贵州省贵阳市第四十一中学高三数学文期末试卷含解析

贵州省贵阳市第四十一中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（

）

A．

B．

C．D．参考答案：B略2.如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标，记矩形的周长为，则（

）A．208

B.216

C.212

D.220

参考答案：B略3.如果命题“”为假命题，则（

）

A、中至多有一个为假命题

B、均为假命题

C、均为真命题

D、中恰有一个为真命题参考答案：B4.若向量，的夹角为，且||=2，||=1，则与+2的夹角为(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出．解答： 解：∵向量，的夹角为，且||=2，||=1，∴===1．∴==22+2×1=6，==．∴===，∴与+2的夹角为．故选：A．点评：本题考查了数量积运算性质、向量的夹角公式，属于基础题．5.如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为A．85，84

B．84，85C．86，84

D．84，86参考答案：A略6.点（x，y）在由|y|=x与x=2围成的平面区域内（含区域边界），则z=2x+y的最大值与最小值之和为（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件画出平面区域，由z=2x+y得y=﹣2x+z，然后平移直线，利用z的几何意义确定目标函数的最大值与最小值即可求出答案．【解答】解：∵|y|=x?或，∴|y|=x与x=2围成的平面区域如图，由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，则由图象可知当直线经过点B（2，2）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大为2×2+2=6；当直线y=﹣2x+z经过点O（0，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小为0．∴z=2x+y的最大值与最小值之和为6+0=6．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，数形结合是解决问题的基本方法，是中档题．7.函数的图像如图所示，则的值等于 A． B．

C． D．1参考答案：C8.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出s的值是A．4

B．7

C．11

D．16参考答案：C9.已知函数，下列结论中错误的是A．既是偶函数又是周期函数

B.最大值是1C.的图像关于点对称

D.的图像关于直线对称参考答案：B10.设全集,集合,,则=（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，可得=，即，解得e=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．12.等比数列，，前项和为

.参考答案：13.已知一个三棱锥的三视图如右下图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥的体积为．

参考答案：略14.焦点为F的抛物线上有三点A、B、C满足：①△ABC的重心是F；②|FA|、|FB|、|FC|成等差数列．则直线AC的方程是________________________．参考答案：略15.设等差数列的前项和为，且，则_______参考答案：30【知识点】等差数列的性质及前n项和.

D2

解析：因为，所以，所以.【思路点拨】根据等差数列的性质及前n项和公式求解.16.将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是．参考答案：【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征．【专题】计算题．【分析】通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2π，底面半径为：1，圆锥的高为：；圆锥的体积为：=【点评】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．17.设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，

，

，成等比数列．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x+1|的最大值为m．（1）求m的值和不等式f（x）＜1的解集；（2）若a，b∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）分类讨论，求出函数的值域，即可求m的值；（2）由（1）知，a2+2b2+c2=4，利用基本不等式求ab+bc的最大值．【解答】解：（1）当x≤﹣1时，f（x）=（3﹣x）+2（x+1）=x+5≤4；当﹣1＜x＜3时，f（x）=（3﹣x）﹣2（x+1）=﹣3x+1∈（﹣8，4）；当x≥3时，f（x）=（x﹣3）﹣2（x+1）=﹣x﹣5≤﹣8．…故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=4；|x﹣3|﹣2|x+1|＜1，可化为当x≤﹣1时，x+5＜1，∴x＜﹣4；当﹣1＜x＜3时，﹣3x+1＜1，∴x＞0，∴0＜x＜3；当x≥3时，﹣x﹣5＜1，∴x＞﹣4，∴x≥3，综上所述，不等式f（x）＜1的解集为{x|x＜﹣4或x＞0}；（2）由（2）知，a2+2b2+c2=4，则ab+bc≤[（a2+b2）+（b2+c2）]=2，∴ab+bc的最大值为2．【点评】本题考查绝对值不等式，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线l的极坐标方程为.（1）求直线l的直角坐标方程与曲线的普通方程；（2）若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线l的距离的最大值.参考答案：（1）∵直线l的极坐标方程为，即.由，，可得直线l的直角坐标方程为.将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为.（2）设.点的极坐标化为直角坐标为.则.∴点到直线l的距离.当，即时，等号成立.∴点到直线l的距离的最大值为.20.（12分）如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，为线段的中点．（1）求点的轨迹的方程；（2）若在的方程中，令，．设轨迹的最高点和最低点分别为和．当为何值时，为一个正三角形？参考答案：解析：如图，（1）设椭圆Q：（a>b>0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则1°当AB不垂直x轴时，x11x2，由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0

\b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0（2）因为轨迹H的方程可化为：\M（，），N（，－），F（c，0），使△MNF为一个正三角形时，则tan＝＝，即a2＝3b2.由于，，则1＋cosq＋sinq＝3sinq，得q＝arctan21.设点M是x轴上的一个定点，其横坐标为a（a∈R），已知当a=1时，动圆N过点M且与直线x=﹣1相切，记动圆N的圆心N的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）当a＞2时，若直线l与曲线C相切于点P（x0，y0）（y0＞0），且l与以定点M为圆心的动圆M也相切，当动圆M的面积最小时，证明：M、P两点的横坐标之差为定值．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过圆N与直线x=﹣1相切，推出点N到直线x=﹣1的距离等于圆N的半径，说明点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，求出轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），联立得，利用相切关系，推出k，求解直线l的方程为．通过动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离．利用动圆M的面积最小时，即d最小，然后求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因为圆N与直线x=﹣1相切，所以点N到直线x=﹣1的距离等于圆N的半径，所以，点N到点M（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等．所以，点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，所以圆心N的轨迹方程，即曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），由得，又，所以，因为直线l与曲线C相切，所以，解得．所以，直线l的方程为．动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离．当动圆M的面积最小时，即