含有一个量词的命题的否定（区一等奖）

1.4.3含有一个量词的命题的否定[目标导航]课标要求1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.素养达成通过含有量词的命题的否定、真假判断的学习,重点提升学生的数学抽象、逻辑推理等数学核心素养.新知导学课堂探究1.全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定﹁p:

.全称命题的否定是

命题.2.特称命题p:∃x0∈M,p(x0),它的否定﹁p:

.特称命题的否定是

命题.新知导学·素养养成∃x0∈M,﹁p(x0)特称∀x∈M,﹁p(x)全称名师点津常见词语的否定形式列表如下:正面词语等于大于(>)小于(<)是都是否定词语不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至多有一个至少有一个有或否定词语至少有两个一个也没有无且正面词语任意的任意两个所有的能否定词语某个某两个某些不能题型一课堂探究·素养提升全称命题的否定及真假判断[例1]写出下列全称命题的否定,并判断其否定的真假.(1)p:一切分数都是有理数;(2)q:直线l垂直于平面α,则对任意l′⊂α,l⊥l′;解:(1)﹁p:存在一个分数不是有理数,假命题.(2)﹁q:直线l垂直于平面α,则∃l′⊂α,使l与l′不垂直,假命题.方法技巧(1)对全称命题否定的两个步骤:①改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.②否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.(2)全称命题否定后的真假判断方法:全称命题的否定是特称命题,其真假性与全称命题相反;要说明一个全称命题是假命题,只需举一个反例即可.即时训练1-1:(1)“∀x∈R,x2≥0”的否定形式是(

)(2)已知命题p:∀x∈R,cosx≤1,则﹁p是(

)(A)∃x0∈R,cosx0≥1 (B)∀x∈R,cosx≥1(C)∃x0∈R,cosx0>1 (D)∀x∈R,cosx>1(2)∀x∈R,cosx≤1的否定为∃x0∈R,cosx0>1.故选C.[备用例1]命题“一次函数都是单调函数”的否定是(

)(A)一次函数都不是单调函数(B)非一次函数都不是单调函数(C)有些一次函数是单调函数(D)有些一次函数不是单调函数解析:命题的否定是存在(有些)一次函数不是单调函数.故选D.题型二特称命题的否定及真假判断[例2]写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数;(2)某些平行四边形是菱形;解:(1)命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也即“所有实数的绝对值都不是正数”.由于|-2|=2,因此命题的否定为假命题.(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,也即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是特殊的平行四边形,因此命题的否定是假命题.方法技巧(1)对特称命题否定的两个步骤:①改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.②否定结论:原命题中的“有”“存在”等改为“没有”“不存在”等.(2)特称命题否定后的真假判断方法:特称命题的否定是全称命题,其真假性与特称命题相反;要说明一个特称命题是真命题,只需要找到一个实例即可.解析:(1)﹁p为∀x∈R,x2-x+1≤0.故选C.(2)命题的否定是∀m,n∈Z,m2≠n2+1998.故选C.(2)“∃m,n∈Z,m2=n2+1998”的否定是(

)(A)∀m,n∈Z,m2=n2+1998(B)∃m,n∈Z,m2≠n2+1998(C)∀m,n∈Z,m2≠n2+1998(D)以上都不对[备用例2]特称命题“∃x0∉M,p(x0)”的否定是(

)(A)∀x∈M,﹁p(x) (B)∀x∉M,p(x)(C)∀x∉M,﹁p(x) (D)∀x∈M,p(x)解析:命题的否定是∀x∉M,﹁p(x).故选C.经验分享区由于全称量词往往省略不写,因此在写这类命题的否定时,必须找出其中省略的全称量词,写成“∀x∈M,p(x)”的形式,再把它的否定写成“∃x0∈M,﹁p(x0)”的形式,要学会挖掘命题中隐含的量词,注意把握每一个命题的实质,写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证.例如:命题p:可以被5整除的自然数,末位是0.其实省略了全称量词“任何一个”,应该是p:任何一个可以被5整除的自然数,末位是0,命题的否定为﹁p:有些可以被5整除的自然数,末位不是0.课堂达标解析:命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题,它的否定是一个特称命题,考查四个命题,“某班至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定.故选B.1.已知命题p:某班所有的男生都爱踢足球,则命题﹁p为(

)(A)某班至多有一个男生爱踢足球(B)某班至少有一个男生不爱踢足球(C)某班所有的男生都不爱踢足球(D)某班所有的女生都爱踢足球B2.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则(

)(A)﹁p:∃x0∈A,2x0∈B (B)﹁p:∃x0∉A,2x0∈B(C)﹁p:∃x0∈A,2x0∉B (D)﹁p:∀x0∉A,2x0∉BC解析:全称命题的否定为特称命题.故选C.3.若命题“∀x∈(3,+∞),x>a”是真命题,则a的取值范围