矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换与线性方程组第1页共92页第1页，课件共90页，创作于2023年2月第2页共92页一、消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换第一节矩阵的初等变换第2页，课件共90页，创作于2023年2月第3页共92页1、引例求解线性方程组：一、消元法解线性方程组第3页，课件共90页，创作于2023年2月第4页共92页解：1)消元第4页，课件共90页，创作于2023年2月第5页共92页2)回代（4个未知数3个方程，无穷解。可取每一行的第一个未知数为非自由未知数，进行回代）(B4)第5页，课件共90页，创作于2023年2月第6页共92页则（2）解得第6页，课件共90页，创作于2023年2月第7页共92页方程组的同解变换(消元过程)：1）对换两个方程3）2）对增广矩阵B=(A|b)进行相应的三种初等行变换第7页，课件共90页，创作于2023年2月第8页共92页(B4)(B1)行阶梯形：第8页，课件共90页，创作于2023年2月第9页共92页(B4)(B5)行最简形第9页，课件共90页，创作于2023年2月第10页共92页对增广矩阵（A|b）施行初等行变换，变成行最简形。方程组的求解注意：初等列变换不能求解方程组，因为列变换是对变元进行变换，并不是方程的同解变换。第10页，课件共90页，创作于2023年2月第11页共92页1）2）3）jikrr+初等变换的逆变换第11页，课件共90页，创作于2023年2月第12页共92页行等价：列等价：等价：性质：矩阵的等价关系A～B反身性、对称性、传递性第12页，课件共90页，创作于2023年2月第13页共92页标准形：第13页，课件共90页，创作于2023年2月第14页共92页如：第14页，课件共90页，创作于2023年2月第15页共92页初等矩阵的概念单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵1、定义2、三种初等矩阵三种初等变换三种初等方阵第15页，课件共90页，创作于2023年2月第16页共92页jirr«1)|第16页，课件共90页，创作于2023年2月第17页共92页第17页，课件共90页，创作于2023年2月第18页共92页第18页，课件共90页，创作于2023年2月第19页共92页¹(k0)2)|第19页，课件共90页，创作于2023年2月第20页共92页第20页，课件共90页，创作于2023年2月第21页共92页3）|第21页，课件共90页，创作于2023年2月第22页共92页第22页，课件共90页，创作于2023年2月第23页共92页第23页，课件共90页，创作于2023年2月第24页共92页))((nkjiAE第24页，课件共90页，创作于2023年2月第25页共92页定理11）行变换，A’为A左乘相应的m阶初等矩阵2）列变换，A’为A右乘相应的n阶初等矩阵第25页，课件共90页，创作于2023年2月第26页共92页初等矩阵均可逆，且逆都是同类的初等矩阵：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；第26页，课件共90页，创作于2023年2月第27页共92页解：记B＝第27页，课件共90页，创作于2023年2月第28页共92页定理2证:A可逆存在有限个初等矩阵(充分性)(必要性)显然.第28页，课件共90页，创作于2023年2月第29页共92页证明：推论1A可逆A经有限次初等行变换E可逆矩阵的行最简型为E第29页，课件共90页，创作于2023年2月第30页共92页初等行变换同理，对方程组▲若A可逆第30页，课件共90页，创作于2023年2月第31页共92页（作业）推论2第31页，课件共90页，创作于2023年2月第32页共92页解例2第32页，课件共90页，创作于2023年2月第33页共92页第33页，课件共90页，创作于2023年2月第34页共92页例3解：……第34页，课件共90页，创作于2023年2月第35页共92页第35页，课件共90页，创作于2023年2月第36页共92页小结1.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是:第36页，课件共90页，创作于2023年2月第37页共92页一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法三、矩阵秩的一些结论第三节矩阵的秩第37页，课件共90页，创作于2023年2月第38页共92页矩阵的秩一、矩阵秩的概念第38页，课件共90页，创作于2023年2月第39页共92页1.矩阵的子式k阶子式(k≤{m,n})：任取k行、k列交叉得到的矩阵的行列式相应的位置保持不变第39页，课件共90页，创作于2023年2月第40页共92页2.最高阶非零子式和秩A的秩＝A的最高阶非0子式的阶＝R(A)或r(A)第40页，课件共90页，创作于2023年2月第41页共92页第41页，课件共90页，创作于2023年2月第42页共92页例1解第42页，课件共90页，创作于2023年2月第43页共92页例2解第43页，课件共90页，创作于2023年2月第44页共92页问题：经过变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法第44页，课件共90页，创作于2023年2月第45页共92页1、初等变换求矩阵秩的方法：

把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.2、第45页，课件共90页，创作于2023年2月第46页共92页显然，非零行的行数为2，第46页，课件共90页，创作于2023年2月第47页共92页例4解第47页，课件共90页，创作于2023年2月第48页共92页A……得第48页，课件共90页，创作于2023年2月第49页共92页取行阶梯形中的1、2、4列及1、2、3行对应于原矩阵中的行和列，即可得到A的一个最高阶非0子式注：求解最高阶非0子式时，应注意初等变换过程中行、列的对换情况。第49页，课件共90页，创作于2023年2月第50页共92页例5解分析：第50页，课件共90页，创作于2023年2月第51页共92页……第51页，课件共90页，创作于2023年2月第52页共92页1、n阶方阵A可逆2三、矩阵秩的一些结论第52页，课件共90页，创作于2023年2月第53页共92页3、4、5、Sylverster不等式:第53页，课件共90页，创作于2023年2月第54页共92页例1例2例3第54页，课件共90页，创作于2023年2月第55页共92页矩阵的秩的性质1.2.3.～4.5.6.7.(见下节)8.(见下节)第55页，课件共90页，创作于2023年2月第56页共92页一、线性方程组有解的判定条件二、线性方程组的解法第四节线性方程组的解第56页，课件共90页，创作于2023年2月第57页共92页线性方程组系数矩阵为线性方程组可记为：相容线性方程组。（不）一、线性方程组有解的判定条件第57页，课件共90页，创作于2023年2月第58页共92页1)m=n时,A是n阶方阵,若|A|则可用克莱默法则求解,或用A的逆矩阵表示解.0,2)对一般的情况如何判定有没有解?有解时如何求解?问题：第58页，课件共90页，创作于2023年2月第59页共92页1、非齐次线性方程组推：若方程组的个数小于变元的个数，则不可能有唯一解。则方程组：1）无解2）唯一解3）无穷解第59页，课件共90页，创作于2023年2月第60页共92页证：（充分性）…第60页，课件共90页，创作于2023年2月第61页共92页第61页，课件共90页，创作于2023年2月第62页共92页Onn个m-n个第62页，课件共90页，创作于2023年2月第63页共92页第63页，课件共90页，创作于2023年2月第64页共92页第64页，课件共90页，创作于2023年2月第65页共92页方程组的通解，自由度为n-r，r越小，解的自由度越大第65页，课件共90页，创作于2023年2月第66页共92页2、齐次方程方程组第66页，课件共90页，创作于2023年2月第67页共92页齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；3、求解线性方程组步骤:第67页，课件共90页，创作于2023年2月第68页共92页例1求解齐次线性方程组解二、线性方程组的解法第68页，课件共90页，创作于2023年2月第69页共92页第69页，课件共90页，创作于2023年2月第70页共92页例２求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．第70页，课件共90页，创作于2023年2月第71页共92页例３求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换第71页，课件共90页，创作于2023年2月第72页共92页故方程组有解，且有无穷解第72页，课件共90页，创作于2023年2月第73页共92页例４

第73页，课件共90页，创作于2023年2月第74页共92页例５设有线性方程组解第74页，课件共90页，创作于2023年2月第75页共92页第75页，课件共90页，创作于2023年2月第76页共92页其通解为第76页，课件共90页，创作于2023年2月第77页共92页这时又分两种情形：第77页，课件共90页，创作于2023年2月第78页共92页第78页，课件共90页，创作于2023年2月第79页共92页解二:由于方程个数等于未知数个数可考虑用下面的方法:第79页，课件共90页，创作于2023年2月第80页共92页第80页，课件共90页，创作于2023年2月第81页共92页第81页，课件共90页，创作于2023年2月第82页共92页第82页，课件共90页，创作于2023年2月第83页共92页三、推广到矩阵方程Th7

AX=B有解R(A)=R(A,B).证：将X，B按列分块，得第83页，课件共90页，创作于2023年2月第84页共92页（充分性）R(A)=R(A,B)第84页，课件共90页，创作于2023年2月第85页共92页（必要性）AX＝B有解第85页，课件共90页，创作于2023年2月第86页共92页Th9第86页