2023年研究生入学考试数学二历年高频考题带答案难题附详解

2023年研究生入学考试数学二历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.历年考点试题黑钻版(共25题)1.设z=z(x，y)是由方程确定的隐函数，则在点(0，-1，1)的全微分dz=______。2.已知平面图形D由y轴、曲线y=ex(x≥0)和该曲线过原点的切线围成，求D的面积和D绕y轴旋转所得旋转体的体积．3.设矩阵A=，B=．

试判断A和B是否相似，若相似，求出可逆矩阵X，使得X-1AX=B．4.设，B是3阶非零矩阵，满足BA=0，则矩阵B=______.5.6.设三阶行列式D3的第二行元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=______。7.微分方程xy"-y'=x的通解是______．8.心形线r=a(1+cosθ)(常数a＞0)的全长为______．9.设当x→0时，ex-(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小，则

A．

B．a=1，b=1

C．

D．a=-1，b=1．10.设区域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分．11.12.13.14.15.求．16.使的充要条件是______A.k＞1．B.k≠1．C.k＞0．D.与k无关．17.18.设z=xxy(x＞0)，求．19.=______。20.设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g'(x)≠0，求证：若21.设α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性无关，而向量组α1，α2，…，αm，γ线性相关．证明：向量γ可由向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性表示．22.计算积分，其中D是由x=0，x2+y2=4，所围成的封闭区域。23.设，则______．

A．

B．a=0，b=-2

C．

D．a=1，b=-224.已知则An=______25.第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：2dx+dy[解析]方程两边微分，有

将x=0，y=-1，z=1代入上式，得即有dz=2dx+dy。2.参考答案：[解析]曲线y=ex(x≥0)在(x0，ex0)处的切线方程为

y=ex0+ex0(x-x0)．

令x=0，y=0，得x0=1，故曲线y=ex(x≥0)过原点的切线方程为y=e+e(x-1)，所以D的面积为

D绕y轴旋转所得旋转体的体积为

3.参考答案：解：由∣λE-A∣==(λ-2)(λ-1)(λ+1)，

得A的特征值为2，1，-1．因此A相似于．

进而求得对应于2，1，-1的特征向量分别为

令P=(η1，η2)，η3)，则有P-1AP=．

又因为B是下三角矩阵，所以特征值为2，1，-1．B也相似于．

进而求得对应2，1，-1的特征向量分别为．

令Q=(ξ1，ξ2，ξ3)，则Q-1BQ=．

因此P-1AP=Q-1BQ，所以B=QP-1APQ-1=(PQ-1)-1A(PQ-1)，

令X=PQ-1=，X即为所求．[考点]矩阵相似的判别．

将A，B分别相似对角化，与同一个对角阵相似，再根据相似的传递性，得到A，B相似．4.参考答案：

，其中k1，k2，k3不全为0．由BA=0知r(B)+r(A)≤3．又由B≠0知r(B)≥1．

显然A中有2阶子式非0，知r(A)≥2．故必有r(A)=2，r(B)=1．

由，得a=1．

因ATBT=0，所以齐次线性方程组ATx=0的解就是B的行向量．又由

可知ATx=0的通解为k(-1，1，1)T．

故其中k1，k2，k3不全为0．

AB=0是一个常考的知识点：一方面要意识到矩阵B的列向量是齐次方程组Ax=0的解；另一方面要有秩的信息，即r(A)+r(B)≤n，其中n是A的列向量的个数(当然也是B的行向量的个数)．5.参考答案：D6.参考答案：-4[解析]根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应代数余子式乘积之和。故

D3=a21A21+a22A22+a23A23=1×(-3)+(-2)×2+3×1=-4。7.参考答案：．[解析]此为可降价的y"=f(x，y')型．命y'=p，y"=p'有

xp'-p=x．

8.参考答案：8a[解析]

9.参考答案：A[解析]解法1

由泰勒公式可知

由题设可知，

即

则，b=1．

解法2

由洛必达法则可知

若b≠1，上式右端趋于无穷，从而左端也趋于无穷，与原题设矛盾，所以b=1．

因此

，所以应选A．10.参考答案：解：因为

所以11.参考答案：12.参考答案：13.参考答案：114.参考答案：D15.参考答案：解：解法1

原式=

解法2

原式16.参考答案：B[解析]

故k≠1，B正确．17.参考答案：D18.参考答案：解1：(链式法则)令u=xy，z=xu=f(x，u)，于是

解2：(取对数法)由z=xxy，两边取对数有lnz=xylnx，再给等式两边关于x求导有

即

同样给lnz=xylnx，两端同时关于y求导可得，，即

解3：利用全微分一阶形式不变性．

记z=f(x，u)=xu，u=xy．则

dz=f'xdx+f'udu=uxu-1dx+xulnxdu

=xy·xxy-1dx+xxy·lnx·(y·xy-1dx+xylnxdy),

=(xy·xxy-1+ylnx·xxy·xy-1)dx+xxy·xy(lnx)2dy

于是

[考点]多元函数微分学19.参考答案：3[解析]20.参考答案：不妨设g'(x)＞0(x∈(a，b))，考察

21.参考答案：[证明]因为向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性无关，所以向量组α1，α2，…，αm也线性无关，又向量组α1，α2，…，αm，γ线性相关，所以向量γ，可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，从而γ可由向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性表示．22.参考答案：解：根据已知条件画出积分区域的图形如下图所示，

该积分区域为D，采用极坐标系计算二重积分，则有

[考点]本题考查二重积分的计算。先根据已知画出区域D的图形，D的图形涉及圆