2023年广东省深圳市第八届“鹏程杯”八年级决赛数学试卷（含解析）

第第页2023年广东省深圳市第八届“鹏程杯”八年级决赛数学试卷（含解析）2023年广东省深圳市第八届“鹏程杯”八年级决赛数学试卷

一、填空题（每题7分，共84分）

1.把用科学记数法表示为______.

2.计算：的结果是______.

3.若：，则k的值是______.

4.若x是最接近的整数，则______.

5.不等式组的整数解中，最小值与最大值之和为______.

6.分式方程的解为______.

7.如图所示，ABCD中，的平分线交BC边于点M，而MD平分，若，则______.

8.如图，在中，，，，BC边的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，则AE长为______.

9.在平面直角坐标系中，、、，点C在一象限，若以O、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为______.

10.如图，将边长为4的等边沿射线BC平移得到，点M，N分别为AC，DF的中点，点P是线段MN的中点，连接PA，当为直角三角形时，______.

11.定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为其中k是使为奇数的最小正整数，并且运算重复进行．例如：取，则运算过程如图：那么当时，第2022次“F运算“的结果是______.

12.如图，已知点，点，在y轴上取一点C，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转到CD，连接AD，BD，当取最小值时，点C的坐标是______.

二、解答题（第13至第16题每题12分，第17题18分共66分）

13.小知识：关于x的方程有两个不相等实数根，例如，方程的根为，

解关于x的方程，其中a，b是两个不相等的非零常数；

应用的结论解关于x的方程，其中

14.疫情期间，某企业每日需向疫情严重的地区捐赠20万只口罩．该企业原口罩日产量为40万只，经政府出资两次加大设备投入后，日产量提升为90万只．每日用于销售的口罩当日全部售出，且每只口罩的成本和销售单价始终不变．该企业原来每日亏损4万元，加大设备投入后，每日盈利11万元．

求两次口罩日产量的平均增长率．

求每只口罩的成本和单价．

该企业将每天生产的口罩打成90包每包1万只现从捐赠和自行销售的口罩中分别抽取若干包以成本价支持本地防疫工作．企业规定口罩捐赠量高于自行销售量的若企业每日仍盈利4万元，则从捐赠和自行销售的口罩中各抽取多少包？

15.已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接

[观察猜想]

与BE的数量关系是______；CM与BE的位置关系是______；

[探究证明]

如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由；

[拓展延伸]

若旋转角，且，求的值.

16.介绍一个“能被13整除的数的特征”的小知识：一个多位数数位大于或等于的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，如果能被13整除，那么这个多位数就一定能被13整除，如果不能被13整除，那么这个多位数就不能被13整除.

例如数字160485，因为，，所以能被13整除，所以160485也能被13整除.

试用上述方法判断16133能否被13整除.

若m，n均为13的倍数，且，，且a，b，c均为整数规定，当时，求的最大值.

17.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，，点C在x轴的正半轴上，

如图1，求直线BC的解析式；

如图2，点D在第四象限的直线BC上，于点E，，求点D的坐标；

如图3，在的条件下，点F在线段OA上，点G在线段OB上，射线FG交直线BC于点H，若，，求点H的坐标.

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：把用科学记数法表示：

故答案为：

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

2.【答案】

【解析】解：

，

故答案为：

先化简各式，然后再进行计算即可解答．

本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

3.【答案】2000

【解析】解：，

，

，

即，

，

，

故答案为：

利用完全平方公式将等式的右边变形后，利用等式的性质解答即可．

本题主要考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式将式子适当变形是解题的关键．

4.【答案】1

【解析】解：原式

，

最接近的整数是2，

原式，

故答案为：

根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，根据无理数的估算方法求出x，代入计算即可．

本题考查的是分式的化简求值、估算无理数的大小，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

5.【答案】0

【解析】解：由得：，

由得：，

则不等式组的解集为，

所以不等式组的整数解为、0、1，

所以最小值与最大值之和为0；

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得其整数解．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

6.【答案】

【解析】解：，

，

解得：，

检验：当时，，

是原方程的根，

故答案为：

按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．

本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．

7.【答案】

【解析】解：平行四边形ABCD，

，，

，

的平分线AM，MD平分，

，，

，，

即：，且，

解得：，

，

故答案为：

由平行四边形推出，，由三角形的内角和定理得到，因为，解方程组即可求出，进一步求出和的度数．

本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的意义等知识点，求出和是解此题的关键．

8.【答案】

【解析】解：连接BE，如图，

垂直平分BC，

，

，

为等腰直角三角形，

，

，，

故答案为：

连接BE，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，则可证明为等腰直角三角形，所以，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求AE的长．

本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

9.【答案】或

【解析】解：点C在一象限，

分两种情况，如图所示：

①OB为对角线时，

当，时，四边形OABC是平行四边形，

、、，

把点B向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，

点C的坐标为；

②AB为对角线时，

当，时，四边形是平行四边形，

、、，

把点B向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到点C，

点C的坐标为；

综上所述，若以O、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为或，

故答案为：或

画出图形，分两种情形，由平行四边形的性质、坐标的平移分别求解即可．

本题考查平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，解题的关键是画出图形，分情况讨论．

10.【答案】4或8

【解析】解：①当时．

，M为AC中点．

，点P是线段MN的中点．

即向右平移

②当时．

为AC中点，

在中，，

点P是线段MN的中点．

即向右平移

故答案为：4或

本题先根据为直角三角形进行分类讨论：①当时，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，即可求出PM，进而求出MN，BE长度就解决了．②当时，根据直角三角形中，角所对直角边是斜边长度的一半，可以求出，进而求出MN，BE长度就解决了．

本题考查等边三角形的性质，平移的相关知识，掌握直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，以及直角三角形中，角所对直角边是斜边长度的一半是解决本题的关键．

11.【答案】1

【解析】解：由题意可得，

当时，

第1次“F运算“的结果是32，

第2次“F运算“的结果是1，

第3次“F运算“的结果是8，

第4次“F运算“的结果是1，

第5次“F运算“的结果是8，

…，

由上可得，从第2次开始，每两次为一个循环，依次以1，8出现，

……1，

故第2022次“F运算“的结果是1，

故答案为：

根据题意，可以写出前几次的运算结果，从而可以发现输出结果的变化特点，从而可以写出第2022次“F运算“的结果．

本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是发现运算结果的变化特点，写出相应次数的结果．

12.【答案】

【解析】解：设点C为，

线段AC绕点C顺时针旋转到CD，

，

设，，

可得：，

点D在上，

作点A关于直线的对称点，连接MB交于，连接，此时的值最小，最小值为BM的长．

，

，，

设直线BM的解析式为，

，

解得：，

，

解：，

得：，

，

，

，

故答案为：

根据题意画出图形结合一次函数的知识，求出点的坐标，进而求出点C的坐标．

本题主要考查了最短路径的知识、一次函数的知识，难度较大，画出图形是解答的关键．

13.【答案】解：方程两边同乘以x得：，

，

，，

，b是两个不相等的非零常数，

，

经检验，，是原方程的解；

原方程可化为：，

由得：或，

，

，

经检验：，是原方程的解．

【解析】先化为整式方程，再用分解因式法求解；

先把方程化为中的形式，再代入求解．

本题考查了一元二次方程解法，掌握因式分解法是解题的关键．

14.【答案】解：设两次口罩日产量的平均增长率为x，

根据题意得，

解得，不符合题意，舍去，

答：两次口罩日产量的平均增长率为

设每只口罩的成本为m元，销售单价为n元，

依题意得：，

解得，

答：每只口罩的成本为元，单价为元．

设每日从捐赠的口罩中抽取a包，从自行销售的口罩中抽取b包，

由题意可知，每日捐赠口罩20万只，即20包；每日自行销售口罩70万只，即70包，

元，元，

每包口罩的成本价是5000元，销售单价是8000元，

根据题意得，

整理得，

，

，

，

，

，

、b都是正整数，

或或，

答：从捐赠和自行销售的口罩中各抽取7包、35包或4包、30包或1包、25包．

【解析】设两次口罩日产量的平均增长率为x，可列方程，解方程求出符合题意的x值即可；

设每只口罩的成本为m元，销售单价为n元，根据原来每日亏损4万元，加大设备投入后每日盈利11万元列方程组求出m、n的值即可；

设每日从捐赠的口罩中抽取a包，从自行销售的口罩中抽取b包，先计算出每日捐赠口罩20万只，即20包；每日自行销售口罩70万只，即70包，每包口罩的成本价是5000元，销售单价是8000元，再根据每日盈利4万元列方程，根据口罩捐赠量高于自行销售量的列不等式，解方程和不等式求出a、b的整数解即可．

此题考查解一元二次方程、列一元二次方程解应用题、不等式的应用等知识与方法，正确地用代数式表示口罩的成本、单价和利润是解题的关键．

15.【答案】相互垂直

【解析】解：设AN交CM于点H，

为等腰直角三角形，

，

，，

≌，

，，

点E是AN的中点，则，即，

，

，

即，

故答案为：，相互垂直；

，，仍然成立．

如图所示，延长BE至F使，连接AF，

，，

≌，

，，

，，

，

而，

，

，，

≌，

，，

，

，

；

由得，

，则，

由知，，

，

过点C作于点G，设，则，，

，

设证明≌，由点E是AN的中点，得到，进而求解；

证明≌和≌，得到，，进而求解；

证明，过点C作于点G，设，则，，则，即可求解．

本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、直角三角形中线定理、解直角三角形、三角形全等等，综合性强，难度较大．

16.【答案】解：由题知，

，

所以能被13整除，

所以16133也能被13整除．

由可知，m是一个四位数，且千位数字为1，百位数字为a，十位数字为2，个位数字为

则，

又m为13的倍数，所以能被13整除．

而，又，

所以或26或39或52或65或78或91，

则或或或或或或

又a为整数，所以

则

又

所以

又因为，

同理可得出

所以，

则，

又，，

所以①当，时，；

②当，时，；

③当，时，；

④当，时，；

⑤当，时，

又，

所以的最大值为

【解析】根据题目所给的判定方法，可判断16133能否被13整除．

根据m，n均为13的倍数，可求出a的值及b，c之间的关系式，再由它们的取值范围去确定它们的取值，分类之后，可得出的最大值．

本题考查了用字母表示多位数，运算能力以及分类讨论的数学思想．

17.【答案】解：直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，

，，

，

在中，，，

由勾股定理可得，，解得，舍去，

，

，

，

，

设直线BC的解析式为，

，解得，

直线BC的解析式为

过点D作轴交直线AB于点K，

，

，

，

设点D的横坐标为t，则，，

，解得，

过点E作于点L，

，

，

，

点的横坐标为，

，

连接OD，过点E作轴于点M，则，

，

，

，

在OG上截取，连接EN，

，

≌，

，，

，

，

，

又，

，

，设，则，，，

在y轴负半轴上截取，连接FP，则OF垂直平分NP，

，

，

，

，

设，则，则，，

在中，由勾股定理可得，，解得，舍去，

，，

，，

设直线FG的解析式为，

，解得，

直线FG的解析式为