2018高考数学文北师大版大一轮复习课件2b教师版第十三章选修8份打包13 2 2课时

§13.2

不等式选讲第2课时 不等式的证明基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.不等式证明的方法知识梳理由a>b>0⇔b>1

且a>0，b>0，因此当a>0，b>0

时，要证明a>b，只要证a明

b>1

即可，这种方法称为求商比较法.(1)比较法：①求差比较法：知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法.②求商比较法：a分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止.这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.综合法：从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法.这种证明不等式的方法称为综合法.(4)放缩法和反证法：在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法.反证法是常用的证明方法.它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立.其证明的步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论.(5)数学归纳法：数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题.证明需要经过两个步骤：①验证当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时命题正确.②假设当n＝k时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确.在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确.2.几个常用基本不等式(1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当向量(a，d)与向量(c，d)共线时，等号成立).②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.a1＋a2＋…＋ann≥

，当且仅当a1＝若a1，a2，…，an

为正数，则a2＝…＝an

时，等号成立.③设a1，a2，…，an

与b1，b2，…，bn

是两组实数，则有(a2＋a2＋…＋a2)(b21

2

n

1＋b2＋…＋b2)≥(a

b

＋a

b

＋…＋a

b

)2，当向量(a

，a

，…，a

)与向量(b

，2

n

1

1

2

2

n

n

1

2

n

1b2，…，bn)共线时，等号成立.(2)算术—几何平均不等式na1a2…an考点自测1.设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求m2＋n2的最小值.根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得

25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，

m2＋n2的最小值为

5.解答2.若

a，b，c∈(0，＋∞)，且

a＋b＋c＝1，求

a＋

b＋

c的最大值.(

a＋

b＋

c)2＝(1×

a＋1×

b＋1×

c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.3∴(

a＋

b＋

c)2≤3.故

a＋

b＋

c的最大值为

3.解答x

y3.设x>0，y>0，若不等式1＋1＋λx＋y≥0

恒成立，求实数λ

的最小值.∵x>0，y>0，∴原不等式可化为－λ≤1＋1x

yy

x(x

y)(x＋y)＝2＋

＋

.x∵2＋y＋xy≥2＋2y

x＝4，当且仅当x＝y

时等号成立.

1

1x

y∴

(

＋

)(x＋y)

minx·y＝4，即－λ≤4，λ≥－4.解答题型分类深度剖析题型一 用综合法与分析法证明不等式证明2x＋x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋1(x－y)2＝(x－y)＋(x－y)＋

1

(x－y)2例1

(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋

1

≥2y＋3；x2－2xy＋y2因为x>0，y>0，x－y>0，13≥3

(x－y)21(x－y)2＝3，所以2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.(2)设a，b，c>0

且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥3.证明＋

＋a2＋b2

b2＋c2

c2＋a22

2

2＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c

时而ab＋bc＋ca≤等号成立)成立.所以原不等式成立.因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥3，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.跟踪训练1

设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤31；证明1所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤3.由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.a2

b2

c2(2)

b

＋

c

＋

a

≥1.a2因为b

＋b≥2a2b

c2，

c

＋c≥2b，

a

＋a≥2c，a2

b2

c2故b

＋c

＋a

＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，a2

b2

c2即b

＋c

＋a

≥a＋b＋c.a2

b2

c2所以b

＋c

＋a

≥1.证明例

2

若

a，b∈R，求证：|a＋b||a|

|b|1＋|a＋b|

1＋|a|

1＋|b|≤

＋

.题型二 放缩法证明不等式由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒1

1|a＋b|

|a|＋|b|≥

，所以|a＋b|1＋|a＋b|＝11＋1≤11＝

|a|＋|b|1＋|a|＋|b|＝

|a|

＋|a＋b||b|1＋|a||a|＋|b||b|1＋|a|＋|b|

1＋|a|＋|b|

1＋|a|

1＋|b|≤

＋

.证明当|a＋b|＝0时，不等式显然成立.当|a＋b|≠0时，思维升华(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：k2①变换分式的分子和分母，如1

<k(k－1)

k2

k(k＋1)k，1

>

，1

<1

1

2k＋

k－1，k

1

>

2k＋

k＋1＋.上面不等式中k∈N

，k>1；②利用函数的单调性；③真分数性质“若0<a<b，m>0，则b<a

a＋mb＋m”.(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.跟踪训练22设n

是正整数，求证：1≤1

1n＋1

n＋22n＋ ＋…＋

1

<1.证明由2n≥n＋k>n(k＝1,2，…，n)，得2nk1

≤

1

1n＋

<n.2n当k＝1

时，1

≤n＋1<n1

1；2n当k＝2

时，

1

≤n＋2<n1

1；…2n当k＝n

时，

1

≤n＋n<n1

1，2

2n∴1＝

n

≤1

1n＋1

n＋22n<n＋

＋…＋

1

n＝1.∴原不等式成立.题型三 柯西不等式的应用例

3

已知

x，y，z

均为实数.(1)若

x＋y＋z＝1，求证：

3x＋1＋3y＋2＋

3z＋3≤3因为(

3x＋1＋

3y＋2＋

3z＋3)2≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27.所以

3x＋1＋

3y＋2＋

3z＋3≤3

3.当且仅当x＝2，y＝1，z＝0

时取等号.3

33；

证明(2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.解答因为

6＝x＋2y＋3z≤

x2＋y2＋z2·

1＋4＋9，所以

x2＋y2＋z2

18，当且仅当

x＝y＝z即

x＝3，≥

7

2

3

7y＝6，z＝9时，x2＋y2＋z2

有最小值187

7 7

.思维升华(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.122

2

2n11

1a2

a22(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a

＋a

＋…＋a

)(

＋

＋…＋a2n1

)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.跟踪训练3

已知大于1

的正数

x，y，z

满足

＋ ＋

＝x

y

z

33.求证：x2x＋2y＋3z＋＋y2

z2y＋2z＋3x

z＋2x＋3y3≥

2

.证明∴

＋

＋x＋2y＋3z

y＋2z＋3x

z＋2x＋3y由柯西不等式及题意得，x2

y2

z2(x＋2y＋3z＋y＋2z＋3x＋z＋2x＋3y)·[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)]≥(x＋y＋z)2＝27.又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)＝6(x＋y＋z)＝18

3，x2

y2

z2当且仅当x＝y＝z＝3时，等号成立.18

32≥

27

＝

3，课时作业解答1.已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值.由柯西不等式(2x2＋3y2

)·

1

2

2

＋

3

1

2

≥

1

2x·

2＋

3y·

1

3

2＝(x＋y)2＝1，6

3

2∴2x2＋3y2≥5，当且仅当2x＝3y，即x＝5，y＝5时，等号成立.所以2x2＋3y2

的最小值为65.123456789102.设

a＋b＝2，b>0，当

1

＋|a|取得最小值时，求

a的值.2|a|

b12345678910解答由于

a＋b＝2，所以

1

＋|a|＝a＋b＋|a|＝

a

＋

b

＋|a|，由于

b>0，|a|>0，2|a|

b

4|a|

b

4|a|

4|a|

b所以

b

＋|a|≥2

b4|a|

b

4|a|·

b

2|a|

b

4|a|＝1，因此当

a>0

时，

1

＋|a|的最小值是1＋1

12345678910此时

＝5；当

a<0

时，

1

＋|a|的最小值是－1＋1＝3.故

1

＋|a|的最小值为3，4

2|a|

b

4

4

2|a|

b

4

b

|a|

4|a|＝

b

，

a<0，即a＝－2.3.设a、b、c

是正实数，且a＋b＋c＝9，求2＋2＋2的最小值.a

b

c12345678910解答∵(a＋b＋c)

＋

＋2

2

2a

b

c2＝[(

a)2＋(

b)2＋(

c)

]·

2

a

＋

2

2

b

2＋

2

c

2

≥

2a·

a＋2b·

b＋

c·2

12345678910c2＝18.2

2

2

2

2

2∴a＋b＋c≥2.∴a＋b＋c的最小值为2.4.设

x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝

14，求

x＋y＋z.解答由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此

x＋2y＋3z≤

14.因为

x＋2y＋3z＝

14，所以

x＝y＝z，解得

x＝

14，y＝

14，z＝3 14，于是

x＋y＋z＝32

3

14

7

14147.12345678910a2

b25.已知△ABC

的三边长分别为

a，b，c.求证：b＋c－a＋c＋a－b＋c2ca＋b－

≥a＋b＋c.12345678910证明

＋a2

b2因为

b＋c－a

c＋a－b＋c2

c

a＋b－

[(b

＋

c

－

a)

＋(c

＋

a

－

b)

＋

(a

＋

b

－所以＋a

bc)]≥(a＋b＋c)2，又a＋b＋c>0，2

2＋c2b＋c－a

c＋a－b

a＋b－c≥ab

c(＋

＋

当且仅当b＋c－a＝c＋a－ba

b＝a＋b－cc时取等号).123456789106.已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的12345678910最小值.解答由柯西不等式得∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥

949，当且仅当a－1

b＋22

2＝ ＝c－3

时等号成立，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2

的最小值是499

.12345678910(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.∵2a＋2b＋c＝8，a7.(2015·湖南)设a＞0，b＞0，且a＋b＝1＋1b.12345678910证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立.证明a

b

ab

，由

a＋b＝1＋1＝a＋b

a＞0，b＞0，得

ab＝1.由基本不等式及

ab＝1，有

a＋b≥2

ab＝2，即a＋b≥2.假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1；同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾.故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立.12345678910

12345678910

8.(2016·全国甲卷)已知函数

f(x)＝

x－

＋

x＋

1

1

2

2

，(1)求M；M为不等式f(x)<2的解集.解答

1

－2x，x≤－2，1

1f(x)＝

1，－2<x<2，1

2x，x≥2.2当x≤－1时，由f(x)<2

得－2x<2，2解得x>－1，所以，－1<x≤－1；1当－1

x<

时，f(x)<2；2<

212345678910当x≥21时，由f(x)<2

得2x<2，解得x<1，所以－1

x<1.123456789102<所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}.(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.12345678910证明由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，因此|a＋b|<|1＋ab|.解答123456789109.(1)关于x的不等式|x－3|＋|x－4|<a的解集不是空集，求a的取值范围；∵|x－3|＋|x－4|≥|(x－3)－(x－4)|＝1，且|x－3|＋|x－4|<a的解集不是空集，∴a>1，即a的取值范围是(1，＋∞).由柯西不等式，得x2

y2

z2(2)设x，y，z∈R，且16＋5

＋4

＝1，求x＋y＋z

的取值范围.54

2[42＋( 5)2＋22]·[(x)2＋(

y

)2＋(z)2]4≥(4×x＋525×

y

＋2×z)212345678910解答＝(x＋y＋z)2，即25×1≥(x＋y＋z)2.∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5.∴x＋y＋z的取值范围是[－5,5].(1)求x1＋x2＋

2

的最小值；a

b

x1x21234567891010.已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞).解答a

bx1x2所以x1＋x2＋

2

≥3·

3x1

x22