人教A版2023必修第一册2.2基本不等式 同步练习含解析

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一、单选题

1．已知集合，则=

A．B．C．D．

2．已知，，且，则下列结论中正确的是（）

A．有最小值4B．有最小值1

C．有最大值4D．有最小值4

3．已知，则的最大值为（）

A．2B．4C．5D．6

4．下列不等式恒成立的是（）

A．B．

C．D．

5．已知正实数、满足，则的取值可能为（）

A．B．C．D．

6．若实数满足约束条件，且最大值为1，则的最大值为（）

A．B．C．D．

7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点.若四边形面积的最大值为8，则a的最小值为（）

A．B．2C．D．4

8．若，则下面结论正确的有（）

A．B．若，则

C．若，则D．若，则有最大值

9．已知，，且，则的最小值为（）

A．8B．C．9D．

10．已知，则的最小值是（）

A．7B．C．4D．

11．设实数满足，函数的最小值为（）

A．B．C．D．6

12．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

13．已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（）．

A．B．C．D．

14．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（）

A．B．C．D．

15．是不同时为0的实数，则的最大值为（）

A．B．C．D．

二、填空题

16．已知正实数，满足，则的最大值等于______．

17．若正数、满足，则的最小值为________.

18．已知实数，则的最小值为_________．

三、解答题

19．已知都是正数，且，

（1）求的最小值；

（2）求的最小值．

20．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．

（1）求的最小值；

（2）证明：＜．

21．已知函数.

（1）当，解不等式；

（2）求证：

22．（1）若，求的最小值及对应的值；

（2）若，求的最小值及对应的值．

试卷第1页，共3页

试卷第1页，共3页

参考答案：

1．C本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】由题意得，，则

．故选C．

不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

2．A利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可

【详解】解：，，且，

对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确，

对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，即有最大值1，所以B错误，

对于C，因为，当且仅当时取等号，即有最小值4，所以C错误，

对于D，因为，当且仅当时取等号，即有最大值4，所以D错误，

故选：A

3．A由基本不等式求解即可

【详解】因为，

所以可得，

则，

当且仅当，即时，上式取得等号，

的最大值为2．

故选：A．

4．B由基本不等式，可判定A不正确；由，可判定B正确；根据特例，可判定C、D不正确；

【详解】由基本不等式可知，故A不正确；

由，可得，即恒成立，故B正确；

当时，不等式不成立，故C不正确；

当时，不等式不成立，故D不正确.

故选：B.

5．D利用基本不等式求得的最小值判断.

【详解】解：因为正实数、满足，

所以，

，

当且仅当，即时，等号成立，

故选：D

6．A首先画出可行域，根据目标函数的几何意义得到，再利用基本不等式的性质即可得到的最大值.

【详解】由题知不等式组表示的可行域如下图所示：

目标函数转化为，

由图易得，直线在时，轴截距最大.

所以.

因为，即，

当且仅当，即，时，取“”.

故选：A

本题主要考查基本不等式求最值问题，同时考查了线性规划，属于中档题.

7．C当直线与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，由面积公式及基本不等式求解即可.

【详解】设椭圆E的半焦距为c.直线过原点，

当其与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，此时，

所以，

所以，当且仅当时等号成立.

故

故选：C

本题考查椭圆的标准方程和几何性质，利用基本不等式求最值，属于中档题.

8．B对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可.

【详解】对于选项A：若，

由基本不等式得，即，

当且仅当时取等号；所以选项A不正确；

对于选项B：若，

，

，

当且仅当且，

即时取等号，所以选项B正确；

对于选项C：由，

，

即，

如时，，所以选项C不正确；

对于选项D：，当且仅当时取等

则有最大值，所以选项D不正确；

故选：B

9．C由题得，再利用基本不等式“1”的代换求最值.

【详解】因为，，，所以，

∴，

当且仅当取得等号，则的最小值为9.

故选：C

10．D由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.

【详解】因为，

所以，

当且仅当即时，等号成立.

结合可知，当时，有最小值.

故选：D.

11．A将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.

【详解】解：由题意，所以，

所以

，

当且仅当，即时等号成立，

所以函数的最小值为.

故选：A．

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

12．D由题意可知，是不等式解集的一个真子集，然后对与的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围.

【详解】由题可知是不等式的解集的一个真子集.

当时，不等式的解集为，此时；

当时，不等式的解集为，

，合乎题意；

当时，不等式的解集为，

由题意可得，此时.

综上所述，.

故选：D.

本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.

13．D根据题意，结合基本不等式计算的最小值，即可求解.

【详解】由题意得

，

当且仅当时取等号．因此，结合，可知．

则符合条件，因此正实数的取值范围是.

故选：D．

14．D分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.

【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.

所以，即实数a的最小值为.

故选：D.

15．A对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.

【详解】因为a，b均为正实数，

则

，

当且仅当，且取等，即取等号，

即则的最大值为，

故选：A．

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.

16．1由题意利用基本不等式可得，由此求得的最大值．

【详解】正实数，满足，即，

∴（当且仅当时，取等号），

∴，即，

则的最大值等于1，

故答案为：1．

17．由可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】已知正数、满足，则，

所以，，

当且仅当时，等号成立.

因此，的最小值为.

故答案为：.

本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查了的妙用，考查计算能力，属于基础题.

18．依题意可得，利用基本不等式及与的关系计算可得；

【详解】解：因为，

所以

因为，所以，

所以原式，当且仅当时取等号．

故答案为：

19．(1)；(2).(1)利用1的代换将式子变形，再用基本不等式求最小值；

(2)先将式子中的1用代换，展开整理，再用基本不等式求最小值.

【详解】(1).

因为都是正数，所以由基本不等式得，

，

所以，当且仅当，时等号成立.

所以的最小值为.

(2).

因为都是正数，所以由基本不等式得，

，

所以，当且仅当，时等号成立.

所以的最小值为.

20．（1）；（2）证明见解析.（1）利用基本不等式即可求得最小值；

（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．

【详解】（1），

当且仅当“”时取等号，

故的最小值为；

（2）证明：

，

当且仅当时取等号，此时a+b≠1．

故＜．

本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，以及利用基本不等式证明不等式，属基础题.

21．（1）（2）证明见解析（1）利用零点分段法，对分三种情况讨论，分别解不等式，即可得答案；

（2）当时，不等式显然成立；当时，，再证明左边的最大值小于等于右边的最小值即可.

【详解】（1）当，不等式为，

当时，，不符合题意；

当时，，解得，故此时；

当时，，符合题意，故此时，

综上，原不等式的解集为．

（2）当时，不等式显然成立；

当时，要证即证，

因为，

当且仅当，等号成立．

而，当且仅当等号成立，

所以成立．

所以．

本小题以含绝对值函数为载体，考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明等基础知识，考