电磁场与交换技术第二章

电磁场与交换技术第二章第1页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-2三种常用的正交坐标系（1.4.1）直角坐标系——（方向矢量）直角坐标系中的长度元、面积元和体积元（1.4.1）（1.4.2）（1.4.3）第2页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-3圆柱坐标系——（方向矢量）圆柱坐标系中的长度元、面积元和体积元（1.4.5）（1.4.6）（1.4.7）第3页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-4球面坐标系——（方向矢量）球面坐标系中的长度元、面积元和体积元第4页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-5直角坐标系与圆柱坐标系之间的关系三种常用正交坐标系的转换（1.4.2）直角坐标系与球面坐标系之间的关系圆柱坐标系与球面坐标系之间的关系第5页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-6广义坐标系——(方向单位矢量)广义柱坐标系——(方向单位矢量)不同坐标系中的长度元、面积元和体积元线积分或、面积分或和体积分不随位置坐标而改变随着位置坐标的改变而改变(方向)三种常用的正交坐标系的相互转换（坐标的转换和方向矢量的转换）几点说明第6页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-7物理量的分类标量场矢量场1.1矢量的代数运算物理量与位置无关的量

与位置有关的量（场量）时间、长度、重量……标量场（只有大小）矢量场（大小+方向）

温度、湿度、电位……速度、电场、磁场……第7页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-81.1.1

矢量与矢量的表示法

（1.1.1）单位矢量——模等于1的矢量叫做单位矢量。（1.1.2）矢量表示法——在三维空间中，矢量可表示为一根有方向的线段该线段的长度代表该矢量的模，该线段的方向代表该矢量的方向第8页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-9直角坐标系中矢量的表示（1.1.3）（1.1.4）（1.1.5）例如：（1.1.6）（1.1.7）第9页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-10位置矢量与距离矢量场点坐标源点坐标场点矢径

源点矢径第10页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-11位置矢量与距离矢量位置矢量——由坐标原点出发引向空间某一点的有方向线段，称为该点的位置矢量或矢径。距离矢量——由源点出发引向场点的矢量称为距离矢量。（1.1.13）第11页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-121.1.2矢量的代数运算一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。矢量与标量的乘积（1.1.18）（1.1.19）负矢量——与原矢量大小相等，方向相反的矢量。第12页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-13矢量加法和减法矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。（1.1.20）（1.1.21）第13页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-14直角坐标系中矢量加法和减法只有矢量和矢量之间才能进行相加减。（1.1.24）（1.1.25）14第14页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-15标量积(thedotproduct)和矢量积(thecrossproduct)两个矢量的标量积（点积）定义为这两个矢量的模以及这两个矢量之间夹角的余弦三者的乘积。（1.1.26）两个矢量的矢量积（叉积）的模等于这两个矢量的模以及这两个矢量之间夹角的正弦三者的乘积，而方向垂直于两矢量所构成的平面，其指向按“右手法则”来确定。（1.1.29）第15页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-16“右手法则”和“右手螺旋法则”

16第16页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-1717第17页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-18标量积满足交换律和分配律，矢量积只满足分配律。若两个矢量垂直,即它们间夹角为90o,则标量积等于零,而矢量积最大,等于这两个矢量模的乘积;若两个矢量平行,即它们间夹角为零,则矢量积等于零,而标量积最大,等于这两个矢量模的乘积。若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂直；若两个非零矢量的矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。第18页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-19标量积和矢量积在直角坐标系中的计算（1.1.33）（1.1.35）思考题：两个矢量恒等式的证明，书Page.6。第19页，课件共67页，创作于2023年2月若某空间中的每一个点都对应着某个物理量的一个确定值，就称在该空间中定义了这个物理量的场或函数若这个物理量是标量，则这个场或函数称为标量场或标量函数。如一幢建筑物内的温度分布、一个区域内的电位分布等等若这个物理量是矢量，则这个场或函数称为矢量场或矢量函数。如某河流区段内水流的速度分布、一个区域内电场强度的分布等若标量场中各点标量值的大小都相同，则称场中物理量是常数若矢量场中各点矢量大小和方向都相同，则称场中物理量为常矢若场中的物理量在各点所对应的值不随时间而变化，则这个场称为静态场或恒定场；否则，就称为时变场。《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-201.2场的微分运算1.2.1

场的基本概念20第20页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-21标量场的等值面等值面——函数均取相同值的曲面。例如，静电场中的等位面。在三维空间中，每一点对应着也仅对应着一个确定的函数值，因此它必属于也仅属于一个等值面。空间中所有的点均有等值面通过，所有的等值面均互不相交。对于同一个常数值，可以有多个互不相交的等值面。如果是在二维空间，函数均取相同值的点构成就是一条条的等值线，例如山体的等高线就是一种常用的等值线。21第21页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-22矢量场的矢量线或通量线矢量线——一系列有向曲线。线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线矢量场中的每一点均有一条矢量线通过，所以矢量线充满了整个矢量场所在的空间矢量线可以汇聚于某一点，但是不能相互交叉。矢量场的矢量线满足的微分方程22第22页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-231.2.2标量场的方向导数和梯度1.标量场的方向导数方向导数——空间某一点的标量场沿某一方向的变化率定义为该标量场在该点沿该方向的方向导数（1.2.1）其中第23页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-24根据求导法则（1.2.2）方向余弦该方向上的单位矢量（1.2.3）第24页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-25标量函数在空间给定点沿方向的方向导数等于该点的梯度矢量在该方向上的投影。2.标量场的梯度（gradient）标量场的梯度——大小等于标量函数在该点最大的方向导数值，方向指向使函数值增加最快的方向。（1.2.5）（1.2.6）第25页，课件共67页，创作于2023年2月梯度的表示——哈密顿（Hamilton）算子（读作del）《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-26直角坐标系中的哈密顿算子（1.2.7）直角坐标系中的梯度表示式（1.2.8）第26页，课件共67页，创作于2023年2月算子具有类似于矢量和微分的性质，称为矢量微分算子《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-27梯度的基本公式（1.2.9）（1.2.10）（1.2.11）（1.2.12）（1.2.13）其中，为常数；，为标量函数。第27页，课件共67页，创作于2023年2月例1.2.1试证明：①；②。式中和分别表示对场点坐标和源点坐标的哈密顿算子。《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-28证明：①②依梯度的基本公式第28页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-291.2.3矢量场的通量和散度通量线或矢量线——一系列有方向的曲线，该线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的通量线密度代表该点矢量场的大小。1.矢量场的通量

(flux)

通量

——矢量场穿过曲面的通量线的总数，它可表示为矢量沿该曲面的面积分。（1.2.16）（1.2.17）第29页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-30开口曲面的正法线方向需要事先设定。通量的正、负与面积元矢量的方向选取有关。闭合曲面的正法线方向规定为由的内部指向外部，即外法线方向。通量可以用来描述矢量场在空间的分布。借助于通量的概念，矢量又称为通量密度。例如，电位移也常常称为电通量密度。发出通量线的点称为“源”，吸收通量线的点称为“沟”。例如，静电场中的正电荷是发出电力线的“源”，负电荷是吸收电力线的“沟”。穿过整个闭合曲面的总通量等于“源”发出的通量线减“沟”吸收的通量线。几点说明第30页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-31通量概念描述了空间一个较大范围内场与源之间的关系散度概念将描述空间每一点场与源之间的关系。矢量场的散度

——矢量穿过闭合曲面的通量与该闭合曲面所包围的小体积之比的极限。2.

矢量场的散度(divergence)（1.2.18）一个矢量场的散度是一个标量，可理解为穿过包围单位体积的闭合表面的通量。因此，人们也习惯地将散度称为通量源密度。第31页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-32三种典型的散度值对于静电场，在有电荷存在的点上，散度不为零。且散度大于零处具有正电荷，散度小于零处具有负电荷对于恒定磁场，因为不存在磁荷，散度必处处为零第32页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-33直角坐标系中的散度表示式（1.2.22）第33页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-34散度的基本公式注意：这些基本公式均与坐标系的类型无关。它们不但在直角坐标系中成立，在其它坐标系中仍然成立。其中，为常矢；为常数；为标量函数，为矢量函数。（1.2.23）（1.2.24）（1.2.25）（1.2.26）第34页，课件共67页，创作于2023年2月例1.2.2设表示空间两点与之间距离，试求。《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-35解：第35页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-36值得提醒注意的一点是：在上述计算中，需假设距离R不等于零。否则，函数(1/R)将出现奇异点。在第3章讨论镜像法时（3.7节）将会证明：但是即（1.2.27）（1.2.28）第36页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-371.2.4

矢量场的环量和旋度环量

——矢量场沿空间一条闭合曲线的线积分。1.

矢量场的环量（circulation）（1.2.29）矢量场的环量是一个标量用来描述一个矢量场的旋涡特性。大小和正负取决于矢量场的分布以及该闭合曲线积分的环绕方向。第37页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-38旋度在某一方向上的投影2.矢量场的旋度（rotation或curl）矢量场的旋度或

——大小等于该点最大的环量密度，方向为取得最大环量密度的那块小面积的法线方向环量密度——矢量沿闭合曲线的环量与小面积之比的极限,其大小与矢量的分布和闭合曲线的方向有关。（1.2.30）第38页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-39不同闭合路径位置情况下的环量39第39页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-40直角坐标系中旋度的推导（1.4.5）第40页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-41直角坐标系中的旋度表示式（1.2.34）（1.2.35）第41页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-42旋度的基本公式注意：这些基本公式均与坐标系类型无关。它们不但在直角坐标系中成立，在其它坐标系中仍然成立其中，为常矢；为常数；为标量函数，为矢量函数（1.2.36）（1.2.37）（1.2.38）（1.2.39）第42页，课件共67页，创作于2023年2月例1.2.3试证明：。《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-43证明：第43页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-441.2.5

梯度、散度、旋度的比较一个标量函数的梯度是一个矢量函数，它描述了空间各点标量位的最大变化率及其方向；一个矢量函数的散度是一个标量函数，它描述了空间各点场矢量与通量源之间的关系；一个矢量函数的旋度是一个矢量函数，它描述了空间各点场矢量与旋涡源之间的关系。只有当场函数具有连续一阶偏导数时，梯度、散度、旋度的定义才是有意义的。在某些场量不连续的交界面上，就不可能定义梯度、散度和旋度。第44页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-45第45页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-46矢量场的“源”有两种，建立散度的通量源和建立旋度的旋涡源。要使矢量场是非零场，则必存在产生这种场的一种源。非零矢量场不可能既是无源场又是无旋场若一个矢量场的散度处处为零，就不存在通量源，该矢量场称为无源场(恒定磁场)。若一个矢量场的旋度处处为零，就不存在旋涡源，该矢量场称为无旋场(静电场)。存在通量源的矢量场为有源场。在源区，该矢量场散度不为零；在非源区，该场散度仍然可以为零。存在旋涡源的矢量场为有旋场，但该场旋度仅在旋涡源所在空间点上不为零，在其它点上仍然可以为零。第46页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-471.3矢量的恒等式和基本定理大部分矢量恒等式和矢量基本定理都可通过直接计算来证明。为简单起见，可在直角坐标系中证明，对其它正交坐标系，也都是成立的。1.3.1

三个重要的恒等式（1.3.1）（1.3.2）（1.3.3）第47页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-48恒等式的意义任何一个标量函数的梯度的旋度必等于零。任何一个梯度场必然为无旋场，而任何一个无旋场也必为有位场。例如静电场。恒等式的意义任何一个矢量函数的旋度的散度必等于零。任何一个旋度场必为无源场，而任何一个无源场必为有旋场。例如恒定磁场。第48页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-49拉普拉斯（Laplace）算子在直角坐标系中的拉普拉斯算子例如对于其它坐标系（1.3.4）但（1.3.9）第49页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-501.3.2

矢量场的基本定理高斯(Gauss)散度定理——矢量场穿过空间任一闭合曲面的通量等于该矢量的散度在曲面所包围体积内的体积分。证明：将体积分割成N个的小体积（1.3.10）第50页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-51斯托克斯（Stokes）定理

——矢量场沿空间任一闭合曲线的环量等于该矢量场的旋度穿过以闭合曲线作为边界曲线的任一开放曲面的通量。证明：将该曲面剖分为N个小面积（1.3.11）第51页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-52格林（Green）第一定理或格林第一恒等式这个定理可以通过令，利用高斯散度定理证明。格林（Green）第二定理或格林第二恒等式（1.3.13）（1.3.12）（1.3.14）（1.3.15）第52页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-53证明：采用反证法。假设同时存在两个矢量场和，它们具有相同的散度和旋度以及边界条件，即令则有唯一性定理——若在区域内矢量场的散度、旋度以及在边界面上的切向分量或(法向分量)已给定，则矢量场在该区域内的解是唯一的。由矢量恒等式和格林定理，可证明要满足上述两式，必有得证。第53页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-54亥姆霍兹(Helmholtz)定理——空间有限区域内任一矢量场均可以表示为一个无源场(即或)和一个无旋场(即或)之和，即（1.3.25）（1.3.26）（1.3.24）第54页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-55亥姆霍兹定理的一个特例——空间区域为无限大，而场源却分布在一个有限区域内。在这种情况下，如假设矢量场在无限远处以足够快的速度减弱至零，即则有在无限大空间中，只要知道矢量场的散度和旋度，就能将其定量地确定下来。既无源又无旋的场是不存在的。（1.3.27）（1.3.28）（1.3.29）（1.3.30）第55页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-561.4常用正交曲线坐标系正交曲线坐标系——三个坐标面均为一般的曲面。任意两坐标面的交线为第三个坐标变量的坐标轴，一般为曲线。空间任一点有三个坐标轴通过，坐标轴上的单位矢量相互正交且符合右手螺旋法则。这三个单位矢量的方向随空间点位置的不同而变化。正交曲线坐标系的类型很多,已出现的有10多种。除直角坐标系这种特殊的正交曲线坐标系以外，其它还有圆柱、球面、椭圆柱、抛物柱等正交曲线坐标系。常用的就是直角坐标系，圆柱坐标系和球面坐标系。第56页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-571.4.1

三种常用的正交坐标系直角坐标系——（方向矢量）直角坐标系中的长度元、面积元和体积元（1.4.1）（1.4.2）（1.4.3）第57页，课件共67页，创作于2023年2月《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-58圆柱坐标系——