矩阵分析线性变换

矩阵分析线性变换§7.2线性变换的运算第1页，课件共23页，创作于2023年2月1．定义设为线性空间V的两个线性变换，定义它们事实上，一、线性变换的乘积

的乘积为：则也是V的线性变换.第2页，课件共23页，创作于2023年2月２．基本性质（1）满足结合律：（2），E为单位变换（3）交换律一般不成立，即一般地，第3页，课件共23页，创作于2023年2月例1.线性空间中，线性变换

而，即第4页，课件共23页，创作于2023年2月例2.设A、B为两个取定的矩阵，定义变换则皆为的线性变换，且对有第5页，课件共23页，创作于2023年2月则也是V的线性变换.二、线性变换的和

1．定义设为线性空间V的两个线性变换，定义它们的和为：事实上，第6页，课件共23页，创作于2023年2月（3）0为零变换.（4）乘法对加法满足左、右分配律：2．基本性质（1）满足交换律：（2）满足结合律：第7页，课件共23页，创作于2023年2月3．负变换设为线性空间V的线性变换，定义变换为：则也为V的线性变换，称之为的负变换.注：第8页，课件共23页，创作于2023年2月三、线性变换的数量乘法

1．定义的数量乘积为：则也是V的线性变换.设为线性空间V的线性变换，定义

k

与第9页，课件共23页，创作于2023年2月2．基本性质注：线性空间V上的全体线性变换所成集合对于线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性空间，记作第10页，课件共23页，创作于2023年2月四、线性变换的逆

则称为可逆变换，称为的逆变换，记作1．定义设为线性空间V的线性变换，若有V的变换使2．基本性质(1)可逆变换的逆变换也是V的线性变换.第11页，课件共23页，创作于2023年2月证：对

是V的线性变换.第12页，课件共23页，创作于2023年2月(2)线性变换可逆线性变换是一一对应.证：设为线性空间V上可逆线性变换.任取若则有为单射.其次，对令则且为满射.故为一一对应.第13页，课件共23页，创作于2023年2月若为一一对应，易证的逆映射也为V的线性变换，且故可逆，.线性变换，则可逆当且仅当(3)设是线性空间V的一组基，为V的线性无关.证：设于是因为可逆，由(2)，为单射，又第14页，课件共23页，创作于2023年2月而线性无关，所以故线性无关.若线性无关，则它也为V的一组基.因而，对有即有为满射.第15页，课件共23页，创作于2023年2月线性无关若则有其次，任取设即由(2)，为可逆变换.故为一一对应.从而，为单射.第16页，课件共23页，创作于2023年2月(4)可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组.线性无关.若证：设为线性空间V的可逆变换，则有，又可逆，于是是一一对应，且故线性无关.由线性无关，有第17页，课件共23页，创作于2023年2月当时，规定（单位变换）.五、线性变换的多项式

1．线性变换的幂设为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义称之为的n次幂.

第18页，课件共23页，创作于2023年2月①易证注：②当为可逆变换时，定义的负整数幂为③一般地，第19页，课件共23页，创作于2023年2月设为V的一个线性变换，则2．线性变换的多项式多项式.也是V的一个线性变换，称为线性变换的第20页，课件共23页，创作于2023年2月注：①在中，若则有，即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.②对有第21页，课件共23页，创作于2023年2月证明：练习：设为线性变换，若证：对k作数学归纳法.当k=2时，若①对①两端左乘，得对①两端右乘，得上两式相加，即得第22页，课件