人教版高中数学选择性必修第三册7.2离散型随机变量及分布列 同步训练（含答案）

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人教版高中数学选择性必修第三册

7.2离散型随机变量及分布列同步训练（原卷版）

考法一随机变量及离散型随机变量

【例1】（1）（2023·河北沧州市一中高二月考）下列变量中，不是随机变量的是（）

A．一射击手射击一次命中的环数

B．标准状态下，水沸腾时的温度

C．抛掷两颗骰子，所得点数之和

D．某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数

（2）．（2023·全国高一课时练习）下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）

A．掷5次硬币正面向上的次数M

B．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y

C．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T

D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X

【一隅三反】

1．（2023·南昌县莲塘）先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是()

A．出现7点的次数B．出现偶数点的次数

C．出现2点的次数D．出现的点数大于2小于6的次数

2．（2023·河北沧州市一中高二月考）抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ,则“ξ>4”表示试验的结果为()

A．第一枚为5点,第二枚为1点

B．第一枚大于4点,第二枚也大于4点

C．第一枚为6点,第二枚为1点

D．第一枚为4点,第二枚为1点

3．（2023·全国高二课时练习）甲、乙两人下象棋，赢了得分，平局得分，输了得分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（）

A．甲赢三局

B．甲赢一局

C．甲、乙平局三次

D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

4．（2023·湖北武汉市·高二期中）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是（）

A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球

C．取到白球的个数D．取到的球的个数

5（2023·全国高二）下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________（填序号）．

①某宾馆每天入住的旅客数量是；

②某水文站观测到一天中珠江的水位；

③西部影视城一日接待游客的数量；

④阅海大桥一天经过的车辆数是.

考法二分布列

【例2-1】（2023·吉林油田第十一中学）若随机变量X的分布列如下所示

X－1012

P0.2ab0.3

且E(X)＝0.8，则a、b的值分别是（）

A．0.4，0.1B．0.1，0.4

C．0.3，0.2D．0.2，0.3

【例2-2】．（2023·全国高二课时练习）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：

消费次第第1次第2次第3次第4次次

收费比率10.950.900.850.80

若该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：

消费次数12345

人数60201055

假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：

（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；

（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求的分布列.

【一隅三反】

1．（多选）（2023·全国高二单元测试）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：

X01234

P0.10.20.40.2a

则下列计算结果正确的有（）

A．a＝0.1B．P(X≥2)＝0.7

C．P(X≥3)＝0.4D．P(X≤1)＝0.3

2．（2023·山东济宁市·高二期末）在某校举办的“国学知识竞赛”决赛中，甲、乙两队各派出3名同学参加比赛.规则是：每名同学回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中每名同学答对的概率均为，乙队中3名同学答对的概率分别是，，，且每名同学答题正确与否互不影响.用表示乙队的总得分.

（1）求随机变量的分布列；

（2）设事件表示“甲队得2分，乙队得1分”，求.

3．（2023·农安县教师进修学校）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、、，三人各射击一次，击中目标的次数记为.

（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；

（2）求的分布列.

考法三两点分布

【例3】（2023·永安市第三中学高二期中）设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（）

A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8

【一隅三反】

1．（2023·全国高三专题练习）若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用描述一次试验的成功次数，则（）

A．0B．C．D．

2．（2023·全国）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（）

A．B．C．D．

人教版高中数学选择性必修第三册

7.2离散型随机变量及分布列同步训练（解析版）

考法一随机变量及离散型随机变量

【例1】（1）（2023·河北沧州市一中高二月考）下列变量中，不是随机变量的是（）

A．一射击手射击一次命中的环数

B．标准状态下，水沸腾时的温度

C．抛掷两颗骰子，所得点数之和

D．某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数

（2）．（2023·全国高一课时练习）下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）

A．掷5次硬币正面向上的次数M

B．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y

C．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T

D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X

【答案】（1）B（2）C

【解析】（1）因为标准状态下，水沸腾时的温度是一个常量，所以不是随机变量.故选：B

（2）在A中，掷5次硬币，正面向上的次数M可能取的值，可以按一定次序一一列出，故M是离散型随机变量

在B中，从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y可能取的值，可以按一定次序一一列出，

故Y是离散型随机变量

在C中，某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，

故T不是离散型随机变量

在D中，将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X可能取的值，可以按一定次序一一列出，故X是离散型随机变量故选：C

【一隅三反】

1．（2023·南昌县莲塘）先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是()

A．出现7点的次数B．出现偶数点的次数

C．出现2点的次数D．出现的点数大于2小于6的次数

【答案】A

【解析】抛掷一枚骰子不可能出现点，出现点为不可能事件

出现点的次数不能作为随机变量本题正确选项：

2．（2023·河北沧州市一中高二月考）抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ,则“ξ>4”表示试验的结果为()

A．第一枚为5点,第二枚为1点

B．第一枚大于4点,第二枚也大于4点

C．第一枚为6点,第二枚为1点

D．第一枚为4点,第二枚为1点

【答案】C

【解析】由于表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”，差的最大值为，而只有一种情况，也即，此时第一枚为点,第二枚为点，故选C.

3．（2023·全国高二课时练习）甲、乙两人下象棋，赢了得分，平局得分，输了得分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（）

A．甲赢三局

B．甲赢一局

C．甲、乙平局三次

D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

【答案】D

【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得分，平局得分，输了得分，

故有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次，故选：D.

4．（2023·湖北武汉市·高二期中）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是（）

A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球

C．取到白球的个数D．取到的球的个数

【答案】C

【解析】根据离散型随机变量的定义可得选项C是离散型随机变量，其可以一一列出，

其中随机变量的取值，故选C.

5（2023·全国高二）下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________（填序号）．

①某宾馆每天入住的旅客数量是；

②某水文站观测到一天中珠江的水位；

③西部影视城一日接待游客的数量；

④阅海大桥一天经过的车辆数是.

【答案】②

【解析】①③④中的随机变量的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．故答案为：②

考法二分布列

【例2-1】（2023·吉林油田第十一中学）若随机变量X的分布列如下所示

X－1012

P0.2ab0.3

且E(X)＝0.8，则a、b的值分别是（）

A．0.4，0.1B．0.1，0.4

C．0.3，0.2D．0.2，0.3

【答案】B

【解析】由随机变量X的分布列得：，所以，

又因为，解得，所以，故选：B

【例2-2】．（2023·全国高二课时练习）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：

消费次第第1次第2次第3次第4次次

收费比率10.950.900.850.80

若该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：

消费次数12345

人数60201055

假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：

（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；

（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求的分布列.

【答案】（1）公司获得的平均利润为元；（2）分布列答案见解析.

【解析】（1）因为第一次消费时，公司获得利润为元，

第二次消费时，公司获得利润为元，

所以两次消费中，公司获得的平均利润为元，

（2）因为公司成本为元，所以消费一次公司获得的平均利润为元，消费两次公司获得的平均利润为元，消费三次公司获得的平均利润为元，消费四次公司获得的平均利润为元，

消费五次公司获得的平均利润为元，

的所有可能的取值为，

，

，

，

，

，

.故的分布列为

5045403530

0.60.20.10.050.05

【一隅三反】

1．（多选）（2023·全国高二单元测试）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：

X01234

P0.10.20.40.2a

则下列计算结果正确的有（）

A．a＝0.1B．P(X≥2)＝0.7

C．P(X≥3)＝0.4D．P(X≤1)＝0.3

【答案】ABD

【解析】因为，解得，故A正确；

由分布列知,，

，故BD正确，C错误.

故选：ABD

2．（2023·山东济宁市·高二期末）在某校举办的“国学知识竞赛”决赛中，甲、乙两队各派出3名同学参加比赛.规则是：每名同学回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中每名同学答对的概率均为，乙队中3名同学答对的概率分别是，，，且每名同学答题正确与否互不影响.用表示乙队的总得分.

（1）求随机变量的分布列；

（2）设事件表示“甲队得2分，乙队得1分”，求.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

所以随机变量的分布列为

X0123

P

（2）设甲队得分为Y，则，

，

.

3．（2023·农安县教师进修学校）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、、，三人各射击一次，击中目标的次数记为.

（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；

（2）求的分布列.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件，则甲，乙两人击中，丙没有击中的概率为：；

（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、、，

，，

，.

所以，随机变量的分布列如下：

考法三两点分布

【例3】（2023·永安市第三中学高二期中）设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（）

A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8

【答案】C

【解析】随机变量服从两点分布，，

根据两点分布概率性质可知：，解得，故选：C.

【一隅三反】

1．（2023·全国高三专题练习）若某品种水稻