21.1一元二次方程课件人教版九年级数学上册

21.1一元二次方程第21章一元二次方程人教版数学九年级上册【公开课精品课件】授课教师：********班级：********时间：********21.1一元二次方程知识回顾方程含有未知数的等式。例如：\(2x+3=7\)，\(x-5=10\)等。方程的解使方程中等号左右两边相等的未知数的值。比如在方程\(2x+3=7\)中，当\(x=2\)时，左边\(=2×2+3=7\)，右边\(=7\)，左边\(=\)右边，所以\(x=2\)是方程\(2x+3=7\)的解。已学方程类型一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是\(1\)的整式方程。一般形式为\(ax+b=0\)（\(a\neq0\)），如\(3x-5=0\)。二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的最高次数都是\(1\)的整式方程。一般形式为\(ax+by+c=0\)（\(a\neq0\)，\(b\neq0\)），例如\(2x+3y=8\)。分式方程：分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。如\(\frac{1}{x}+2=3\)。情景引入问题1如图，有一块矩形铁皮，长\(100cm\)，宽\(50cm\)，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒底面积为\(3600cm^2\)，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形边长为\(xcm\)。那么无盖方盒底面的长为\((100-2x)cm\)，宽为\((50-2x)cm\)。根据矩形面积公式，可列出方程\((100-2x)(50-2x)=3600\)。整理方程：\(\begin{align*}(100-2x)(50-2x)&=3600\\5000-200x-100x+4x^2&=3600\\4x^2-300x+5000-3600&=0\\4x^2-300x+1400&=0\\x^2-75x+350&=0\end{align*}\)问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排\(7\)天，每天安排\(4\)场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？分析：设比赛组织者应邀请\(x\)个队参加比赛。每个队都要和除自己之外的\((x-1)\)个队比赛一场，但两队之间只比赛一场，所以比赛总场数为\(\frac{x(x-1)}{2}\)场。已知赛程计划安排\(7\)天，每天安排\(4\)场比赛，那么总场数为\(7×4=28\)场。由此可列方程\(\frac{x(x-1)}{2}=28\)。整理方程：\(\begin{align*}\frac{x(x-1)}{2}&=28\\x(x-1)&=56\\x^2-x-56&=0\end{align*}\)一元二次方程的概念观察与归纳观察方程\(x^2-75x+350=0\)，\(x^2-x-56=0\)：共同特点：等号两边都是整式。只含有一个未知数。未知数的最高次数是\(2\)。定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是\(2\)（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于\(x\)的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）。这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中\(ax^2\)是二次项，\(a\)是二次项系数；\(bx\)是一次项，\(b\)是一次项系数；\(c\)是常数项。注意事项二次项系数不为\(0\)：在一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)中，\(a\neq0\)。因为若\(a=0\)，则方程变为\(bx+c=0\)，这是一元一次方程，不再是一元二次方程。各项系数包括符号：例如方程\(-3x^2+5x-7=0\)，二次项系数是\(-3\)，一次项系数是\(5\)，常数项是\(-7\)。例题讲解例1判断下列方程是否为一元二次方程，如果是，请将方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数以及常数项。\(3x^2-8x=10\)判断：是一元二次方程。化为一般形式：移项得\(3x^2-8x-10=0\)。各项系数：二次项系数是\(3\)，一次项系数是\(-8\)，常数项是\(-10\)。\(4x^2=0\)判断：是一元二次方程。化为一般形式：\(4x^2+0x+0=0\)（一般可直接写\(4x^2=0\)）。各项系数：二次项系数是\(4\)，一次项系数是\(0\)，常数项是\(0\)。\(2(x^2-1)=3x\)判断：是一元二次方程。化为一般形式：\(\begin{align*}2(x^2-1)&=3x\\2x^2-2&=3x\\2x^2-3x-2&=0\end{align*}\)各项系数：二次项系数是\(2\)，一次项系数是\(-3\)，常数项是\(-2\)。\(\frac{1}{x^2}+2x-3=0\)判断：不是一元二次方程，因为方程中\(\frac{1}{x^2}\)是分式，不满足一元二次方程等号两边都是整式这一条件。例2若关于\(x\)的方程\((m-2)x^{m^2-2}+3x-5=0\)是一元二次方程，求\(m\)的值。分析：因为方程是一元二次方程，所以未知数\(x\)的最高次数\(m^2-2=2\)，且二次项系数\(m-2\neq0\)。求解：由\(m^2-2=2\)，可得\(m^2=4\)，解得\(m=\pm2\)。又因为\(m-2\neq0\)，即\(m\neq2\)，所以\(m=-2\)。一元二次方程的根定义使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫做根）。示例对于方程\(x^2-5x=0\)，当\(x=0\)时，左边\(=0^2-5×0=0\)，右边\(=0\)，左边\(=\)右边，所以\(x=0\)是方程\(x^2-5x=0\)的根；当\(x=5\)时，左边\(=5^2-5×5=0\)，右边\(=0\)，左边\(=\)右边，所以\(x=5\)也是方程\(x^2-5x=0\)的根。对于方程\(x^2+2x-3=0\)，将\(x=1\)代入方程，左边\(=1^2+2×1-3=0\)，右边\(=0\)，左边\(=\)右边，所以\(x=1\)是方程\(x^2+2x-3=0\)的根；将\(x=-3\)代入方程，左边\(=(-3)^2+2×(-3)-3=9-6-3=0\)，右边\(=0\)，左边\(=\)右边，所以\(x=-3\)也是方程\(x^2+2x-3=0\)的根。检验方程根的方法将未知数的值代入一元二次方程，分别计算方程左右两边的值，若左边\(=\)右边，则该未知数的值是方程的根；若左边\(\neq\)右边，则该未知数的值不是方程的根。课堂小结一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是\(2\)的整式方程。一般形式：\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），要能准确识别各项系数及常数项。方程的根：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值。课堂练习判断下列方程是否为一元二次方程：\(x^2+5x-6=0\)\(3x+5=0\)\(2x^2+\frac{1}{x}=3\)\((x-1)(x+2)=x^2-5\)将方程\((2x-1)(x+3)=x^2+1\)化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。已知\(x=2\)是方程\(x^2-3x+c=0\)的一个根，求\(c\)的值，并求出方程的另一个根。课后作业根据下面的问题列方程，将所列方程化成一元二次方程的一般形式：有一根\(1m\)长的铁丝，怎样用它围成一个面积为\(0.06m^2\)的矩形？下列哪些数是方程\(x^2-5x+6=0\)的根？\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)。若关于\(x\)的方程\((a-1)x^{a^2+1}+2x-1=0\)是一元二次方程，求\(a\)的值。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解1.会设未知数，列一元二次方程.2.了解一元二次方程及其根的概念.3.能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.学习目标判断下列式子是否是一元一次方程：√√×一元一次方程①只含一个未知数②未知数的指数是一次③方程的两边都是整式知识回顾情境导入在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？列方程解决应用题的一般过程是什么？审、设、列、解、验、答请你根据题意列出等量关系式.解：设雕像的下部应设计为

xmx2+2x-4=0只含一个未知数x且最高次数是2把列出的式子化简，仔细观察它是一元一次方程吗？有什么特点？新知探究知识点1一元二次方程的概念x2+2x-4=0x2－75x+350=0x2-x=56思考1：这几个方程有什么共同点？等号两边都是整式；只含一个未知数；未知数的最高次数是2.===xxxxxx222阅读课本P2-P3问题1、问题2，回答下列问题：新知探究等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.思考2：你能总结出一元二次方程的定义吗？知识点1一元二次方程的概念下列方程：①8x2=x;②ax2+2x-3=0;③;④x2=3y+1;⑤x(2x-3)=2x(x-1);⑥.其中一定是一元二次方程的是______.(填序号)①分析：①满足一元二次方程的“三要素”.

②当a=0时，未知数的最高次数不是2.

③不是整式方程.

④含有两个未知数.

⑤整理后未知数的最高次数不是2.

⑥不是整式方程.练一练是否为整式方程使方程的右边为0，左边合并同类项不是一元二次方程是否满足“一元”和“二次”是否是一元二次方程不是一元二次方程是否识别一元二次方程的方法：总结

一元二次方程的一般形式是

ax2+bx+c=0(a≠0).知识点2一元二次方程的一般形式x2+2x-4=0x2－75x+350=0x2-x=56二次项一次项常数项ab二次项系数一次项系数

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).知识点2一元二次方程的一般形式x2+2x-4=0x2－75x+350=0x2-x=56因为a=0时，方程为bx+c=0，此时方程是一元一次方程而不是一元二次方程.为什么要规定a≠0？一元二次方程的特殊形式二次项系数一次项系数常数项ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0)ab0ax2+c=0(a≠0，c≠0)a0cax2=0(a≠0)a00一元二次方程的特殊形式:一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.

例将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.知识点3一元二次方程的解（根）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数x的值分别代入方程x2+x-12=0中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验可知，当x=3或-4时，方程x2+x-12=0左右两边相等.【选自教材P4习题21.1第3题】练一练随堂练习2.一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（

）A.3，5B.3，0C.3，-5D.5，0C1.下列方程是一元二次方程的是（

）A.3x+1=0B.x2-3=0

C.y+x2=4D.B3.关于x的方程(a-1)x2+4x-3=0是一元二次方程，

则（

）A.a＞1B.a=1C.a≠1D.a≥0【变式题】已知关于x的方程xk-1-2x+3=0是一元二

次方程，则k=

.C3解：一般形式：5x2-4x-1=0

二次项系数：5

一次项系数：-4

常数项：-1解：一般形式：4x2-81=0

二次项系数：4

一次项系数：0

常数项：-814.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中

的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）5x2-1=4x；

（2）4x2=81；【教材P4练习第1题】

（3）4x(x+2)=25；

（4）(3x-2)(x+1)=8x-3.解：一般形式：4x2+8x-25=0

二次项系数：4

一次项系数：8

常数项：-25解：一般形式：3x2-7x+1=0

二次项系数：3

一次项系数：-7

常数项：15.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形

的边长x;(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x;(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的

积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.4x2=25，化为一般形式为4x2-25=0.x(x-2)=100，化为一般形式为x2-2x-100=0.x·1=(1-x)2，化为一般形式为x2-3x+1=0.【教材P4练习第2题】6.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次

方程的一般形式：（1）一个圆的面积是2πm2，求半径；

解：设这个圆的半径为rm.

由圆的面积公式，得πr2=2π,

所以r2=2，即r2-2=0.【选自教材P4习题21.1第2题】（2）一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积

是9cm2，求较长的直角边的长.

解：设这个直角三角形较长的直角边为xcm，

则另一条直角边为(x-3)cm.

根据题意，得

x(x-3)=9,

整理，得x2-3x-18=0.7.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次

方程的一般形式：（1）一个矩形的长比宽多1cm，面积是132cm2，矩

形的长和宽各是多少？

解：设矩形的宽为xcm，则长为(x+1)cm.

根据题意，得x(x+1)=132,

整理，得x2+x-132=0.【选自教材P4习题21.1第4题】7.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次

方程的一般形式：（2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为

0.06m2的矩形?

解：设矩形的长为xm，则宽为(0.5-x)m.

根据题意，得x(0.5-x)=0.06,

整理，得x2-0.5x+0.06=0.【选自教材P4习题21.1第5题】7.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次

方程的一般形式：（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共

握手10次，有多少人参加聚会？

解：设有x人参加聚会,

根据题意，得

x(x-1)=10，

整理，得x2-x-20=0.【选自教材P4习题21.1第6题】返回C返回2．把方程x(x＋1)＝3(x－2)化成ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的形式，则a，b，c的值分别是(

)A.1，－2，－