2023鲁教版八年级 下 期末数学常考试题100题 解析版 名校版

【文库独家】鲁教版五四制八年级（下）期末数学常考试题100题参考答案与试题解析一、选择题（共31小题）1．（赵县期中）下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．考点：二次根式的定义．分析：根据二次根式的概念“形如（a≥0）的式子，即为二次根式”，进行分析．解答：解：根据二次根式的概念，知A、B、C中的被开方数都不会恒大于等于0，故错误；D、因为x2+2＞0，所以一定是二次根式，故正确．故选：D．点评：此题考查了二次根式的概念，特别要注意a≥0的条件．2．（启东市期中）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（）A．2B．C．3D．考点：菱形的判定与性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：设AP，EF交于O点，四边形AFPE为平行四边形，可得△AEO的面积=△FOP的面积，所以阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．解答：解：设AP，EF交于O点，∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积=△FOP的面积，∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，菱形ABCD的面积=AC•BD=5，∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．故选：B．点评：本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．3．（利辛县校级月考）已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须（）A．n=0B．m，n同号C．n是m的整数倍D．m，n异号考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：首先求出x2的值为﹣，再根据x2≥0确定m、n的符号即可．解答：解：mx2+n=0，x2=﹣，∵x2≥0，∴﹣≥0，∴≤0，∴mn异号，故选：D．点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是表示出x2的值，根据x2的取值范围确定m、n的符号．4．（2015•泗阳县一模）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是（）A．四边形ABCD是梯形B．四边形ABCD是菱形C．对角线AC=BDD．AD=BC考点：菱形的判定；三角形中位线定理．分析：利用三角形中位线定理可以证得四边形EFGH是平行四边形；然后由菱形的判定定理进行解答．解答：解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，∴EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG；同理，HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形；A、若四边形ABCD是梯形时，AD≠CD，则GH≠FE，这与平行四边形EFGH的对边GH=FE相矛盾；故本选项错误；B、若四边形ABCD是菱形时，点EFGH四点共线；故本选项错误；C、若对角线AC=BD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，证明同A选项；故本选项错误；D、当AD=BC时，GH=GF；所以平行四边形EFGH是菱形；故本选项正确；故选：D．点评：本题考查了菱形的判定与性质．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．5．（2015•潍坊模拟）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形考点：菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．分析：根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．解答：解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，故选：D．点评：主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．6．（2015•潍坊模拟）如果，那么x取值范围是（）A．x≤2B．x＜2C．x≥2D．x＞2考点：二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：根据二次根式的被开方数是一个≥0的数，可得不等式，解即可．解答：解：∵=2﹣x，∴x﹣2≤0，解得x≤2．故选A．点评：本题考查了二次根式的化简与性质．解题的关键是要注意被开方数的取值范围．7．（2015•泰安模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为（）A．B．2C．D．3考点：菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题；动点型．分析：首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得=，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值．解答：解：连接PP′交BC于O，∵若四边形QPCP′为菱形，∴PP′⊥QC，∴∠POQ=90°，∵∠ACB=90°，∴PO∥AC，∴=，∵设点Q运动的时间为t秒，∴AP=t，QB=t，∴QC=6﹣t，∴CO=3﹣，∵AC=CB=6，∠ACB=90°，∴AB=6，∴=，解得：t=2，故选：B．点评：此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关键是熟记平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．推出比例式=，再表示出所需要的线段长代入即可．8．（2015•石河子校级模拟）关于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一个根是1，则m的值是（）A．0B．﹣C．D．0或，考点：一元二次方程的解．分析：一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．解答：解：把1代入方程得3m2+1+2m﹣1=0，解得m=0或，故选：D．点评：本题的关键是把x的值代入原方程，得到一个关于待定系数的一元二次方程，然后求解．9．（2015•普陀区一模）如图，直线l1∥l2∥l3，两直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F．下列各式中，不一定成立的是（）A．B．C．D．考点：平行线分线段成比例．分析：根据平行线分线段成比例的性质（三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例），逐项分析推出正确的比例式，运用排除法即可找到正确的选项．解答：解：如图，∵直线l1∥l2∥l3，∴，，，∴A、B、D选项中的等式成立，C选项中的等式不一定成立．故选择C．点评：本题主要考查平行线分线段成比例的性质，关键在于认真的逐项分析找到成比例的线段．10．（2015•平遥县模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根考点：根的判别式．专题：计算题．分析：先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．解答：解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．11．（2015•蓬溪县校级模拟）下列四个等式：①；②（﹣）2=16；③（）2=4；④．正确的是（）A．①②B．③④C．②④D．①③考点：二次根式的性质与化简；二次根式有意义的条件．分析：本题考查的是二次根式的意义：①=a（a≥0），②=a（a≥0），逐一判断．解答：解：①==4，正确；②=（﹣1）2=1×4=4≠16，不正确；③=4符合二次根式的意义，正确；④==4≠﹣4，不正确．①③正确．故选：D．点评：运用二次根式的意义，判断等式是否成立．12．（2015•茂名校级一模）顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是菱形，应添加的条件是（）A．AD∥BCB．AC=BDC．AC⊥BDD．AD=AB考点：菱形的判定；三角形中位线定理．分析：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．解答：解：添加AC=BD．如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ABC、△ACD的中位线，∴EH=FG=BD，EF=HG=AC，∴当AC=BD时，EH=FG=FG=EF成立，则四边形EFGH是菱形．故选：B．点评：本题考查菱形的判定和三角形中位线定理．本题是开放题，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，再证明结论．13．（2015•金华模拟）相邻两边长分别为2和3的平行四边形，若边长保持不变，其内角大小变化，则它可以变为（）A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形考点：矩形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；正方形的判定．分析：根据矩形的判定得出能变成矩形，根据菱形的四边相等可得不能变成菱形，也不能变成正方形．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=DC=2，BC=AD=3，当∠B=90°时，四边形ABCD就是矩形，∵四边形邻边不相等，∴不能变成菱形，也不能变成正方形，故选A．点评：本题考查了对平行四边形性质，矩形、菱形、正方形的判定的应用，注意：有一个角是直角的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形．14．（2015•江岸区校级模拟）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（）A．7B．8C．9D．10考点：一元二次方程的应用．分析：设这个小组的人数为x个，则每个人要送其他（x﹣1）个人贺卡，则共有（x﹣1）x张贺卡，等于72张，由此可列方程．解答：解：设这个小组有x人，则根据题意可列方程为：（x﹣1）x=72，解得：x1=9，x2=﹣8（舍去）．故选C．点评：本题考查的是一元二次方程在实际生活中的应用，正确找准等价关系列方程即可，比较简单．15．（2015•剑川县三模）要使式子有意义，a的取值范围是（）A．a＞﹣2B．a＜﹣2C．a≤2D．a≥﹣2考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0即可求解．解答：解：根据题意得：a+2≥0，解得：a≥﹣2．故选：D．点评：本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．16．（2015•黄冈中学自主招生）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1B．5：3：1C．25：12：5D．51：24：10考点：相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：连接EM，根据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根据相似比从而不难得到答案．解答：解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=3：5，ME：AD=1：3∴AH=（3﹣）ME∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5∴BH：BM=BD：BE=3：5∴BH：HG：GM=51：24：10故选D．点评：此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用．17．（2015•黄冈中学自主招生）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，则x1•x2=（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：利用根与系数的关系求出x1•x2=的值即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，∴x1x2==3，故选：B．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数的关系是解决问题的关键．18．（2015•高青县一模）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（）A．（x+2）2=9B．（x﹣2）2=9C．（x+2）2=1D．（x﹣2）2=1考点：解一元二次方程-配方法．分析：移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．解答：解：x2+4x﹣5=0，x2+4x=5，x2+4x+22=5+22，（x+2）2=9，故选：A．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．19．（2015•肥城市一模）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CDB．AD=BCC．AB=BCD．AC=BD考点：矩形的判定．分析：由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．解答：解：可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选：D．点评：此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．20．（2014秋•万州区校级月考）若a=﹣+﹣，则a的值所在范围为（）A．a≥0B．0＜a＜1C．1＜a＜2D．a＞2考点：分母有理化；估算无理数的大小．分析：先把含有二次根式的分式分母有理化，再合并同类二次根式，然后求出的取值范围，进而可求a的取值范围．解答：解：∵=3+=3+2，=+=2+，=+，=+，∴a=3+2﹣2﹣++﹣﹣=3﹣，又∵2＜＜3，∴0＜a＜1．故选B．点评：本题考查了分母有理化、估算无理数的大小，解题的关键是先分母有理化．21．（2014•重庆）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的性质．分析：根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解．解答：解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，∴=，∴EF=2BC=2．故选：B．点评：本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于相似比．22．（2014•长宁区二模）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．考点：最简二次根式．分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解答：解：A、==3，可化简；C、==，可化简；D、=|a|，可化简；因此只有B是最简二次根式．故选：B．点评：在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．23．（2014•青山区模拟）下列计算正确的是（）A．B．C．D．考点：二次根式的乘除法；二次根式的加减法．分析：根据×=，÷=，可得答案．解答：解：A、×==，故A错误；B、二次根式的加法，被开方数不能相加，故B错误；C、﹣=2﹣=，故C正确；D、÷===2，故D错误；故选：C．点评：本题考查了二次根式的乘除法，利用了二次根式的乘除法运算．24．（2014•南京）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）考点：矩形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何图形问题；压轴题．分析：首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．解答：解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE=CF=4﹣1=3，∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，∴，即，∴OE=，即点B（，3），∴AF=OE=，∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）=﹣，∴点C（﹣，4）．故选：B．点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．25．（2014•牡丹江）若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5B．﹣C．D．5考点：比例的性质．专题：计算题．分析：根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．解答：解：∵x：y=1：3，∴设x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴==﹣5．故选：A．点评：本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．26．（2014•济宁）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：由ab＞0，a+b＜0先求出a＜0，b＜0，再进行根号内的运算．解答：解：∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0①=，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，（故①错误），②•=1，•===1，（故②正确），③÷=﹣b，÷=÷=×=﹣b，（故③正确）．故选：B．点评：本题是考查二次根式的乘除法，解答本题的关键是明确a＜0，b＜0．27．（2014•涪城区校级自主招生）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为（）A．6B．3C．2D．1考点：矩形的性质．分析：首先证△BOF≌△DOE，由此可得出S△BOF=S△DOE，由此可将阴影部分的面积转化为△ACD的面积．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，∠EDB=∠CBD；∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB；∴S△BOF=S△DOE；∴S阴影=S△BOF+S△AOE+S△COD=S△AOE+S△EOD+S△COD=S△ACD；∵S△ACD=AD•CD=3；∴S阴影=3；故选B．点评：此题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及图形面积的求法．28．（2014•佛山）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1考点：相似多边形的性质．分析：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．解答：解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为=1：2．故选：B．点评：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．29．（2014•奉贤区二模）下列根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．考点：最简二次根式．分析：要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．解答：A、可以化简，不是最简二次根式；B、，不能再开方，被开方数是整式，是最简二根式；C、，被开方数是分数，不是最简二次根式；D、，被开方数是分数，不是最简二次根式．故选B．点评：本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．30．（2014•白云区一模）下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．矩形的对角线相等考点：矩形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．专题：推理填空题．分析：根据平行四边形的性质即可判断A；根据平行四边形的判定即可判断B；根据矩形的判定即可判断C；根据矩形的性质即可判断D．解答：解：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；故选：C．点评：本题考查了矩形、平行四边形的性质和判定的应用，主要培养学生的判断能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．31．（2013•北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60mB．40mC．30mD．20m考点：相似三角形的应用．分析：由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．解答：解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，∴解得：AB=40，故选B．点评：考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．二、填空题（共30小题）32．（黔南州校级月考）若实数a、b、c在数轴的位置，如图所示，则化简=﹣a﹣b．考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴．专题：计算题．分析：先根据数轴上各点的位置判断出a，b的符号及a+c与b﹣c的符号，再进行计算即可．解答：解：由数轴可知，c＜b＜0＜a，|a|＜|c|，∴a+c＜0，b﹣c＞0，∴原式=﹣（a+c）﹣（b﹣c）=﹣a﹣b．故答案为：﹣a﹣b．点评：正确地根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．33．（平南县校级月考）当x是任意实数时，是二次根式．考点：二次根式的定义．分析：根据二次根式的定义列出不等式求解即可．解答：解：根据题意，（1﹣x）2≥0，解得x是任意实数．故答案为：是任意实数．点评：本题考查了二次根式的定义，利用被开方数是非负数列式求解即可，比较简单．34．（汉阳区期中）矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为2cm．考点：矩形的性质．分析：根据矩形的性质（对角线相等且互相平分），求解即可．解答：解：矩形的两条对角线交角为60°的三角形为等边三角形，又因为两条对角线的和为8cm，故一条对角线为4cm，又因为矩形的对角线相等且相互平分，故矩形的一条较短边为2cm．故答案为：2．点评：本题考查的是矩形的性质（矩形的对角线相等且相互平分），本题难度一般．35．（沭阳县期中）如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是48平方厘米．考点：矩形的性质；解一元一次方程；三角形的面积；三角形中位线定理．专题：计算题．分析：设这个长方形ABCD的长为a厘米，宽为b厘米．即BC=a，AB=b，则其面积为ab平方厘米，过F作FG⊥CD，FQ⊥BC且分别交CD于G、BC于Q，求出则FQ=b，FG=a，得到△BFC的面积，同理求出△FCD的面积，根据△BDF的面积=△BCD的面积﹣（△BFC的面积+△CDF的面积），得到6=ab﹣（ab+ab）=ab，可求出ab的值，即可得到答案．解答：解：设这个长方形ABCD的长为a厘米，宽为b厘米．即BC=a，AB=b，则其面积为ab平方厘米．∵E为AD的中点，F为CE的中点，∴过F作FG⊥CD，FQ⊥BC且分别交CD于G、BC于Q，则FQ=CD=b，FG=a．∵△BFC的面积=BC•FQ=a•b，同理△FCD的面积=•b•a，∴△BDF的面积=△BCD的面积﹣（△BFC的面积+△CDF的面积），即：6=ab﹣（ab+ab）=ab∴ab=48．∴长方形ABCD的面积是48平方厘米．故答案为：48．点评：本题主要考查了矩形的性质，三角形的中位线，三角形的面积，解一元一次方程等知识点，根据已知求出ab的值是解此题的关键．36．（滨海县校级月考）如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件AB=AC或∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形．考点：菱形的判定．分析：由三角形的中位线的性质，可得四边形AEDF为平行四边形，如AE=AF，则四边形AEDF为菱形，则添加条件：AB=AC．解答：解：需加条件AB=AC，这样可根据三线合一的性质，得出D是BC的中点，根据中位线定理可得，DE平行且等于AF，则AEDF为平行四边形，又可得AE=AF，则四边形AEDF为菱形．则添加条件：AB=AC．当∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形．故答案为：AB=AC或∠B=∠C．点评：此题主要考查菱形的判定和角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定定理是解题关键．37．（2015•淄博模拟）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式中的被开方数是非负数，可得出x的取值范围．解答：解：∵二次根式有意义，∴2x﹣1≥0，解得：x≥．故答案为：x≥．点评：本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握：二次根式有意义，被开方数为非负数．38．（2015•石河子校级模拟）方程kx2+1=x﹣x2无实根，则k＞﹣．考点：根的判别式．分析：首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后根据其无实根△＜0求得k的取值范围即可；解答：解：原方程整理为：（k+1）x2﹣x+1=0，∵原方程无实根，∴△=（﹣1）2﹣4（k+1）＜0，解得：k＞﹣，故答案为：＞﹣点评：本题考查了根的判别式的知识，解题的关键是将原方程整理成一元二次方程的一般形式．39．（2015•罗平县校级模拟）已知，1≤x≤3，化简：=2．考点：二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：由题意1≤x≤3，可以判断1﹣x≤0；x﹣3≤0，然后再直接开平方进行求解．解答：解：∵1≤x≤3，∴1﹣x≤0，x﹣3≤0，∴=x﹣1+3﹣x=2，故答案为：2．点评：此题主要考查二次根式的性质和化简，计算时要仔细，是一道基础题．40．（2015•剑川县三模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一个根是0，则m的值是2．考点：一元二次方程的解．分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x=0代入方程，即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值，还要注意一元二次方程的系数不能等于0．解答：解：把x=0代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0中得：m2﹣3m+2=0，解得：m=1或m=2，∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴m=2，故答案为：2．点评：此题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解题过程中要注意一元二次方程的系数不能等于0．41．（2015•黄冈中学自主招生）已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是．考点：比例的性质．分析：根据已知条件把所求的式子进行整理，即可求出答案；解答：解∵a+b+c=10，∴a=10﹣（b+c），b=10﹣（a+c），c=10﹣（a+b），∴=﹣+﹣+﹣=﹣1+﹣1+﹣1=++﹣3，∵，∴原式=×10﹣3=﹣3=．故填：．点评：本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．42．（2015•东西湖区校级模拟）已知（m﹣2）x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠2．考点：一元二次方程的定义．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的定义得到m﹣2≠0，然后解不等式即可．解答：解：根据题意得m﹣2≠0，所以m≠2．故答案为：m≠2．点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．43．（2015•常州模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，则▱ABCD的周长是4+2．考点：解一元二次方程-因式分解法；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：先解方程求得a，再根据勾股定理求得AB，从而计算出▱ABCD的周长即可．解答：解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，∴（x﹣1）（x+3）=0，即x=1或﹣3，∵AE=EB=EC=a，∴a=1，在Rt△ABE中，AB==a=，∴▱ABCD的周长=4a+2a=4+2．故答案为：4+2．点评：本题考查了用因式分解法解一元二次方程，以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．44．（2014春•鹤岗校级期末）若（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣5=0，则x2+y2=5．考点：换元法解一元二次方程．分析：把x2+y2当作一个整体，可以设x2+y2=t，则原方程即可变形为一个关于t的一元二次方程，解方程即可求得t，即x2+y2的值，然后利用平方的非负性，即可确定．解答：解：设x2+y2=t，则原式变形为：t2﹣4t﹣5=0，∴（t﹣2）2﹣9=0，∴（t﹣2）2=9，∴t=5或﹣1．∵x2+y2≥0，∴x2+y2=5．点评：本题的关键是把x2+y2看成一个整体来计算，即换元法思想．45．（2014•永嘉县校级模拟）如图，AB∥CD，∠A=∠B=90°，AB=3cm，BC=2cm，则AB与CD之间的距离为2cm．考点：矩形的判定与性质．专题：证明题．分析：由AB∥CD，可得∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，再根据∠A=∠B=90°，可得出∠C=∠D=90°，则四边形ABCD为矩形，从而得出AB与CD之间的距离为BC的长．解答：解：∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，∵∠A=∠B=90°，∴∠C=∠D=90°，∴四边形ABCD为矩形，∴AB与CD之间的距离为BC，∵BC=2cm，∴AB与CD之间的距离为2cm．故答案为：2．点评：本题考查了矩形的判定和性质，是基础知识比较简单．46．（2014•苏州模拟）若m＞n＞0，m2+n2=4mn，则的值等于2．考点：解一元二次方程-公式法．专题：压轴题．分析：根据已知条件求得m+n=，m﹣n=；然后将所求的代数式转化为含有m+n、m﹣n的形式的代数式，并将m+n=，m﹣n=代入求值即可．解答：解：∵m＞n＞0，m2+n2=4mn，∴（m+n）2=6mn，（m﹣n）2=2mn，∴m+n=，m﹣n=，∴===2；故答案是：2．点评：本题考查了完全平方公式的运用．解答此题的技巧在于根据已知条件将m+n、m﹣n用所求代数式的分母mn表示的形式，便于约分，从而求得的值．47．（2014•祁阳县校级模拟）将方程3x（x﹣1）=5（x+2）化为一元二次方程的一般式3x2﹣8x﹣10=0．考点：一元二次方程的一般形式．分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），首先把方程左右两边的两式相乘，再移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可．解答：解：方程3x（x﹣1）=5（x+2），去括号得：3x2﹣3x=5x+10，故化成一般形式是：3x2﹣8x﹣10=0．点评：去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．48．（2014•南岗区三模）计算：=2．考点：分母有理化．分析：把被开方数相除，再求出即可，也可以根据分母有理化求．解答：解：原式===2，故答案为：2．点评：本题考查了分母有理化和二次根式的除法的应用，主要考查学生的计算能力．49．（2014•泸州）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为4．考点：菱形的判定与性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：根据平行四边的性质，可得对角线互相平分，根据勾股定理的逆定理，可得对角线互相垂直，根据菱形的判定，可得菱形，根据菱形的面积公式，可得答案．解答：解：∵平行四边形两条对角线互相平分，∴它们的一半分别为2和，∵22+（）2=32，∴两条对角线互相垂直，∴这个四边形是菱形，∴S=4×2=4．故答案为：4．点评：本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一半．50．（2014•娄底）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（只填一个）．考点：矩形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．解答：解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．点评：本题主要应用的知识点为：矩形的判定．①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．51．（2014•济宁）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=4．考点：解一元二次方程-直接开平方法．专题：计算题．分析：利用直接开平方法得到x=±，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有=2，然后两边平方得到=4．解答：解：∵x2=（ab＞0），∴x=±，∴方程的两个根互为相反数，∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2，∴4a=b∴=4．故答案为：4．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．52．（2014•广东模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=4，则四边形CODE的周长为8．考点：菱形的判定与性质；矩形的性质．专题：几何图形问题．分析：首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．解答：解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，∴OD=OC=AC=2，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．故答案为：8．点评：此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．53．（2014•甘肃模拟）如图，在长8cm，宽4cm的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为8cm2．考点：相似多边形的性质．专题：压轴题．分析：本题需先设留下的矩形的宽为x，再根据留下的矩形与矩形相似，列出方程即可求出留下的矩形的面积．解答：解：设留下的矩形的宽为x，∵留下的矩形与原矩形相似，∴，x=2，∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm2）故答案为：8．点评：本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．54．（2013秋•路桥区校级期中）将化成最简二次根式的是10．考点：最简二次根式．分析：先将被开方数化为能直接开方的因数与另外因数的积的形式，然后开方即可．解答：解：==×=10．故答案为：10．点评：本题考查了二次根式的化简及最简二次根式的知识，解题的关键是将被开方数化为能直接开方的因数与另外因数的积的形式．55．（2013春•阳谷县期末）若和都是最简二次根式，则m=1，n=2．考点：最简二次根式．分析：由于两二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．解答：解：由题意，知：，解得：；因此m的值为1，n的值为2．故答案为：1，2．点评：本题考查的最简二次根式的定义．当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．56．（2013•宁德质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为4.8．考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．分析：连接CP，根据矩形的性质可知：DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出CP的长．解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，连接CP，∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，∴四边形DPEC是矩形，∴DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，∴DE=CP==4.8，故答案为：4.8．点评：本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求DE的最小值转化为其相等线段CP的最小值．57．（2013•吉林）若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m=3．考点：解一元二次方程-配方法．分析：此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解答：解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x2+6x+32=7+32，配方，得（x+3）2=16．所以，m=3．故答案为：3．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．58．（2014•随州）某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是20%．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：2000×（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=﹣220%（舍去）故答案为：20%．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．59．（2014•天水）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为20%．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．解答：解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，125（1﹣x）2=80，解得x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）；故答案为：20%点评：本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格．60．（2014•福州）计算：（+1）（﹣1）=1．考点：二次根式的乘除法；平方差公式．专题：计算题．分析：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．解答：解：（+1）（﹣1）=．故答案为：1．点评：本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单．61．（2014•武汉模拟）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD=，平行四边形CDEB为菱形．考点：菱形的判定．分析：首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD=AB﹣2OB．解答：解：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5（勾股定理）．若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．∵AB•OC=AC•BC，∴OC=．∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB===，∴AD=AB﹣2OB=．故答案是：．点评：本题考查了菱形的判定与性质．菱形的对角线互相垂直平分．三、解答题（共39小题）62．（长汀县期中）已知：，求：（x+y）4的值．考点：二次根式有意义的条件．专题：计算题．分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值，进而得出y的值，代入代数式进行计算即可．解答：解：∵与有意义，∴，解得x=2，∴y=﹣3，∴（2﹣3）4=1．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．63．（无棣县期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．考点：矩形的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．解答：：（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=8，CF=6，∴EF==10，∴OC=EF=5；（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．点评：此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．64．（扶沟县期中）已知x=2﹣，y=2+，求下列代数式的值：（1）x2+2xy+y2；（2）x2﹣y2．考点：二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x2+2xy+y2=（x+y）2，然后利用整体代入的方法计算；（2）根据已知条件先计算出x+y=4，x﹣y=﹣2，再利用平方差公式得到x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），然后利用整体代入的方法计算．解答：解：（1）∵x=2﹣，y=2+，∴x+y=4，∴x2+2xy+y2=（x+y）2=42=16；（2））∵x=2﹣，y=2+，∴x+y=4，x﹣y=﹣2，∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=4×（﹣2）=﹣8．点评：本题考查了二次根式的化简求值：先根据二次根式的性质和运算法则进行化简，然后把满足条件的字母的值代入求值．65．（2015•重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：（1）根据正方形的四条边都相等，AB=BC，又BE=BF，所以△ABE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等即可证出；（2）连接DG，根据正方形的性质，AB=AD，∠DAC=∠BAC=45°，AG是公共边，所以△ABG和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等，BG=DG，对应角相等∠2=∠3，因为BG⊥AE，所以∠BAE+∠2=90°，而∠BAE+∠4=90°，所以∠2=∠4，因此∠3=∠4，根据GM⊥CF和（1）中全等三角形的对应角相等可以得到∠1=∠BFC=∠2，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，所以DGM三点共线，因此△ADM是等腰三角形，AM=DM=DG+GM，所以AM=BG+GM．解答：证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠BFC=∠BEA；（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，，∴△ABG≌△ADG（SAS），∴BG=DG，∠2=∠3，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠2=90°，∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，∴∠2=∠3=∠4，∵GM⊥CF，∴∠BCF+∠1=90°，又∠BCF+∠BFC=90°，∴∠1=∠BFC=∠2，∴∠1=∠3，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，∴∠DGC也是△CGH的外角，∴D、G、M三点共线，∵∠3=∠4（已证），∴AM=DM，∵DM=DG+GM=BG+GM，∴AM=BG+GM．点评：本题综合性较强，主要考查正方形的性质，三角形全等的判定，三角形全等的性质，第二问中，证明三点共线是解题的关键．66．（2015•岳池县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．（1）若﹣1是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根．（2）对于任意实数m，判断方程根的情况，并说明理由．考点：根的判别式；一元二次方程的解．分析：（1）把x=﹣1代入原方程即可求出m的值，解方程进而求出方程的另一个根；（2）由方程的判别式△=b2﹣4ac计算的结果和0比较大小即可知道方程根的情况．解答：解：（1）把x=﹣1代入原方程得：1+m﹣2=0，解得：m=1，∴原方程为x2﹣x﹣2=0．解得：x=﹣1或2，∴方程另一个根是2；（2）∵△=b2﹣4ac=m2+8＞0，∴对任意实数m方程都有两个不相等的实数根．点评：本题主要是根据方程的解的定义求得未知系数，把判断一元二次方程的根的情况转化为根据判别式判断式子的值与0的大小关系的问题．67．（2015•阳山县一模）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定．分析：（1）根据矩形的性质可得AB=CD，∠A=∠D=90°，再根据M是AD的中点，可得AM=DM，然后再利用SAS证明△ABM≌△DCM；（2）四边形MENF是菱形．首先根据中位线的性质可证明NE∥MF，NE=MF，可得四边形MENF是平行四边形，再根据△ABM≌△DCM可得BM=CM进而得ME=MF，从而得到四边形MENF是菱形；（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，证明∠EMF=90°根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠D=90°，又∵M是AD的中点，∴AM=DM．在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SAS）．（2）解：四边形MENF是菱形．证明如下：∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，∴NE∥MF，NE=MF．∴四边形MENF是平行四边形．由（1），得BM=CM，∴ME=MF．∴四边形MENF是菱形．（3）解：当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：∵M为AD中点，∴AD=2AM．∵AD：AB=2：1，∴AM=AB．∵∠A=90，∴∠ABM=∠AMB=45°．同理∠DMC=45°，∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°．∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．故答案为：2：1．点评：此题主要考查了矩形的性质，以及菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握菱形和正方形的判定方法．68．（2015•扬州模拟）操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是相等；结论2：DM、MN的位置关系是垂直；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；旋转的性质．分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，位置关系式垂直；（3）连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，再有（1）的结论以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）解：相等，垂直；证明：∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，证明：连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由（1）同理可证，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．点评：本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是利用好各小题之间的联系，此题难度不大，但是角角之间的数量关系有点复杂，请同学们解答的时候注意．69．（2015•无锡校级一模）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF=DC．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：求出∠AED=∠EDC，∠DFE=∠C，证△DFE≌△DCE，即可得出答案．解答：证明：∵DF⊥AE于F，∴∠DFE=90°在矩形ABCD中，∠C=90°，∴∠DFE=∠C，在矩形ABCD中，AD∥BC∴∠ADE=∠DEC，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED，∴∠AED=∠DEC，∠DFE=∠C=90°，又∵DE是公共边，∴△DFE≌△DCE（AAS），∴DF=DC．点评：本题考查了矩形性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．70．（2015•潍坊模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．考点：相似三角形的判定与性质．专题：动点型．分析：（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．解答：解：根据勾股定理得：BA=；（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，，∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，∴，解得，t=1，②当△BPQ∽△BCA时，，∴，解得，t=；∴t=1或时，△BPQ∽△BCA；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：则PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM，∵∠ACQ=∠PMC，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴，解得t=．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．71．（2015•泰安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：（1）ED是BC的垂直平分线，根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，则EB=EC，故有∠3=∠4，在直角三角形ACB中，∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，则可得到AE=CE，从而证得△ACE和△EFA都是等腰三角形，又因为FD⊥BC，AC⊥BC，所以AC∥FE，再根据内错角相等得到AF∥CE，故四边形ACEF是平行四边形；（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．解答：解：（1）∵ED是BC的垂直平分线∴EB=EC，ED⊥BC，∴∠3=∠4，∵∠ACB=90°，∴FE∥AC，∴∠1=∠5，∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余∴∠1=∠2，∴AE=CE，又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形，∴∠5=∠F，∴∠2=∠F，∴在△EFA和△ACE中∵，∴△EFA≌△ACE（AAS），∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形．点评：本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱形的判定求解，有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．72．（2015•深圳一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．考点：菱形的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形；（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．解答：解：（1）∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD为平行四边形，∠2=∠3，又∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AD=DC，∴四边形AECD是菱形；（2）直角三角形．理由：∵AE=EC∴∠2=∠4，∵AE=EB，∴EB=EC，∴∠5=∠B，又因为三角形内角和为180°，∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°，∴∠ACB=∠4+∠5=90°，∴△ACB为直角三角形．点评：考查菱形的判定与性质的应用；用到的知识点为：一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的4条边都相等．73．（2015•蓬溪县校级模拟）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a﹣b|．考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴．分析：本题运用实数与数轴的对应关系确定﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，且b＞a，然后根据开方运算的性质和绝对值的意义化简即可求解．解答：解：从数轴上a、b的位置关系可知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，且b＞a，故a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，原式=|a+1|+2|b﹣1|﹣|a﹣b|=﹣（a+1）+2（b﹣1）+（a﹣b）=b﹣3．点评：本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和二次根式的化简，属于基础题，解答本题的关键是掌握绝对值的性质．74．（2015•溧水县一模）如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．解答：证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）．（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE是矩形．点评：本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．75．（2015•黄冈中学自主招生）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：由于x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，利用根与系数的关系可以得到x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，然后把（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）乘开，接着整体代入前面等式的值即可得到关于a的方程，解方程即可求解．解答：解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，a=1，b=（3a﹣1），c=2a2﹣1，∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，∴3x12﹣10x1x2+3x22=﹣80，3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，∴5a2+18a﹣99=0，∴a=3或﹣，当a=3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a=﹣．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．76．（2015•黄陂区校级模拟）解方程：x2﹣4x=1．考点：解一元二次方程-配方法．分析：配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．解答：解：配方得x2﹣4x+4=1+4，即（x﹣2）2=5，开方得x﹣2=±，∴x1=2+，x2=2﹣．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．77．（2015•湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．考点：相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．专题：计算题；证明题．分析：（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．解答：（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．点评：此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．78．（2015•福建模拟）已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．求证：四边形BCFE是菱形．考点：菱形的判定．专题：证明题．分析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF=BE，∴四边形BCFE是菱形．解答：解：∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=2DE．∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC=2DE且DE∥BC．∴EF=BC．又EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF=BE，∴四边形BCFE是菱形．点评：此题主要考查菱形的判定，综合利用了平行四边形的性质和判定．79．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x2﹣3x+1=0．考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：先观察再确定方法解方程，此题采用公式法求解即可．解答：解：∵a=1，b=﹣3，c=1∴b2﹣4ac=5∴x=．故，．点评：此题比较简单，考查了一元二次方程的解法，解题时注意选择适宜的解题方法．80．（2015•大庆模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．考点：菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；中点四边形．分析：（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的四边相等，即可证得；（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE的长，则正方形的面积可以求得．解答：（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，∴FG=CD，HE=CD，FH=AB，GE=AB．∵AB=CD，∴FG=FH=HE=EG．∴四边形EGFH是菱形．（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，∴GF∥DC，HF∥AB．∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠AB