2023-2024学年北师大版数学七年级上册 5.4应用一元一次方程-打折销售【素养基础达标】（含解析）

第第页2023-2024学年北师大版数学七年级上册5.4应用一元一次方程——打折销售【素养基础达标】（含解析）5.4应用一元一次方程——打折销售

【素养基础达标】

2023-2024学年北师大版数学七年级上册

基础知识梳理

8由实际问题抽象出一元一次方程

审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．

（1）“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．

（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．

一元一次方程的应用

（一）一元一次方程解应用题的类型有：

（1）探索规律型问题；

（2）数字问题；

（3）销售问题（利润=售价-进价，；

（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；

（5）行程问题（路程=速度×时间）；

（6）等值变换问题；

（7）和，差，倍，分问题；

（8）分配问题；

（9）比赛积分问题；

（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．

（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．

列一元一次方程解应用题的五个步骤

1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．

2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．

3．列：根据等量关系列出方程．

4．解：解方程，求得未知数的值．

5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．

6.（检验）

素养基础达标

一．选择题（共10小题）

1．把这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图，是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为

A．1B．3C．4D．6

2．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（解释：野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”译文：“野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．现野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，问经过多少天相遇．”设野鸭与大雁经过天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是

A．B．C．D．

3．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为尺，则下面所列方程正确的是

A．B．

C．D．

4．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人6两，还剩3两；若每人8两，还差4两．问银子共有几两？设银子共有两，则可列方程为

A．B．C．D．

5．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？

译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发日，甲乙相逢，可列方程

A．B．C．D．

6．某商品的标价为126元，若降价以九五折出售（优惠仍可获利（相对于进货价）则该商品的进货价是

A．114元B．113.4元C．119.7元D．112元

7．一件夹克衫先按成本提高标价，再以8折出售，获利28元．这件夹克衫的成本是

A．210元B．28元C．168元D．140元

8．某品牌奶茶进行促销活动，优惠措施是“第二杯半价”．现购买两杯该品牌奶茶，这两杯奶茶共打了

A．7折B．7.5折C．8折D．8.5折

9．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送20件，还剩12件；若每个快递员派送24件，还差12件，设该分派站有名快递员，则可列方程为

A．B．

C．D．

10．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有几两？设银子共有两，则可列方程为

A．B．C．D．

二．填空题（共6小题）

11．现在是6点，至少经过分钟，分针与时针互相垂直．

12．用150张白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身15个或盒底41个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．设把张白铁皮制盒身，则可列方程为．

13．如图，长方形被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则长方形的面积为．

14．《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题：

（1）放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高；

（2）如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球个．

15．如图的“”形图形的面积为，如果，那么．

16．“好习惯受益终身”，每天早晨6时到7时之间都是七（1）班雯雯同学的“经典诵读”时间，从6时起，至少经过分钟，时针与分针所形成的钝角等于．

三．解答题（共8小题）

17．某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产，这家工厂去年10月生产再生纸2050吨，这比前年10月产量的2倍还多150吨，它前年10月生产再生纸多少吨？

18．如图，小明用一张正方形纸片剪出两个宽都是的长条，如果其中一个长条的面积是另一个长条的1.2倍，求原来正方形纸片的边长．

19．为了庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案，方案一：非会员购物所有商品价格可获得九五折优惠：方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．

（1）以（元表示商品价格，分别用含有的式子表示出两种购物方案中支出金额．

（2）若某人计划在商都买价格为5000元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？

（3）哪种情况下，两种方案下支出金额相同？

20．（列方程解应用题）小明一年前存入银行一笔钱，年利率为，到期共获得本息和为10225元，求小明一年前存入银行的本金是多少元？

21．某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同．其中，每个小书包的盈利率为，每个大书包的盈利率为，试求两种书包的进价．

22．在学习《水箱变高了》一课时，张老师将一个半径，高的圆柱形橡皮泥模型，重新揉成一个半径为的圆柱形，此时圆柱形的高为多少呢？

（1）请画出变形前后模型的示意图，并在示意图上标注对应的已知数据；

（2）通过列方程求变形后模型的高．

23．某市为保障供水及道路安全，自来水有限公司排查地下管线密集区，决定改造一段已使用多年面临老化的自来水管，这项翻新工程如果由甲工程队单独改造需要12天，由乙工程队单独改造需要24天．现要求甲、乙两个工程队一起合作完成这项翻新工程，但由于工作调动的原因，该项工程完工时，乙工程队中途共离开了3天．问这项工程一共用了多少天？

24．七年级（1）班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长去商店买奖品，下面是班长与售货员的对话：

根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？

5.4应用一元一次方程——打折销售

【素养基础达标】

2023-2024学年北师大版数学七年级上册

基础知识梳理

8由实际问题抽象出一元一次方程

审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．

（1）“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．

（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．

一元一次方程的应用

（一）一元一次方程解应用题的类型有：

（1）探索规律型问题；

（2）数字问题；

（3）销售问题（利润=售价-进价，；

（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；

（5）行程问题（路程=速度×时间）；

（6）等值变换问题；

（7）和，差，倍，分问题；

（8）分配问题；

（9）比赛积分问题；

（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．

（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．

列一元一次方程解应用题的五个步骤

1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．

2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．

3．列：根据等量关系列出方程．

4．解：解方程，求得未知数的值．

5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．

6.（检验）

素养基础达标

一．选择题（共10小题）

1．把这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图，是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为

A．1B．3C．4D．6

【答案】

【分析】根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，可得第三行与第三列上的两个数之和相等，依此列出方程即可．

【解答】解：由题意，可得：，

解得：．

故选：．

2．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（解释：野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”译文：“野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．现野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，问经过多少天相遇．”设野鸭与大雁经过天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是

A．B．C．D．

【分析】设野鸭与大雁经过天相遇，南海和北海之间的路程为1，则野鸭每天飞行，大雁每天飞行，根据野鸭和大雁路程和等于1，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．

【解答】解：设野鸭与大雁经过天相遇，

根据题意得：．

故选：．

3．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为尺，则下面所列方程正确的是

A．B．

C．D．

【答案】

【分析】根据绳子的长度不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．

【解答】解：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，

绳子的长度为尺；

又用绳子量井深，把绳四折来量，井外余绳一尺，

绳子的长度为尺．

根据题意可列出方程．

故选：．

4．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人6两，还剩3两；若每人8两，还差4两．问银子共有几两？设银子共有两，则可列方程为

A．B．C．D．

【答案】

【分析】根据“每人6两，还剩3两；每人8两，还差4两”，结合银子的总数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．

【解答】解：根据题意得，

故选：．

5．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？

译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发日，甲乙相逢，可列方程

A．B．C．D．

【答案】

【分析】根据题意设甲乙经过日相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的和，进而得出等式．

【解答】解：设甲乙经过日相逢，可列方程：

．

故选：．

6．某商品的标价为126元，若降价以九五折出售（优惠仍可获利（相对于进货价）则该商品的进货价是

A．114元B．113.4元C．119.7元D．112元

【答案】

【分析】根据利润标价进价计算即可．

【解答】解：设商品的进货价是元，

根据题意，得，

解得，

故选：．

7．一件夹克衫先按成本提高标价，再以8折出售，获利28元．这件夹克衫的成本是

A．210元B．28元C．168元D．140元

【答案】

【分析】设这件夹克衫的成本为元，然后根据获利28元列出等式即可求出答案．

【解答】解：设这件夹克衫的成本为元，

，

解得：，

故选：．

8．某品牌奶茶进行促销活动，优惠措施是“第二杯半价”．现购买两杯该品牌奶茶，这两杯奶茶共打了

A．7折B．7.5折C．8折D．8.5折

【答案】

【分析】设第一杯奶茶为元，则第二杯奶茶元，根据两杯奶茶的现价除以两杯奶茶的原价等于折扣率，列出代数式，计算即可得到结果．

【解答】解：设第一杯奶茶为元，则第二杯奶茶元，

由题意得：，

这两杯奶茶共打了7.5折．

故选：．

9．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送20件，还剩12件；若每个快递员派送24件，还差12件，设该分派站有名快递员，则可列方程为

A．B．

C．D．

【答案】

【分析】设该分派站有个快递员，根据“每个快递员派送20件，还剩12件；若每个快递员派送24件，还差12件”，即可得出关于的一元一次方程．

【解答】解：设该分派站有名快递员，则可列方程为：．

故选：．

10．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有几两？设银子共有两，则可列方程为

A．B．C．D．

【答案】

【分析】根据“每人7两，还剩4两；每人9两，还差8两”，结合分银子的人数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．

【解答】解：银子共有两，每人7两，还剩4两，

分银子的人共人；

银子共有两，每人9两，还差8两，

分银子的人共人．

又分银子的人数不变，

可列方程组．

故选：．

二．填空题（共6小题）

11．现在是6点，至少经过分钟，分针与时针互相垂直．

【答案】．

【分析】设再经过分钟，分针与时针互相垂直，根据角度差列出方程，解之即可．

【解答】解：6点整时，分钟与时针的夹角为，

设再经过分钟，分针与时针互相垂直，

则分针转了，时针转了，

由已知得：，

解得：，

故答案为：．

12．用150张白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身15个或盒底41个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．设把张白铁皮制盒身，则可列方程为．

【答案】．

【分析】设把张白铁皮制盒身，则张白铁皮制盒底，根据“一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒”列出一元一次方程即可求解．

【解答】解：设把张白铁皮制盒身，则张白铁皮制盒底，根据题意得，

，

故答案为：．

13．如图，长方形被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则长方形的面积为143．

【答案】143．

【分析】给图中各正方形标上序号，设正方形4的边长为，则正方形3的边长为，正方形2的边长为，正方形1的边长为或，由正方形1的边长不变，可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．

【解答】解：给图中各正方形标上序号，如图所示

设正方形4的边长为，则正方形3的边长为，正方形2的边长为，正方形1的边长为或，

根据题意得：，

解得：，

，

长方形的面积为143．

故答案为：143．

14．《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题：

（1）放入一个小球水面升高2，放入一个大球水面升高；

（2）如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球个．

【答案】（1）2；3；

（2）6．

【分析】（1）利用放入一个小球水面上升高度放入小球的个数，可求出放入一个小球水面升高；利用放入一个大球水面上升高度放入大球的个数，可求出放入一个大球水面升高；

（2）设应放入个大球，则放入小球，利用水面上升的高度放入大球的个数放入小球的个数，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：（1）根据题意得：放入一个小球水面升高；

放入一个大球水面升高．

故答案为：2；3；

（2）设应放入个大球，则放入小球，

根据题意得：，

解得：，

应放入大球6个．

故答案为：6．

15．如图的“”形图形的面积为，如果，那么17．

【答案】17．

【分析】将图形分成两个长方形，根据图形的面积建立方程，解方程即可得到答案．

【解答】解：如图所示，添加辅助线将图形分成两个长方形，

根据题意可得，

，

，

，

，

故答案为：17．

16．“好习惯受益终身”，每天早晨6时到7时之间都是七（1）班雯雯同学的“经典诵读”时间，从6时起，至少经过分钟，时针与分针所形成的钝角等于．

【答案】．

【分析】先求出经过一分钟时针和分针分别转动的角度，设至少经过分钟，时针与分针所形成的钝角等于，再根据角的和差列出方程，求解即可．

【解答】解：经过一分针，分针转动的角度为：，时针转动的角度为：，

设至少经过分钟，时针与分针所形成的钝角等于，

由题意得：，

解得：，

设至少经过分钟，时针与分针所形成的钝角等于．

故答案为：．

三．解答题（共8小题）

17．某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产，这家工厂去年10月生产再生纸2050吨，这比前年10月产量的2倍还多150吨，它前年10月生产再生纸多少吨？

【分析】设前年10月生产再生纸吨，则去年生产吨，从而可得方程，解出即可．

【解答】解：设前年10月生产再生纸吨，则去年生产吨，

由题意，得：，

解得：．

答：它前年10月生产再生纸950吨．

18．如图，小明用一张正方形纸片剪出两个宽都是的长条，如果其中一个长条的面积是另一个长条的1.2倍，求原来正方形纸片的边长．

【答案】．

【分析】设小长条的长为，则原来正方形的边长为，然后计算两个长条的面积，再利用面积关系列出方程求，即可求出原正方形的边长．

【解答】解：设小长条的长为，则原来正方形的边长为，

小长条的面积为：，大长条的面积为：，

其中一个长条的面积是另一个长条的1.2倍，

，

解得：，

原来正方形纸片的边长为．

故原来正方形纸片的边长为．

19．为了庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案，方案一：非会员购物所有商品价格可获得九五折优惠：方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．

（1）以（元表示商品价格，分别用含有的式子表示出两种购物方案中支出金额．

（2）若某人计划在商都买价格为5000元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？

（3）哪种情况下，两种方案下支出金额相同？

【答案】（1）方案一支出金额：元，方案二支出金额：元；

（2）买价格为5000元的电视机，选择方案一更省钱；

（3）商品价格为6000元时，两种方案下支出金额相同．

【分析】（1）由已知直接可得答案；

（2）分别计算出商品价格为5000元时，两种方案支付的金额，再比较即可；

（3）根据金额相同列出方程，即可解得答案．

【解答】解：（1）方案一支出金额：元，

方案二支出金额：元；

（2）买价格为5000元的电视机，

方案一支出金额：（元，

方案二支出金额：（元；

，

选择方案一更省钱；

（3）根据题意得：

，

解得，

答：商品价格为6000元时，两种方案下支出金额相同．

20．（列方程解应用题）小明一年前存入银行一笔钱，年利率为，到期共获得本息和为10225元，求小明一年前存入银行的本金是多少元？

【答案】10000元．

【分析】设小明一年前存入银行的本金是元，根据到期共获得本息和为10225元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：设小明一年前存入银行的本金是元，

依题意得：，

解得：．

答：小明一年前存入银行的本金是10000元．

21．某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同．其中，每个小书包的盈