河北省唐山市杨家套中学2022年高三数学文测试题含解析

河北省唐山市杨家套中学2022年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象（

）A．关于对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于对称

参考答案：A函数的图象关于对称，选A.2.已知函数f（x）=sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在（π，）上单调递减，则ω的取值范围是（）A．（0，2] B．（0，] C．[，1] D．[，]参考答案：C【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用积化和差公式化简2sinφcos（ωx+φ）=sin（ωx+2φ）﹣sinωx．可将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，在（π，）上单调递减，结合三角函数的图象和性质，建立关系可求ω的取值范围．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）．化简可得：f（x）=sin（ωx+2φ）﹣sin（ωx+2φ）+sinωx=sinωx，由+，（k∈Z）上单调递减，得：+，∴函数f（x）的单调减区间为：[，]，（k∈Z）．∵在（π，）上单调递减，可得：∵ω＞0，ω≤1．故选C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．3.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2 B．f（x）= C．f（x）=ex D．f（x）=sinx参考答案：D【考点】选择结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．【解答】解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=ex，不是奇函数，故不满足条件①又∵B：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）=sinx符合输出的条件故选D．4.函数y＝（－1≤x<0）的反函数是

A．y＝l＋（x>0）

B．y＝－l＋（x>0）

C．y＝l＋（1≤x＜3）

D．y＝－l＋（1≤x<3）参考答案：D5.偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x，则关于x的方程f（x）=，在x∈[0，4]上解的个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．【解答】解：∵f（x﹣1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），∴原函数的周期T=2．

又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）．又∵x∈[0，1]时，f（x）=x，函数的周期为2，∴原函数的对称轴是x=1，且f（﹣x）=f（x+2）．设y1=f（x），y2=，方程f（x）=根的个数，即为函数y1=f（x）的图象（蓝色部分）与y2=的图象（红色部分）交点的个数．由以上条件，可画出y1=f（x），y2=的图象：又因为当x=1时，y1＞y2，∴在（0，1）内有一个交点．∴结合图象可知，在[0，4]上y1=f（x），y2=共有4个交点．∴在[0，4]上，原方程有4个根．故选D．【点评】本题考查函数的性质，体现了函数与方程思想，数形结合思想，转化思想，属于基础题．6.经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线与Ａ，Ｂ两点，交双曲线的渐近线于Ｐ，Ｑ两点，若｜ＰＱ｜＝２｜ＡＢ｜，则双曲线的离心率是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：D略7.我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式f（x）=anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的值的秦九韶算法，即将f（x）改写成如下形式：f（x）=（…（（anx+an﹣1）x+an﹣2）x+…+a1）x+a0，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，这种算法至今仍是比较先进的算法，将秦九韶算法用程序框图表示如图，则在空白的执行框内应填入（）A．v=vx+ai B．v=v（x+ai） C．v=aix+v D．v=ai（x+v）参考答案：A【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，可得答案．【解答】解：秦九韶算法的过程是（k=1，2，…，n）这个过程用循环结构来实现，应在题目的空白的执行框内填入v=vx+ai，故选：A．8.若函数

在区间内恒有，则的单调递增区间为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：D9.己知数列中，，且对任意的，都有，则A． B． C． D．参考答案：D取m＝1得，，即，从而即，求得，故选D.10.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C，，分别为，，中点，则，夹角为和夹角或其补角（异面线所成角为）可知，，作中点，则可知为直角三角形．，中，，则，则中，则中，又异面线所成角为，则余弦值为．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数是R上的偶函数，对都有成立.当，且时，都有＜0，给出下列命题：（1）；（2）直线是函数图象的一条对称轴；（3）函数在上有四个零点；（4）其中所有正确命题的序号为＿＿＿＿参考答案：（1）（2）（4）解令x＝－2，得f（－2＋4）＝f（－2）＋f（2），解得：f（－2）＝0，因为函数f（x）为偶函数，所以，f（2）＝0，（1）正确；因为f（－4＋x）＝f（－4＋x＋4）＝f（x），f（－4－x）＝f（－4－x＋4）＝f（－x）＝f（x），所以，f（－4＋x）＝f（－4－x），即x＝－4是函数f（x）的一条对称轴，（2）正确；当，且时，都有＜0，说明函数f（x)在［0,2］上单调递减函数，又f（2）＝0，因此函数f（x）在［0,2］上只有一个零点，由偶函数，知函数f（x）在［－2，0］上也只有一个零点，由f（x＋4）＝f（x），知函数的周期为4，所以，f（6）＝f（－6）＝0，因此，函数在［－4,4］上只有2个零点，（3）错；对于（4），因为函数的周期为4，2012是4的倍数，即有f（0）＝f（4）＝f（8）＝…＝f（2012），（4）正确；选（1）（2）（4）。

12.若2sinα﹣cosα=，则sinα=

，tan（α﹣）=

．参考答案：，3．【考点】GR：两角和与差的正切函数；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据已知及同角三角函数的基本关系式，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵2sinα﹣cosα=，∴cosα=2sinα﹣，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+（2sinα﹣）2=1，即5sin2α﹣4sinα+4=0，∴解得：sinα=，∴cosα=2×﹣=﹣，tan=﹣2，∴tan（α﹣）===3．故答案为：，3．13.如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则·的

取值范围是

.参考答案：14.在中，，，且的面积为，则边的长为_________.参考答案：略15.如图，在平面直角坐标系中，分别在轴与直线上从左向右依次取点，，其中是坐标原点，使都是等边三角形，则的边长是

．参考答案：51216.已知函数，则

.参考答案：9【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/反函数；方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式.【试题分析】函数，令，解得.根据互为反函数的两个函数之间的关系可知，故答案为9.17.函数y=的定义域为

．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（1，3）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，得，即1＜x＜3或x＜﹣1，即函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，3），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，3）【点评】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）若函数在上是增函数，求正实数的取值范围；（Ⅱ）当时，对任意的正整数，求证：，且不等式都成立.参考答案：解：（I）由题设可得函数在上是增函数，当时，不等式即恒成立.当时，的最大值为1，则实数的取值范围是；-----6分（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知在上是增函数对于任意的正整数，有，则--------------8分19.（本小题满分12分）已知函数（I）当函数在点处的切线与直线4y-x+1=0垂直时，求实数m的值；（Ⅱ）若时，恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求证：

参考答案：（I）5；（Ⅱ）[2，+∞）；（Ⅲ）见解析

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数证明不等式（Ⅰ）∵，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率k=f′（0）=1-m，∵函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线4y﹣x+1=0垂直，∴1-m=-4，∴m=5；

（Ⅱ）依题意不等式在x≥0时恒成立，即m≥x+2﹣（x+2）lnx在x≥0时恒成立．令g（x）=x+2﹣（x+2）lnx（x≥0），则g′（x）=，∴x≥0时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在[0，+∞）时为减函数，∴g（x）≤g（0）=2，∴m≥2即实数m的取值范围是[2，+∞）．（Ⅲ）由（Ⅱ）知x≥0时，成立，即有，令,则有，即，所以【思路点拨】（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到所求m的值；（Ⅱ）不等式在x≥0时恒成立，即m≥x+2﹣（x+2）lnx在x≥0时恒成立．令g（x）=x+2﹣（x+2）lnx（x≥0），求出导数，求得单调区间，即可得到最大值，令m不小于最大值即可．（Ⅲ）把不等式转化为，再结合裂项求和法即可。

20.设数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．参考答案：解：（1）因为，，

①所以当时，．……………1分当时，，

②…………………2分①－②得，．…………………4分所以．…………………………5分因为，适合上式，所以．………………6分（2）由（1）得．所以…………………8分．……ks5u………………10分所以………………12分．………………14分

略21.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）求直线BE与平面ABB1A1所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使得BF1∥平面A1BE，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）先取AA1的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB1A1，则EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，则∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，BM=，于是在Rt△BEM中，用反正切表示出∠MBE即可．（2）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据中位线定理可知EG∥A1B，从而说明A1，B，G，E共面，则BG?面A1BE，根据FG∥C1C∥B1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1F∥BG，而B1F?平面A1BE，BG?平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE．【解答】解：（1）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE==3，BM==于是在Rt△BEM中，tan∠EBM==，即直线BE与平面ABB1A1所成的角是．（2）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG?平面A1BE因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D