电容元件与电感元件

电容元件与电感元件1第1页，课件共19页，创作于2023年2月

动态电路的分析，就是当电路外加电源激励或在初始储能作用下，以及电路状态改变时，求解电路中电流、电压随时间的变化规律。第二部分动态电路分析第五章电容元件与电感元件基本要求：熟练掌握线性电容元件和电感元件的伏安关系及其贮能，以及两者之间的对偶关系。2第2页，课件共19页，创作于2023年2月（Capacitor）

电容器应用极为广泛，其构成原理为两块金属极板并隔以不同的介质。当电容器接通电源后，则在两极板上聚集等量异号电荷（+q(t)和－q(t)）,于是在两极板之间的介质中就形成电场——即储存有电场能量。+–++––Cu(t)+q(t)–q(t)

能够聚集电荷，储存电场能量的部件称为电容器。

电容器的理想化模型称为电容元件（C）。C储存的电荷与其两极板间的电压值有关，它是一种电荷与电压相约束的二端元件。§5—1电容元件

定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电荷q(t)同它的端电压u(t)之间的关系可以用q—u（或u—q）平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电容元件。0q(t)u(t)3第3页，课件共19页，创作于2023年2月

线性电容元件：若q(t)与u(t)的关系是通过q—u平面坐标原点且位于第一、三象限的一条直线，则称之为线性电容元件。q(t)u(t)01C（库）（伏）（库—伏特性）直线的斜率C是一正常数——称为电容（C）。常数→q(t)=C·u(t)C的单位：国际单位制（SI制）：法拉（法）F；微法μF；皮法PF1）表示电容元件；2）表示电容元件的参数，即电容量（值）。（1）C有两个含义：注：（2）使用C时注意：1）电容量（值）；2）额定工作电压（过压会击穿损坏C）。4第4页，课件共19页，创作于2023年2月

二、电压u与电流i的积分关系式由，从–∞到t积分得式中：

一、电流i与电压u的微分关系式在i与u取关联参考方向的条件下，若电荷和电压都随时间而变化，则Ci(t)+q(t)–q(t)+–u(t)

上式表明，任一时刻通过电容的电流取决于该时刻电容两端电压的变化率,而与该时刻电容电压数值本身和过去的历史无关。直流：→i(t)=0（开路），即C对直流言相当于开路。

由此知，u动→才有i——故C为“动态”元件。§5—2电容的伏安关系5第5页，课件共19页，创作于2023年2月

§5—3电容电压的连续性质和记忆性质

由电容的VAR：t≥t0

可反映

电容电压的两个重要性质：

（1）连续性质：若电容电流i(t)在闭区间〔ta、tb〕内为有界的，则电容 电压uC(t)在开区间（ta、tb）内为连续的。

特别是：对任何时刻t，且ta＜t＜tb,uC(t-)=uC(t+)

（2）记忆性质：电容电压取决于其电流的全部历史。

此外，由得

电容电压初始值：其作用相当于一个电压源。+–u(t)Ci(t)u(t0)=U+–u(t)Ci(t)u1(t0)=0+–U+–u1(t)

由此可知：一个已被充电的电容，若已知u(t0)=U，则在

t≥t0时可等效为一个未充电的电容与电压源相串联的电路，电压源的电压值即为t0时电容两端的电压U。6第6页，课件共19页，创作于2023年2月

一、瞬时功率（u、i取关联参考方向）P(t)﹥0吸收功率，电能→WC，C充电；P(t)﹤0产生功率，WC→电能，C放电。

二、储能WC单位：C——法（F）；u——伏（V）；WC——焦耳（J）。C在任一时刻的储能：≥0（恒为正）

▲此式表明，电容某一时刻的储能，只取决于该时刻的电压值，而与电流值无关。

●电容电压反映了电容的储能状态。正是电容的储能本质使电容电压具有记忆性质；正是电容电流在有界的条件下储能不能跃变，使电容电压具有连续性质。§5—4电容的储能7第7页，课件共19页，创作于2023年2月

例1：电流源的电流波形如图(a)所示，施加于2F电容上，如图(b) 所示。设u(0)=0，试求u(t)，并绘出波形图。i(A)t(s)02–212(a)i(t)2F+–u(t)(b)

解：由图(a)得：i(t)=2A0≤t≤1S–2A1S≤t≤2S(1)

0≤t≤1S：t=1S：u(1)=1(v)0112t(s)u(v)(c)

由上述分析计算,可绘出u(t)波形如图(c)所示。

由此可见，i(t)波形是不连续的；而u(t)波形是连续的。(2)

1S≤t≤2S：(v)t=2S：u(2)=－2+2=0u(t)8第8页，课件共19页，创作于2023年2月例2：5μF电容电压波形如图(a)所示（t＞4μS，电压为0），(1)试绘出电流波形图；(2)试确定在

t=2μS及

t=10μS时电容的储能。u(mv)t(μs)1001234(a)

解：（1）1）t=0～1μS：u从0↗10mv

2）t=1～3μS：u=10mv→∴i=0

3）t=3～4

μS：u从10mv↘0i(A)t(μs)0·05–0·0501234(b)由上述分析，可画出电流波形图如图(b)所示。（2）t=2μS

：u=10mvt=10μS

：u=09第9页，课件共19页，创作于2023年2月（inductor)ΦΦN匝+–uii+–u(t)i(t)L

用导线绕制成线圈便构成电感器。实际电感器的理想化模型称为电感元件（简称电感）。

当线圈中通电流i时，则产生磁通Φ（建立磁场）；若Φ与N匝线圈交链，则磁通链Ψ=NΦ

。

Φ（Ψ）与i的关系通常采用关联参考方向，即两者的参考方向应符合右手螺旋法则。且

Ψ=NΦ=f(i)i↑→Φ（Ψ）↑→WL↑i↓→Φ（Ψ）↓→WL↓i=0→Φ（Ψ）=0→WL=0

电感是一种储存磁场能量（WL）的部件，它是一个磁链与电流相约束的二端元件。§5—5电感元件10第10页，课件共19页，创作于2023年2月

定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电流i(t)同它的磁链Ψ(t)之间的关系可以用Ψ—i（或i—Ψ）平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电感元件。Ψi0

线性电感元件：如果Ψ与i的关系曲线是通过Ψ—i平面上坐标原点，位于第一、三象限的一条直线，则此二端元件称之为线性电感元件。线性电感元件（空心线圈）：Ψ=NΦ=Li常数直线的斜率L是一正常数，称之为电感。Ψ（韦）1L0i(安)（韦—安特性）

电感L是磁链Ψ与电流i的比例常数，它反映了电感元件通过电流时产生磁链的能力。数值上等于单位电流通过电感元件时产生磁链的绝对值。11第11页，课件共19页，创作于2023年2月L的单位：[国际单位制（SI制）]：亨利（亨）H；毫亨mH；微亨μH等。式中：L—亨利（亨）H；Ψ—韦伯（韦）Wb；

i—安培（安）A。（1）L有两个含义：1）表示电感元件；2）表示电感元件的参数，即电感量。（2）使用L注意：1）电感量；2）额定工作电流。（过流会损坏之）注：12第12页，课件共19页，创作于2023年2月

一、电压u与电流i的微分关系式++––u(t)i(t)Le

在u、i取关联参考方向和Ψ与i符合右螺旋定则条件下，

根据楞茨定律：线圈中磁通变化引起的感应电动势，其方向总是企图产生感应电流来阻碍磁通的变化。即L中i变→Φ（Ψ）变→产生e（负号由楞茨定律所确定）由表明：

1）关系式既反映了电感电压的大小，也反映了电感电压的方向。,u与i同向;，u与i反向。

2）电感电压与其电流的变化率成正比，而与电流本身的数值无关。直流：（短路）即L对直流言相当于短路。3）电感电压u为有限值时，电流i不能跃变。此外，i动→才有u。故

L

又称之为“动态”元件。§5—6电感的伏安关系13第13页，课件共19页，创作于2023年2月

二、电流i与电压u的积分关系式由从－∞到t积分可得：(t≥t0)式中：

此式表明，在某一时刻t时的电感电流值取决于其初始值i(t0)以及在[t0、t]区间所有的电压值。14第14页，课件共19页，创作于2023年2月

§5—7电感电流的连续性质和记忆性质

电感的VAR：（t≥t0）反映了

电感电流iL的两个重要性质：

（1）连续性质：若电感电压u(t)在闭区间〔ta、tb〕内为有界的，则电 感电流iL(t)在开区间（ta、tb）内为连续的。

特别是：对任何时刻t，且ta＜t＜tb,iL(t-)=iL(t+)

（2）记忆性质：电感电流取决于其电压的全部历史。此外，由（t≥t0）得电感电流初始值：，其作用相当于一个电流源。+–u(t)i(t)Li(t0)=I+–u(t)i(t)Li1(t0)=0●●Ii1(t)

由此可知，一个具有初始电流的电感，若已知i(t0)=I，则在t≥t0时可等效为一个初始电流为0的电感与电流源的并联电路，电流源的电流值即为

t0时电感的电流I

。15第15页，课件共19页，创作于2023年2月

一、瞬时功率p(t)在u(t)

与i(t)

取关联参考方向的情况下：p(t)=u(t)·i(t)p(t)>0吸收功率电能→WL

（储能）p(t)﹤0产生功率WL→电能（放能）

二、电感储能WL——即对瞬时功率p(t)的时间积分。

单位：L——亨（H）；I——安（A）；WL——焦耳（J）。L在任一时刻t的储能：≥0（恒为正值）此式表明，电感某时刻的储能，只取决于该时刻的电流值，而与电压值无关。§5—8电感的储能电路的状态16第16页，课件共19页，创作于2023年2月

三、电路的状态

在动态电路的诸电压、电流变量中，电容电压uc(t)

和电感电流iL(t)占有特殊重要的地位，它们是电路的状态（State）变量。

在电路及系统理论中，状态