2023年河南省商丘市柘城县中考数学七模试卷(解析版)

第第页2023年河南省商丘市柘城县中考数学七模试卷(解析版)2023年河南省商丘市柘城县中考数学七模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列各数中比1大的是（）

A．﹣2B．﹣1C．0D．

2．郑州北站被称为全国设计布局最科学的编组站，有“编组站教科书”之称，是亚洲最大的列车编组站．郑州北站占地约为530万平方米（）

A．53.2×105B．5.3×102C．5.3×106D．5.3×105

3．如图所示哪个不是正方体的表面展开图（）

A．B．

C．D．

4．下列计算正确的是（）

A．3ab2÷6ab＝2bB．（﹣2a3）2＝﹣4a6

C．（2a﹣b）（﹣2a﹣b）＝b2﹣4a2D．（a+b）2＝a2+b2

5．如图，∠ECD＝50°，点M是EC上一点，若MF平分∠AME，则∠AMF的度数为（）

A．60°B．55°C．70°D．65°

6．要调查九年级学生周末完成作业的时间，下面最恰当的是（）

A．对任课教师进行问卷调查

B．查阅学校的图书资料

C．进入学校网站调查

D．对学生进行问卷调查

7．用配方法解方程x2+6x+8＝0时，配方后得到方程是（）

A．（x+3）2＝1B．（x+3）2＝8C．（x﹣3）2＝1D．（x﹣3）2＝9

8．已知点M（a，b），N关于x轴对称，若点M和y＝的图象上（）

A．5B．10C．﹣5D．无法确定

9．如图，在平面直角坐标系中点A，B的坐标分别是A（1，1），B（2，﹣2），使它与点A，B，O构成的四边形是平行四边形（）

A．（﹣1，3）B．（3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（﹣2，3）

10．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D，E两点分别以1cm/s和2cm/s的速度从点A，沿三角形的边顺时针运动，设运动时间为t（）

A．9B．C．D．1

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．与数字最接近的整数是．

12．不等式组的解集是．

13．在“行为规范月”的活动中，校学生会组织了两个检查组对班级的“作业习惯”和“卫生习惯”两方面情况进行抽查．现教学楼一楼共3个教室，若两个检查组在一楼都随机选择一个班进行抽查．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在AC上取点D使得CD＝2，以点D为圆心、DB长为半径作圆交AC的延长线于点E．

15．如图正方形ABCD的边长是8，点E是BC边的中点，连接DE，连接BF，点G是线段BF的中点．

三、解答题（本大题共8小题，满分75分）

16．（10分）（1）计算：（﹣）﹣2+2sin30°﹣|﹣2|；

（2）化简：．

17．（9分）为了了解学校餐厅一楼和二楼的饭菜质量，学校组织了全校学生对这两个楼层进行打分（打分为整数，最低1分，最高10分），现随机抽取了20名学生的打分情况：

一楼：9，8，10，6，9，9，10，8，9，6，6，8，9，7，9，9，8，7，10．

二楼：9，6，6，8，10，10，7，9，7，7，10，10，10，6，8，7，10

经过整理，描述数据绘制了如下尚不完整的统计表：

楼层平均数众数中位数

一楼a9b

二楼8.35cd

分析数据、推断结论，请完成下列问题：

（1）直接写出a＝，b＝，c＝，d＝．

（2）由以上的分析，你认为学生更喜欢的楼层是几楼呢？请说明理由．

18．（9分）如图，线段BC是半圆的直径，点A为BC的中点，过点D作⊙A的切线，切点为F（不与点B，F重合）上一点，延长BG交于DF的延长线于点E．

（1）连接FG，FC，若FG＝FC；

（2）在（1）的条件下，若BE＝2，求⊙A的半径．

19．（9分）开封铁塔（如图1）始建于北宋皇佑元年（公元1049年），已有近千年历史．它位于铁塔公园的东北部，也是主要的景点，是1961年中国首批公布的国家重点保护文物之一，是八角十三层建筑．在九年级学习过三角函数的知识后，小张同学为了巩固学习成果，在铁塔另一侧取点G（E，F，G三点在同一直线上），且EG＝80m，已知侧倾器BE，CG的高度是1.5m（结果精确到1m．参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

20．（9分）在学习反比例函数后，数学兴趣小组参照学习反比例函数的过程与方法，探究函数y＝（x≠﹣2），因为y＝，即y＝﹣，所以我们对比函数y＝﹣来进行探究．列表如下：

x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣11234…

y＝﹣…5﹣5﹣﹣﹣1﹣…

y＝…a﹣3b1…

（1）填空：a＝，b＝；

（2）在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，并用光滑的曲线画出函数图象；

（3）观察图象并分析表格，写出这个函数的两条性质：①；②．

（4）函数y＝与直线y1＝﹣5x﹣8交于点A，B，求△AOB的面积．

21．（9分）某文具店购进了数量相同的甲、乙两种品牌的中性笔，已知购进甲中性笔一共用了1500元，购进乙中性笔一共用了2000元

（1）求甲、乙两种品牌的中性笔的进货单价；

（2）该文具店先将购进的甲、乙两种中性笔进行销售，甲的销售单价为20元，乙的销售单价为28元，文具店决定：在甲品牌中性笔销售一定数量后，将剩余的所有甲中性笔按原销售单价的八折销售，问甲品牌中性笔打折前至少销售了多少支？

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A（0，2）和B（4，6）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A作y轴的垂线交抛物线于点C，将直线AC向上平移，在平移的过程中（点D在点E的左边），若5≤DE≤8，求点D的纵坐标yD的取值范围．

23．（10分）综合与实践：

（1）问题情景：如图1，已知等边△ABC和它内部一点D，把线段BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，CE，射线AD，则AD与CE数量关系是，∠AFC＝°．

（2）类比探究：如图2，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，过点D作DE∥CB交AB于点E，连接CD′，BE′，设直线CD′，BE′交于点F；

（3）拓展应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，若CD＝2（直接写出答案）．

2023年河南省商丘市柘城县中考数学七模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列各数中比1大的是（）

A．﹣2B．﹣1C．0D．

【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，据此判断即可．

【解答】解：∵﹣2＜1，

∴选项A不符合题意；

∵﹣8＜1，

∴选项B不符合题意；

∵0＜6，

∴选项C不符合题意；

∵＞1，

∴选项D符合题意．

故选：D．

【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此类题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

2．郑州北站被称为全国设计布局最科学的编组站，有“编组站教科书”之称，是亚洲最大的列车编组站．郑州北站占地约为530万平方米（）

A．53.2×105B．5.3×102C．5.3×106D．5.3×105

【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．

【解答】解：530万＝5300000＝5.3×108，

故选：C．

【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．

3．如图所示哪个不是正方体的表面展开图（）

A．B．

C．D．

【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．

【解答】解：正方体表面展开图一个有11种情况，其中“1﹣4﹣6”型的有6种，“2﹣8﹣2”型的有1种，

不可能是“4﹣2﹣3”型，因此选项D中的图形符合题意，

故选：D．

【点评】本题考查几何体的表面展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的前提．

4．下列计算正确的是（）

A．3ab2÷6ab＝2bB．（﹣2a3）2＝﹣4a6

C．（2a﹣b）（﹣2a﹣b）＝b2﹣4a2D．（a+b）2＝a2+b2

【分析】根据单项式除以单项式可以判断A；根据积的乘方可以判断B；根据平方差公式可以判断C；根据完全平方公式可以判断D．

【解答】解：3ab2÷5ab＝b，故选项A错误；

（﹣2a3）2＝6a6，故选项B错误，不符合题意；

（2a﹣b）（﹣6a﹣b）＝b2﹣4a2，故选项C正确，符合题意；

（a+b）2＝a2+8ab+b2，故选项D错误，不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

5．如图，∠ECD＝50°，点M是EC上一点，若MF平分∠AME，则∠AMF的度数为（）

A．60°B．55°C．70°D．65°

【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠EMB＝∠ECD＝50°，于是利用平角的定义可得∠AME＝130°，再根据角平分线的定义即可求解．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠EMB＝∠ECD＝50°，

∴∠AME＝180°﹣∠EMB＝180°﹣50°＝130°，

∵MF平分∠AME，

∴∠AMF＝65°．

故选：D．

【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题关键．

6．要调查九年级学生周末完成作业的时间，下面最恰当的是（）

A．对任课教师进行问卷调查

B．查阅学校的图书资料

C．进入学校网站调查

D．对学生进行问卷调查

【分析】抽样要具有随机性和代表性，比每个层次都要考虑到，并且每个被调查的对象被抽到的机会相同．

【解答】解：因为要调查九年级学生周末完成作业的时间，所以最恰当的是对学生进行问卷调查．

故选：D．

【点评】本题考查了调查的对象的选择，要读懂题意，分清调查的内容所对应的调查对象是什么是解题的关键．注意所选取的对象要具有代表性．

7．用配方法解方程x2+6x+8＝0时，配方后得到方程是（）

A．（x+3）2＝1B．（x+3）2＝8C．（x﹣3）2＝1D．（x﹣3）2＝9

【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．

【解答】解：用配方法解方程x2+6x+7＝0时，

配方结果为（x+3）3＝1．

故选：A．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，掌握完全平方公式是解本题的关键．

8．已知点M（a，b），N关于x轴对称，若点M和y＝的图象上（）

A．5B．10C．﹣5D．无法确定

【分析】根据点M（a，﹣b）和点N关于x轴对称可得N（a，﹣b），将点M的坐标代入反比例函数y＝中得ab＝5，将点N的坐标反比例函数y＝得k＝﹣ab＝﹣5．

【解答】解：∵点M（a，b），

∴N（a，﹣b），

∵点M在反比例函数y＝的图象上，

∴ab＝5，

∵点N在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝﹣ab＝﹣7．

故选：C．

【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴对称的点的坐标，熟知关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键．

9．如图，在平面直角坐标系中点A，B的坐标分别是A（1，1），B（2，﹣2），使它与点A，B，O构成的四边形是平行四边形（）

A．（﹣1，3）B．（3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（﹣2，3）

【分析】画出图形即可解决问题，根据平行四边形的性质解答即可．

【解答】解：如图所示，观察图象可知，坐标分别为（﹣1，﹣1）或（8，

∴点C的坐标不可能是（﹣2，3），

故选：D．

【点评】此题考查平行四边形的判定，关键是根据平行四边形的性质得出坐标解答．

10．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D，E两点分别以1cm/s和2cm/s的速度从点A，沿三角形的边顺时针运动，设运动时间为t（）

A．9B．C．D．1

【分析】由题意，对各个选项画图逐个进行分析即可得解．

【解答】解：由题意，当t＝9时，9×4＝18，

此时点D为BC的中点，E在C点．

∵AB＝AE，

∴AD⊥BE．

∴△ADE为直角三角形．

∴A选项不符合题意．

当t＝时，×4＝，＝15＝6×2+2，

此时BD＝1.5，E为BC的中点．

∵E为BC的中点，AB＝AC，

∴AE⊥BC．

∴△ADE为直角三角形．

∴B选项不符合题意．

当t＝时，×1＝，＝＝4.8，

此时AD＝6.5，CE＝4.3．

∴AE＝AC﹣CE＝6﹣4.7＝1.2．

取AC的中点H，连接BH．

∵AB＝BC，

∴BH⊥AC．

∵＝＝，

∴DE∥BH．

∴∠AED＝∠BHA＝90°．

∴△ADE为直角三角形．

∴C选项不符合题意．

当t＝1时，AD＝7×1＝1．如图8，

此时AE＝AC﹣CE＝6﹣2＝8．运用排除法，

显然△ADE不是直角三角形．

故选：D．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，解题时需要熟练掌握图形的变化，能将性质灵活运用．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．与数字最接近的整数是4．

【分析】由于9＜13＜16，则3＜＜4，得到在整数3与4之间，并且与4更接近．

【解答】解：∵9＜13＜16

∴3＜＜5

∴与数字最接近的整数是4

故答案为：4

【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．

12．不等式组的解集是﹣1＜x≤7．

【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．

【解答】解：，

解不等式①，得：x≤7，

解不等式②，得：x＞﹣1，

∴该不等式组的解集是﹣5＜x≤7，

故答案为：﹣1＜x≤6．

【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．

13．在“行为规范月”的活动中，校学生会组织了两个检查组对班级的“作业习惯”和“卫生习惯”两方面情况进行抽查．现教学楼一楼共3个教室，若两个检查组在一楼都随机选择一个班进行抽查．

【分析】教学楼一楼共3个教室分别用1、2、3表示，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两个检查组恰好选到同一个班的结果数，然后根据概率公式计算．

【解答】解：教学楼一楼共3个教室分别用1、5、3表示，

画树状图为：

共有9种等可能的结果，其中两个检查组恰好选到同一个班的结果数为3，

所以两个检查组恰好选到同一个班的概率＝＝．

故答案为：．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在AC上取点D使得CD＝2，以点D为圆心、DB长为半径作圆交AC的延长线于点E﹣2．

【分析】解直角三角形求得∠BDE＝60°，BD＝4，然后根据S阴影＝S扇形BDE﹣S△BCD求得即可．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD＝2，

∴BD＝＝4，

tan∠BDE＝＝，

∴∠BDE＝60°，

∴S阴影＝S扇形BDE﹣S△BCD＝﹣＝﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查了扇形的面积，勾股定理的应用，解直角三角形等，解答本题的关键是明确题意，利用扇形的面积公式解答．

15．如图正方形ABCD的边长是8，点E是BC边的中点，连接DE，连接BF，点G是线段BF的中点4．

【分析】取BD中点H和BE中点I，则点G的动轨迹是线段HI，确定出点G和点H重合时，线段值AG最小，据此解答即可．

【解答】解：取BD中点H和BE中点I，则点G的动轨迹是线段HI，

∴当点G和点H重合时，线段值AG最小，

∴BD＝＝＝8，

AG是直角△ABD的中线，

∴AG＝BD＝4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了正方形的性质以及三角形中位线定理，解题的关键是理解题意，学会利用模型解决问题，属于中考压轴题．

三、解答题（本大题共8小题，满分75分）

16．（10分）（1）计算：（﹣）﹣2+2sin30°﹣|﹣2|；

（2）化简：．

【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．

【解答】解：（1）（﹣）﹣7+2sin30°﹣|﹣2|

＝6+2×﹣2

＝4+3﹣2

＝3；

（2）

＝[﹣]

＝[﹣]

＝

＝

＝﹣．

【点评】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

17．（9分）为了了解学校餐厅一楼和二楼的饭菜质量，学校组织了全校学生对这两个楼层进行打分（打分为整数，最低1分，最高10分），现随机抽取了20名学生的打分情况：

一楼：9，8，10，6，9，9，10，8，9，6，6，8，9，7，9，9，8，7，10．

二楼：9，6，6，8，10，10，7，9，7，7，10，10，10，6，8，7，10

经过整理，描述数据绘制了如下尚不完整的统计表：

楼层平均数众数中位数

一楼a9b

二楼8.35cd

分析数据、推断结论，请完成下列问题：

（1）直接写出a＝8.35，b＝9，c＝10，d＝8.5．

（2）由以上的分析，你认为学生更喜欢的楼层是几楼呢？请说明理由．

【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义即可填空；

（2）根据平均数、众数、中位数进行评价即可（答案不唯一）．

【解答】解：（1）一楼打分的平均数为a＝×（6×4+7×2+2×4+9×2+10×4）＝8.35，

一楼打分从小到大排列，处在中间位置的两个数都是5＝9，

二楼打分最多的为10分，所以众数为c＝10，

二楼打分从小到大排列，处在中间位置的两个数是8和6＝8.5，

故答案为：7.35，9，10；

（2）学生更喜欢的楼层是一楼，理由：一楼打分的中位数比二楼高（答案不唯一）．

【点评】本题考查中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握其计算方法是正确解答的关键．

18．（9分）如图，线段BC是半圆的直径，点A为BC的中点，过点D作⊙A的切线，切点为F（不与点B，F重合）上一点，延长BG交于DF的延长线于点E．

（1）连接FG，FC，若FG＝FC；

（2）在（1）的条件下，若BE＝2，求⊙A的半径．

【分析】（1）由圆心角、弧、弦的关系得到∠GAF＝∠CAF，由AG＝AB，得到∠ABG＝∠AGB，由三角形外角的性质得到∠GAF+∠CAF＝∠ABG+∠AGB，即可推出∠CAF＝∠ABG，即可证明问题；

（2）设⊙A的半径是r，由△DAF∽△DBE，得到AF：BE＝DA：DB，因此r：2＝（2﹣r）：2，求出r即可．

【解答】（1）证明：连接AG，

∵FG＝FC，

∴＝，

∴∠GAF＝∠CAF，

∵AG＝AB，

∴∠ABG＝∠AGB，

∵∠GAF+∠CAF＝∠ABG+∠AGB，

∴2∠CAF＝2∠ABG，

∴∠CAF＝∠ABG，

∴BE∥AF；

（2）解：设⊙A的半径是r，

∵DE切半圆于F，

∴半径AF⊥DE，

∵BE∥AF，

∴BE⊥DE，

∵BE＝6，DE＝4，

∴BD＝＝2，

∵△DAF∽△DBE，

∴AF：BE＝DA：DB，

∴r：8＝（2﹣r）：3，

∴r＝，

∴⊙A的半径是．

【点评】本题考查切线的性质，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由三角形的外角的性质得到∠CAF＝∠ABG；由△DAF∽△DBE，得到r：2＝（2﹣r）：2．

19．（9分）开封铁塔（如图1）始建于北宋皇佑元年（公元1049年），已有近千年历史．它位于铁塔公园的东北部，也是主要的景点，是1961年中国首批公布的国家重点保护文物之一，是八角十三层建筑．在九年级学习过三角函数的知识后，小张同学为了巩固学习成果，在铁塔另一侧取点G（E，F，G三点在同一直线上），且EG＝80m，已知侧倾器BE，CG的高度是1.5m（结果精确到1m．参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

【分析】连接BC交AF于D，根据矩形的性质，再由锐角三角函数定义即可解决问题．

【解答】解：连接BC交AF于D，由题意可知，

在Rt△ABC中，设BD为xm，

∵tan∠ABD＝，

∴AD＝BDtan∠ABD≈2.14xm，

∴CD＝（80﹣x）m，

在Rt△ACD中，AD＝CD＝（80﹣x）m，

∴2.14x＝80﹣x，

∴x＝25.48，

∴AD＝80﹣x＝54.52（m），

∴AF＝AD+DF＝54.52+3.5＝56.02≈56（m），

答：铁塔的高度约为56m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

20．（9分）在学习反比例函数后，数学兴趣小组参照学习反比例函数的过程与方法，探究函数y＝（x≠﹣2），因为y＝，即y＝﹣，所以我们对比函数y＝﹣来进行探究．列表如下：

x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣11234…

y＝﹣…5﹣5﹣﹣﹣1﹣…

y＝…a﹣3b1…

（1）填空：a＝7，b＝；

（2）在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，并用光滑的曲线画出函数图象；

（3）观察图象并分析表格，写出这个函数的两条性质：①当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；②函数没有最大值（答案不唯一）．

（4）函数y＝与直线y1＝﹣5x﹣8交于点A，B，求△AOB的面积．

【分析】（1）把x＝﹣3和x＝2分别代入解析式即可求得a、b的值；

（2）描点后，用光滑曲线顺次连接即可；

（3）观察图象即可得出函数的性质；

（4）联立方程求出点A、B的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得．

【解答】解：（1）把x＝﹣3代入y＝得，y＝，

把x＝3代入y＝得，y＝＝，

∴a＝7，b＝，

故答案为：7，；

（2）函数图象如图所示：

（3）①当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；

②函数没有最大值（答案不唯一）．

故答案为：当x＜﹣2时，y随x的增大而增大．

（4）由题意得＝﹣7x﹣8，

解得x＝﹣1或﹣6，

当x＝﹣1时，y＝﹣3，y＝2，

∴交点为（﹣1，﹣3）和（﹣6，

当y1＝0时，x＝﹣，

∴直线y1＝﹣4x﹣8交x轴于点（﹣，0），

∴S△AOB＝＝8．

【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，数形结合是解题的关键．

21．（9分）某文具店购进了数量相同的甲、乙两种品牌的中性笔，已知购进甲中性笔一共用了1500元，购进乙中性笔一共用了2000元

（1）求甲、乙两种品牌的中性笔的进货单价；

（2）该文具店先将购进的甲、乙两种中性笔进行销售，甲的销售单价为20元，乙的销售单价为28元，文具店决定：在甲品牌中性笔销售一定数量后，将剩余的所有甲中性笔按原销售单价的八折销售，问甲品牌中性笔打折前至少销售了多少支？

【分析】（1）设甲种品牌的中性笔的进货单价为x元，则乙种品牌的中性笔的进货单价为（x+5）元，根据某文具店购进了数量相同的甲、乙两种品牌的中性笔，购进甲中性笔一共用了1500元，购进乙中性笔一共用了2000元，列出分式方程，解方程即可；

（2）设甲品牌中性笔打折前销售了a支，根据要使文具店在两种品牌的中性笔全部售完后获利超过1020元，列出一元一次不等式，解不等式即可．

【解答】解：（1）设甲种品牌的中性笔的进货单价为x元，则乙种品牌的中性笔的进货单价为（x+5）元，

由题意得：＝，

解得：x＝15，

经检验，x＝15是原方程的解，

∴x+8＝15+5＝20，

答：甲种品牌的中性笔的进货单价为15元，乙种品牌的中性笔的进货单价为20元；

（2）甲种中性笔的数量为＝100（支），

设甲品牌中性笔打折前销售了a支，

由题意得：（20﹣15）a+（20×0.4﹣15）（100﹣a）+（28﹣20）×100＞1020，

解得：a＞30，

∵a为正整数，

∴a的最小值为31，

答：甲品牌中性笔打折前至少销售了31支．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A（0，2）和B（4，6）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A作y轴的垂线交抛物线于点C，将直线AC向上平移，在平移的过程中（点D在点E的左边），若5≤DE≤8，求点D的纵坐标yD的取值范围．

【分析】（1）用待定系数法可得答案；

（2）求出对称轴直线，可得点D到对称轴x＝1的距离d的范围，从而可得D的横坐标的范围，即可得到D纵坐标的范围．

【解答】解：（1）把点A（0，2）和B（72﹣x+c得：

，

解得：，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+2；

（2）∵y＝x2﹣x+5＝（x﹣4）2+，

∴抛物线的对称轴为直线x＝1；

∵5≤DE≤6，

∴点D到对称轴x＝1的距离d的范围是≤d≤4，

∵D在对称轴左侧，抛物线开口向上，

∴1﹣2≤xD≤1﹣，即﹣3≤xD≤﹣，

∴≤yD≤．

【点评】本题考查二次函数的性质及应用，涉及待定系数法，直线的平移等，解题的关键是求出D的横坐标的范围．

23．（10分）综合与实践：

（1）问题情景：如图1，已知等边△ABC和它内部一点D，把线段BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，CE，射线AD，则AD与CE数量关系是AD＝CE，∠AFC＝60°．

（2）类比探究：如图2，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，过