《2坡度问题》教学

23.2.4方向角、坡度问题义务教育教科书（沪科）九年级数学上册新知探究水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，则斜坡CD的坡角α

，坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？ADBCi=1:2.5236与坡度、坡角有关的实际问题新知探究αlhi=h:l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.2.坡度（或坡比）坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.

如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i,即i=——hl3.坡度与坡角的关系坡度等于坡角的正切值坡面水平面新知探究1.斜坡的坡度是，则坡角α=______度.2.斜坡的坡角是45°

，则坡比是_______.3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______.αlh301：1新知探究例1：如图，铁路路基的横断面为四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB与斜坡CD的坡度如图所示，求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1m）与斜坡的坡角α和β的值（精确到1°）.ABCEDαβi'=1:2.5i=1:1.6解：过点C作CF⊥AD于点F,得FCF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.∵BE=5.8m∴AE=9.28m，DF=14.5m.∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6m.新知探究ABCEFDαβi'=1:2.5i=1:1.6F新知探究例2：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m）;

（2）斜坡CD的坡角α（精确到1°）.EFADBCi=1:2.5236α分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C

作AD的垂线；新知探究

垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD，EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出；

斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt△ABE和Rt△CDF.解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、F,由题意可知EFADBCi=1:2.5236αBE=CF=23m，EF=BC=6m.在Rt△ABE中新知探究在Rt△DCF中，同理可得=69+6+57.5=132.5m在Rt△ABE中，由勾股定理可得(2)斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4，由计算器可算得

答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约为22°.新知探究与测坝高相比，测山高的困难在于坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？hhααll新知探究

我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.hαl新知探究

在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.

以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．方法归纳随堂小测

一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米,

）.

45°30°4米12米ABCD随堂小测解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知

DE＝CF＝4（米），

CD＝EF＝12（米）．在Rt△ADE中，

在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.9（米）．答：路基下底的宽约为22.9米．45°30°4米12米ABCEFD课堂小结

解决