：在河两岸选取相对的两点P、A，在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（）

A．米B．米C．米D．米

5．在中，，则（）

A．1B．2C．D．

6．下图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（）

A．B．C．D．

7．如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（）

A．米B．米C．米D．米

8．如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为（）

A．B．C．D．

二、填空题

9．计算：．

10．如图，大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12（m），则迎水坡AB的长为（m）．

11．如图，已知正方形和正方形，点在上，与交于点，，正方形的边长为，则的长为．

12．某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是．

三、解答题

13．如图，在长方形中，已知为上一点，交于点．若，长方形的周长为，且，求的长．

14．一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯灯杆底部不可到达的高如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，求该景观灯的高参考数据：，，

四、综合题

15．如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．

（1）求证：是的切线；

（2）若的半径为，，则的长为．

16．小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．

（1）求两楼之间的距离（结果保留根号）；

（2）求大厦的高度（结果取整数）．

（参考数据：，，，）

答案解析部分

1．【答案】B

【解析】【解答】=2×=

故答案为：B。

【分析】利用特殊的锐角三角函数值进行计算即可。

2．【答案】B

【解析】【解答】解：∵是的直径，内接于，

∴∠BAD=90°，∠C=∠ADB，

∴，

故答案为：B.

【分析】先根据圆周角定理即可得到∠BAD=90°，∠C=∠ADB，进而根据锐角三角函数的定义即可求解。

3．【答案】D

【解析】【解答】解：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，

∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向，

故答案为：D

【分析】根据平行线的性质结合方向角的定义即可求解。

4．【答案】C

【解析】【解答】解：由题意得，

∵米，

∴PA=米，

故答案为：C.

【分析】根据解直角三角形的知识即可直接求解。

5．【答案】A

【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AC=，

∴tan∠B=，

∴=，

∴AB=1.

故答案为：A.

【分析】根据三角函数的概念可得tan∠B=，代入计算即可.

6．【答案】D

【解析】【解答】解：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，

∴小正方形的边长是1，大正方形的边长是5，

设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，

由勾股定理得，a2+（a+1）2=52，

解得，a1=3，a2=-4（舍去），

∴a=3，

∴.

故答案为：D.

【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为ā+1，利用勾股定理得到关于a的方程，解方程求出直角三角形的两个直角边的长，最后根据锐角三角函数的定义可求出cosα的值.

7．【答案】D

【解析】【解答】解：∵∠ACB=45°，AB=5，

∴AC=5.

∵AB=5，∠BDA=30°，

∴AD=AB÷tan30°=5÷=，

∴CD=AD-AC=-5≈3.66.

故答案为：D.

【分析】分别在Rt△ABC、Rt△ABD中，由三角函数的概念求出AC、AD，然后根据CD=AD-AC进行计算.

8．【答案】B

【解析】【解答】

解：如图：

由题意得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE//BF，

∴∠EAB+∠ABF=180°，

∴∠CAB+∠CBA=180°-∠EAC-∠CBF=75°，

∵∠α是△ACB的一个外角，

∴∠α=∠CAB+∠CBA=75°.

故答案为：B

【分析】根据题意得出∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE//BF，再由平行线的性质得出∠EAB+∠ABF=180°，利用三角形内角和定理及外角的性质求解即可.

9．【答案】

【解析】【解答】解：根据特殊角的三角函数值知：，

故答案为：．

【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解.

10．【答案】

【解析】【解答】解：∵大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12m，

∴BC=6，

∴迎水坡AB的长为（m）.

故答案为：.

【分析】根据坡比的定义得出BC的长为6m，然后根据勾股定理即可求解。

11．【答案】10

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，∴∠ABG+∠AGB=90°，∵AB=8，∴AG=4，∴GD=4，又∵四边形GBEF是正方形，∴∠BGF=90°，∴∠AGB+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠ABG，∴∴，∴CH=DC-DH=8-2=6，∴在Rt△BCH中，

故第1空答案为：10.

【分析】在直角三角形ABG中，根据正切的定义，可求得AG=4，又根据同角的余角相等，得出∠DGH=∠ABG，在直角三角形DHG中，根据正切的定义，求得DH=2，从而得出CH=6，然后在直角三角形BCH中，根据勾股定理求得BH的长即可。

12．【答案】

【解析】【解答】解：如图所示：

由题意得四边形CANM、四边形CABD、四边形DBNM为矩形，

∴DC=BA=30，CA=NM=1，

由题意得∠DCE=30°，∠MDE=60°，

∴∠CED=30°=∠DCE，

∴DC=DE=30，

∴，

解得，

∴EN=m，

故答案为：

【分析】先根据题意结合矩形的性质即可得到DC=BA=30，CA=NM=1，进而根据题意得到∠DCE=30°，∠MDE=60°，从而得到∠CED=30°=∠DCE，DC=DE=30，再运用解直角三角形的知识即可求出ME，进而即可得到EN。

13．【答案】解：四边形是长方形，

，

，

，

，

，

在和中，，

，

，

，，

，

解得：．

【解析】【分析】利用平行四边形的性质，再结合题中的已知，证出△AEF≌△DCE，可得出AE=DC，本题即可得到解决。

14．【答案】解：过点作，垂足为，

由题意得：，，

设，

在中，，

，

，

，，

，

，

∽，

，

，

，

，

解得：，

，

该景观灯的高约为．

【解析】【分析】本题考查的是三角函数的实际应用及相似三角形的判定与性质，根据题意构造所需要的直角三角形是解题的关键，然后利用三角函数和相似比表示出对应边的代数式，再通过方程求解.

15．【答案】（1）证明：是的直径，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

即．

为的直径，

是的切线；

（2）8

【解析】【解答】解：（2）∵tanE=，

∴.

设DB=x，则BE=2x，

∴BC=BE=2x，AD=AB-BD=10-x.

∵AC=AD，

∴AC=10-x.

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC2+BC2=AB2，

∴(10-x)2+(2x)2=102，

解得x=0（舍去）或x=4，

∴BE=2x=8.

故答案为：8.

【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ACD=∠ADC，由对顶角的性质可得∠ADC=∠BDE，则∠ACD=∠BDE，由等腰三角形的性质可得∠BCD=∠E，结合∠ACD+∠BCD=90°可得∠BDE+∠E=90°，利用内角和定理求出∠DBE的度数，据此证明；

（2）根据三角函数的概念可设DB=x，则BE=2x，BC=BE=2x，AC=AD=10-x，由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，代入求解可得x的值，进而可得BE.

16．【答案】（1）解：如图，作于点E